ルベーグの微分定理のソースを表示

[[数学]]において、'''ルベーグの微分定理'''（ルベーグのびぶんていり、{{Lang-en-short|Lebesgue differentiation theorem}}）は、[[実解析]]の定理の一つで、ほとんど全ての点に対して可積分函数の値がその点の周りの無限小平均（無限小近傍でとった平均値）の極限に等しいことを述べる。名称は[[アンリ・ルベーグ]]にちなむ。

==主張==
'''R'''<sup>''n''</sup> 上の実数値または複素数値[[ルベーグ積分|ルベーグ可積分関数]] ''f'' があるとき、[[ルベーグ測度|ルベーグ可測集合]] ''A''&thinsp;  に <math>f \cdot \mathbf{1}_A</math> （<math>\mathbf{1}_{A}</math> は集合 ''A'' の[[指示関数]]）のルベーグ積分を対応させる「不定積分」は[[集合函数]]

:: <math> A \mapsto \int_{A}f\ \mathrm{d}\lambda</math> 
を定める。ここで ''λ'' は ''n''-次元[[ルベーグ測度]]。

この積分の ''x'' における「微分」は

::<math>\lim_{B \rightarrow x} \frac{1}{|B|} \int_{B}f \, \mathrm{d}\lambda</math>

と定義される。ここで |''B''| は ''x'' を中心とする[[球体]] ''B''&thinsp; のルベーグ測度で、''B''&nbsp;→ ''x'' は ''B''&thinsp; の直径が限りなく 0 に近づくことを意味する。

ルベーグの微分定理 {{harv|Lebesgue|1910}} によれば、[[ほとんど (数学)|ほとんど全ての]] ''x''&nbsp;&isin; '''R'''<sup>''n''</sup> に対してこの極限値は存在して ''f''(''x'') に等しい。実際にはこれよりわずかに強い次の主張が成り立つ。不等式

::<math>\left|\frac{1}{|B|} \int_{B}f(y) \, \mathrm{d}\lambda(y) - f(x)\right| = \left|\frac{1}{|B|} \int_{B}(f(y) - f(x))\, \mathrm{d}\lambda(y)\right| \le \frac{1}{|B|} \int_{B}|f(y) -f(x)|\, \mathrm{d}\lambda(y)</math>
 
において、最右辺はほとんど全ての ''x'' において 0 に収束する。このような点を ''f'' の'''{{仮リンク|ルベーグ点|en|Lebesgue point}}'''という。

この定理はより一般的に、球体 ''B''&thinsp; の族を以下の性質（bounded eccentricity）を持つ集合族 <math>\mathcal{V}</math> で置き換えても成り立つ。

「ある固定された定数 ''c''&nbsp;> 0 があって、<math>\mathcal{V}</math> の任意の元 ''U''&thinsp; に対し、<math>|U| \ge c \, |B|</math> を満たして ''U''&thinsp; を包含するような球体 ''B''&thinsp; が存在する。」

さらに任意の点 ''x''&nbsp;&isin; '''R'''<sup>''n''</sup> に対し、''x'' が属すようないくらでも測度の小さい <math>\mathcal{V}</math> の元が存在するものとする。このときほとんど全ての ''x'' に対し、集合が点 ''x'' へ収縮するとき
::<math> f(x) = \lim_{U \rightarrow x, \, U \in \mathcal{V}} \frac{1}{|U|} \int_U f \, \mathrm{d}\lambda</math>
が成り立つ。

立方体全体の集合は <math>\mathcal{V}</math> の一例であり、また '''R'''<sup>2</sup> において定数 ''m''&nbsp;≥&nbsp;1 を固定したとき、縦横比が ''m''<sup>&minus;1</sup> から ''m'' までの範囲に収まるような長方形全体の集合 <math>\mathcal{V}</math>(''m'') もそうである。'''R'''<sup>''n''</sup> に任意の[[ノルム]]が与えられたとき、このノルムから定まる[[距離函数|距離]]についての球全体の集合も <math>\mathcal{V}</math> の条件を満たす。

1次元の場合は {{harvtxt|Lebesgue|1904}} が先立って証明を与えている：

''f'' が実数体上の可積分関数であるとき、関数
:<math>F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, \mathrm{d} t</math>
はほとんど至るところ微分可能で <math>F'(x) = f(x)</math> を満たす。

