ルベーグ被覆次元のソースを表示

[[数学]]の一分野、[[位相空間論]]における'''ルベーグ被覆次元'''（ひふくじげん、{{lang-en-short|''Lebesgue covering dimension''}}）あるいは'''位相次元'''（いそうじげん、{{lang-en-short|''topological dimension''}}）は、[[位相空間]]に対して[[位相不変量]]となる[[次元]]の概念の（いくつかの同値でないものの）うちの一種である。

== 定義 ==
位相空間 ''X'' の被覆次元は、
: ''X'' の任意の有限[[開被覆]] <math>\mathcal{A}</math> に対し、その[[細分 (位相空間論)|細分]]となる有限開被覆 <math>\mathcal{B}</math> で、Xのどの点に対しても、それを含んでいる<math>\mathcal{B}</math>の要素が ''n'' + 1 個以下であるようなものが存在する
という条件を満足する ''n'' の最小値として定義される。そのような ''n'' が存在しないときは、その空間の被覆次元は無限であるという。

== 例  ==
''n''-次元 [[ユークリッド空間]] ''E''<sup>''n''</sup> の被覆次元は ''n'' である。

位相空間が被覆次元に関して[[0次元| 0-次元]]となるのは、その空間の任意の開被覆が[[素集合|互いに素な開集合]]から成る細分を持つ場合に限る。故に、そのような空間の各点は、そのような細分の開集合のうち、ちょうど一つのみに属する。

[[単位円]]の開被覆が任意に与えられたとき、開弧の族からなる細分が取れる。そのような任意の被覆は、さらに細分していけば円の各点 ''x'' が「高々」二つの開弧に属すようにすることができるから、定義により、円は次元 1 を持つ。つまり、どんな弧の族から始めたとしても、そのうちのいくつかは捨てたり縮めたりして、残りがまだ円を、ただし一重に、被覆するようにすることができる。

同様に、二次元[[平面]]における[[単位円板]]の任意の開被覆を細分して、円板の各点が三つ以上の開集合に属さないようにすることができる（二つでは一般には十分ではない）。故に円板の被覆次元は 2 となる。
<!--
A non-technical illustration of these examples below.
{| |-
| [[Image:Refinement_on_a_circle.png|thumb|Below is a refinement of a cover (above) of a circular line (black). Notice how in the refinement no point on the line is contained in more than two sets. Note also how the sets link to each other to form a "chain".]]
|| [[Image:Refinement_on_a_planar_shape.png|thumb|Below left is a refinement of a cover (above) of a planar shape (dark) so that all points in the shape are contained in at most three sets. Below right is an attempt to refine the cover so that no point would be contained in more than two sets. This fails in the intersection of set borders. Thus, a planar shape isn't "webby" or cannot be covered with "chains", but is in a sense thicker; i.e., its topological dimension must be higher than one.]]
|}
-->
== 性質 ==
* 互いに同相な空間の被覆次元は等しい。
* '''ルベーグ被覆定理''': 有限[[単体的複体]]の[[アフィン次元]]とルベーグ被覆次元は一致する。
* [[正規空間]]の被覆次元は、[[大きい帰納次元]]と一致するか、より小さい。
* 正規空間 ''X'' の被覆次元が高々 ''n'' であるための必要十分条件は、''X'' の任意の閉部分集合 ''A'' について ''f'': ''A'' &rarr; ''S''<sup>''n''</sup> が連続ならばその拡張となる連続写像 ''g'': ''X'' &rarr; ''S''<sup>''n''</sup> が存在することである。ここで ''S''<sup>''n''</sup> は ''n''-次元[[球面]]を表す。
* '''色つき次元に関するオストランドの定理''': [[正規空間]] ''X'' が不等式 dim&thinsp;''X'' &le; ''m'' &ge; 0 を満たすための必要十分条件は、空間 ''X'' の任意の局所有限開被覆 <div style="margin:1ex 2em;"><math>
  \mathcal U= \{U_\alpha\}_{\alpha\in\mathcal A}
</math></div> に対して、''X'' の開被覆 <math>\mathcal V</math> で ''n'' + 1 個の被覆族 <div style="margin:1ex 2em;"><math>
  \mathcal V_1, \mathcal V_2,\dots,\mathcal V_{n+1}
</math></div>の和として表すことができるものが存在することである。ただし、<div style="margin:1ex 2em;"><math>
  \mathcal V_i=\{V_{i,\alpha}\}_{\alpha\in\mathcal A}
</math></div>で、<math>\mathcal V_i</math> たちは互いに交わらず、各 ''i'' および &alpha; に対して ''V''<sub>''i'',&alpha;</sub> &sub; ''U''<sub>&alpha;</sub> を満たすものとする。

== 歴史 ==
[[アンリ・ルベーグ|ルベーグ]]の先行する結果に基づき、被覆次元の厳密な定義を初めて与えたのは[[:en:Eduard Čech|チェック]]である。

== 関連項目 ==
* [[次元 (数学)]]
* [[次元論 (代数学)]]
* [[メタコンパクト空間]]
* [[点有限族]]

== 参考文献 ==
=== 歴史的な文献 ===
* {{aut|[[カール・メンガー (数学者)|Karl Menger]]}}, ''General Spaces and Cartesian Spaces'', (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in ''Classics on Fractals'', Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
* {{aut|[[カール・メンガー (数学者)|Karl Menger]]}}, ''Dimensionstheorie'', (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.
* A. R. Pears, ''Dimension Theory of General Spaces'', (1975) Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8

=== 現代的な文献 ===
* V.V. Fedorchuk, ''The Fundamentals of Dimension Theory'', appearing in ''Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I'', (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.

{{DEFAULTSORT:るへえくひふくしけん}}
[[Category:次元論]]
[[Category:アンリ・ルベーグ]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]


{{No footnotes|date=December 2009}}