ルベーグの密度定理のソースを表示

[[数学]]における'''ルベーグの密度定理'''は、任意の[[ルベーグ測度|ルベーグ可測集合]] ''A'' に対して、''A'' の[[ほとんど至るところ]]において ''A'' の「密度」が 1 になることを述べる。これは直観的には、''A'' の「境界」（つまり、''A'' の外側にも内側にもはみ出すような「近傍」を持つような点全体の成す集合）は、[[零集合|ルベーグ測度に関して無視できる]]という意味である。

μ を '''R'''<sup>''n''</sup> 上のルベーグ測度とし、 ''A'' を '''R'''<sup>''n''</sup> のルベーグ可測な部分集合とする。'''R'''<sup>''n''</sup>の点 ''x'' の ε-近傍における ''A'' の近似密度を次のように定める。

:<math> d_\varepsilon(x)=\frac{\mu(A\cap B_\varepsilon(x))}{\mu(B_\varepsilon(x))}.</math>

ここで、''B''<sub>ε</sub>は ''x'' を中心とする半径 ε の閉球体である。

'''ルベーグの密度定理'''は ''A'' の殆ど全ての点 ''x'' に対して'''密度'''

:<math> d(x)=\lim_{\varepsilon\to 0} d_{\varepsilon}(x)</math>

が存在してそれが 1 に等しいと主張する。

言い換えると、いかなる可測集合 ''A'' に対しても、'''R'''<sup>''n''</sup> のほとんど至るところで ''A'' の密度は 0 か 1 である<ref>{{cite book| last = Mattila| first = Pertti| title = Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability| year = 1999| isbn = 978-0-521-65595-8 }}</ref>。それにもかかわらず、「μ(''A'') &gt; 0 かつ {{nowrap|μ('''R'''<sup>''n''</sup> &#x2216; ''A'') &gt; 0}} ならば、そこで密度が 0 でも 1 でもないような '''R'''<sup>''n''</sup> の点が常に存在する」という奇妙な事実が成立する。

密度定理の例として平面上の正方形を考えると、正方形の内点ではその点での密度は 1、辺上の点では 1/2、角の点では 1/4 である。平面上の点で密度が 0 でも 1 でもない点全体の成す集合（もちろん正方形の境界のこと）は[[空集合|空]]ではないが、（[[零集合]]になるという意味で）[[無視できる]]。

ルベーグの密度定理は、[[ルベーグの微分定理]]の特殊な場合である。
 
== 関連項目 ==
* [[境界 (位相空間論)]]: 位相幾何学的なアナロジー

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* Hallard T. Croft. Three lattice-point problems of Steinhaus. ''Quart. J. Math. Oxford (2)'', 33:71-83, 1982.

{{PlanetMath attribution|id=33869|title=Lebesgue density theorem}}

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