==証明==
[[ハーディ＝リトルウッドの極大函数]]に対する[[Lp空間|弱 ''L''<sup>1</sup> 空間]]でのノルム評価から（より強めた形で）
:'''命題'''：''f'' が[[局所可積分函数]]ならば、ほとんど全ての点 ''x'' で
::<math>\lim_{B \rightarrow x} \frac{1}{|B|} \int_{B}f(y) \, \mathrm{d}y = 
 f(x)</math>
:が成り立つ。

を示すことができる。以下の証明は {{harvtxt|Benedetto|Czaja|2009}}, {{harvtxt |Stein|Shakarchi|2005}},  {{harvtxt |Wheeden|Zygmund|1977}}, {{harvtxt|Rudin|1987}} に見られる標準的な方法に従ったものである。

定理は局所的な性質に関するものだから、''f'' はある有限の半径を持った球の外部では値 0 をとると仮定して良い。任意の ''α''&nbsp;>&nbsp;0 に対し、集合 
:<math>E_\alpha = \Bigl\{ x \in \mathbf{R}^n :\limsup_{|B|\rightarrow 0, \, x \in B}  \frac{1}{|B|} \bigg|\int_B f(y) -f(x)\, \mathrm{d}y\bigg|  > 2\alpha \Bigr\}</math>
が測度 0 であることを示せば十分である。

''ε''&nbsp;>&nbsp;0 を任意にとって固定する。空間 [[Lp空間|''L''<sup>1</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>)]] における[[コンパクト空間|コンパクト]][[関数の台|台]]な[[連続写像|連続関数]]の[[稠密集合|稠密性]]より、
:<math>\|f - g\|_{L^1} = \int_{\mathbf{R}^n} |f(x) - g(x)| \, \mathrm{d}x < \varepsilon</math> 
を満たす連続関数 ''g'' をとることができる。ここで、差を次のように書き直す。
:<math> \frac{1}{|B|} \int_B f(y) \, \mathrm{d}y - f(x) = \Bigl(\frac{1}{|B|} \int_B \bigl(f(y) - g(y)\bigr) \, \mathrm{d}y \Bigr) + \Bigl(\frac{1}{|B|}\int_B g(y) \, \mathrm{d}y - g(x) \Bigr)+ \bigl(g(x) - f(x)\bigr).</math>
第1項は、次で定義される ''x'' における ''f''&nbsp;&minus;&nbsp;''g'' の極大関数 <math>(f-g)^*(x)</math> で絶対値が上から抑えられる。
:<math> \frac{1}{|B|} \int_B |f(y) - g(y)| \, \mathrm{d}y  \leq \sup_{r>0} \frac{1}{|B_r(x)|}\int_{B_r(x)} |f(y)-g(y)| \, \mathrm{d}y = (f-g)^*(x).</math>
第2項は ''g'' の連続性より極限をとると消える。

第3項は |''f''(''x'')&nbsp;&minus; ''g''(''x'')| で上から抑えられる。

最初の条件式で絶対値の極限が 2''α'' を上回るためには、第1項か第3項の少なくとも一方の絶対値は ''α'' を上回らなければならない。ところが、ハーディ＝リトルウッドの極大函数は、次元 ''n'' のみに依存するある定数 ''A<sub>n</sub>'' により
:<math> \Bigl| \left \{ x : (f-g)^*(x) > \alpha \right \} \Bigr| \leq \frac{A_n}{\alpha} \, \|f - g\|_{L^1} < \frac{A_n}{\alpha} \, \varepsilon,</math>
と評価される。一方[[マルコフの不等式]]より 
:<math> \Bigl|\left\{ x : |f(x) - g(x)| > \alpha \right \}\Bigr| \leq \frac{1}{\alpha} \, \|f - g\|_{L^1} < \frac{1}{\alpha} \, \varepsilon</math>
よって 
:<math> |E_\alpha| \leq \frac{A_n+1}{\alpha} \, \varepsilon.</math>
''ε'' は任意だったので、この右辺はいくらでも小さくすることができる。これで定理が示された。

==証明に関して==

ハーディ＝リトルウッドの極大函数についての評価式を示すのに用いられるという点で、[[ヴィタリの被覆定理]]は本定理の証明の要になる。

この定理は、「微分」の定義のところで球体の族の代わりに、ルベーグの正則性条件（Lebesgue's regularity condition, 先に定義した "bounded eccentricity" と同じ）を満たし、直径が 0 にいくらでも近いものがとれるような集合族を用いてもそのまま成り立つ。このように取り換えてもヴィタリの被覆定理が同様に成り立つからである。

