ルモワーヌ六角形のソースを表示


[[ファイル:Lemoine_Hexagon.svg|サムネイル|360x360ピクセル|ルモワーヌ六角形。自己交叉し、第一ルモワーヌ円に内接する。]]
'''ルモワーヌ六角形'''<ref>{{Cite book|和書 |title=幾何学精義（数学中等参考叢書） |year=1907 |publisher=[[成美堂書店]] |page=693 |author=長澤龜之助 |authorlink=長澤龜之助|id={{NDLJP|828520}}}}</ref>（ルモワーヌろっかくけい、{{Lang-en-short|Lemoine hexagon}}）または'''ルモワーヌ六辺形'''<ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学 第1巻 平面之部 |year=1913 |publisher=[[山海堂 (出版社)|山海堂]] |pages=602,622 |id={{NDLJP|930885}} |author=[[ウジェーヌ・ルーシェ]], [[シャルル・ド・コンブルース]] |editor=[[小倉金之助]]}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=三角法精義 |publisher=成美堂書店 |year=1907 |page=253 |author=長澤龜之助 |id={{NDLJP|828657}}}}</ref>は、[[三角形]]の[[ルモワーヌ点]]を通る三角形の辺に[[平行]]な直線（ルモワーヌ平行線）と各辺の交点から成る[[内接図形|内接]][[六角形]]である。点の繋ぎ方によって二つの異なる[[定義]]がある。

== 面積と周長 ==
ルモワーヌ六角形は二つの定義ができる。一つは単に交点を頂点とする六角形として定義するものである。もう一つは、頂点は先と同様であるが、ルモワーヌ平行線を辺に持ち、すべての辺がルモワーヌ点で交わるような六角形として定義するものである。

単純な方の六角形は、三角形の[[辺]]長を<math>a, b, c</math>、[[面積]]を<math>\Delta</math>として周長は次の式で与えられる。

: <math>
p = \frac{a^3+b^3+c^3+3abc}{a^2+b^2+c^2}
</math>

面積は次の式で与えられる。

: <math>
K = \frac{a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{\left( a^2+b^2+c^2 \right)^2} \Delta
</math>

自己交叉する方の六角形の周長は、

: <math>
p = \frac{\left( a+b+c\right) \left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}
</math>

面積は、

: <math>
K = \frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\Delta
</math>

== 外接円 ==
[[平面幾何学]]においては{{仮リンク|円錐曲線の決定|en|Five points determine a conic|label=円錐曲線は五点で決まる}}。したがって、6つの点がいつでも同一円錐曲線上にある、特に[[共円]]であるとは限らない。しかしルモワーヌ六角形は共円[[多角形]]である。その外接円は[[類似中線|第一ルモワーヌ円]]と言われる。ルモワーヌ六角形の一般化に[[タッカー円]]を使うものがある。

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{citation|title=A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples|last=Casey|first=John|authorlink=ジョン・ケイシー (数学者)|year=1888|edition=5th|publisher=Hodges, Figgis, & Co.|pages=179ff|chapter=Lemoine's, Tucker's, and Taylor's Circles|chapter-url=https://books.google.com/books?id=i87Ikm2u_6sC&pg=PA179|location=Dublin}}
* {{Citation|title=Association francaise pour l'avancement des sciences, Congrès (002; 1873; Lyon)|last=Lemoine|first=É.|author-link=エミール・ルモワーヌ|year=1874|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k201149r/f128.image|pages=90–95|chapter=Sur quelques propriétés d’un point remarquable d’un triangle|language=French}}.
* {{Citation|title=Symmedians of a triangle and their concomitant circles|last=Mackay|first=J. S.|year=1895|author-link=ジョン・スタージョン・マッケイ|journal=Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society|volume=14|pages=37–103|doi=10.1017/S0013091500031758}}.

== 関連項目 ==
* [[三角形の円錐曲線]]
* [[エミール・ルモワーヌ]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|id=LemoineHexagon|title=Lemoine Hexagon}}

{{デフォルトソート:るもわあぬろくかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]