==議論==

この定理は[[微分積分学の基本定理]]の相似物ないし一般化である。微分積分学の基本定理は、[[リーマン積分]]可能な関数は、そのリーマン（不定）積分の導関数と同一である（equate）ことを主張する。この逆を示すこともできる。任意の微分可能な関数は、その導関数の「積分」と同一である。ただし任意の導関数の積分可能性を保証するために[[ヘンストック＝クルツヴァイル積分]]を考える必要がある。

ルベーグの微分定理の特別な場合が[[ルベーグの密度定理]]であり、これはルベーグ可測集合の指示関数に対し微分定理を適用したものである。密度定理は普通、より簡単な方法で証明される（{{harvtxt|Oxtoby|1980}} を参照）。

この定理は、ルベーグ測度を '''R'''<sup>''n''</sup> 上の任意の有限値[[ボレル測度]]に取り換えても成り立つ（証明は例えば {{harvtxt|Ledrappier|Young|1985}}）。より一般に、以下の条件のうちいずれかが成り立っているならば、[[可分空間|可分]]な距離空間上の任意の有限値ボレル測度について同じ主張が成り立つ。 
* 距離空間が[[リーマン多様体]]である。
* 距離空間が局所コンパクトな[[超距離空間]]である。
* 測度が{{仮リンク|doubling空間|label=doubling測度|en|Doubling space}}である。

これらの結果の証明は {{harvtxt|Federer|1969}} の sections 2.8‐2.9 に記載がある。

==関連項目==

* [[ルベーグの密度定理]]

==参考文献==
{{参照方法|date=2023年7月}}
* {{cite book
| last = Lebesgue
| first = Henri
| authorlink=Henri Lebesgue
| title = Leçons sur l'Intégration et la recherche des fonctions primitives
| publisher = Gauthier-Villars
| place=Paris
| year = 1904
| ref = harv 
}} （『積分の教程および原始関数の探究』）
* {{cite journal
| last = Lebesgue
| first = Henri
| authorlink=Henri Lebesgue
| title = Sur l'intégration des fonctions discontinues|url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1910_3_27__361_0
| journal = Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure
| volume = 27
| year = 1910
| pages = 361–450
| ref = harv 
}} （『不連続関数の積分について』）
* {{cite book
| last = Wheeden
| first = Richard L.
| last2 = Zygmund
| first2 = Antoni
| authorlink2 = Antoni Zygmund
| title = Measure and Integral – An introduction to Real Analysis
| publisher = Marcel Dekker
| place=
| year = 1977
| ref = harv 
}}
* {{cite book
| last = Oxtoby
| first = John C.
| title = Measure and Category
| publisher = Springer Verlag
| place=
| year = 1980
| ref = harv 
}}
* {{Cite book
| last1 = Stein
| first1 = Elias M.
| authorlink=Elias M. Stein
| last2 = Shakarchi
| first2 = Rami
| title = Real analysis
| series = Princeton Lectures in Analysis, III
| publisher = Princeton University Press
| location = Princeton, NJ
| year = 2005
| pages = xx+402
| isbn = 0-691-11386-6
| ref = harv
| postscript = <!--None-->
}} {{MathSciNet|id=2129625}}
*{{cite book |title=Integration And Modern Analysis |series=Birkhäuser Advanced Texts |last=Benedetto |first=John J. |last2=Czaja |first2=Wojciech |publisher=Springer |year=2009 |ref = harv |isbn=0817643060 |pages=361–364}}
*{{cite book |last=Rudin |first=Walter |title=Real and complex analysis |edition=3rd |year=1987  |ref = harv |series=International Series in Pure and Applied Mathematics |publisher=McGraw–Hill |isbn=0070542341}}
*{{cite journal|last1=Ledrappier|first1=F.|last2=Young|first2=L.S.|author2-link=Lai-Sang Young|title=The Metric Entropy of Diffeomorphisms: Part I: Characterization of Measures Satisfying Pesin's Entropy Formula|journal=Annals of Mathematics|volume = 122|year = 1985|pages = 509–539|ref = harv |jstor=1971328|doi=10.2307/1971328}}
* {{cite book
| last = Federer
| first = Herbert
| authorlink = Herbert Federer
| title = Geometric measure theory
| publisher = Springer-Verlag New York Inc.
| place= New York
| year = 1969
| ref = harv 
| series = Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band
| volume = 153
}}

{{DEFAULTSORT:るへえくのひふんていり}}
[[Category:測度論]]
[[Category:実解析]]
[[Category:アンリ・ルベーグ]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]