ルンゲの定理のソースを表示

[[Image:Runge theorem.svg|right|thumb|320px|青色のコンパクト集合と各々の穴の中の点上で与えられた正則函数 f が与えられると、これらの 3つの点でのみ極を持つ有理関数により f を近似することができる。]]
複素解析では、'''ルンゲの定理'''（{{lang-en-short|''Runge's theorem''}}）（'''ルンゲの近似定理'''（{{lang-en-short|''Runge's approximation theorem''}}）としても知られている）は、1885年、最初にこの定理を証明したドイツの数学者[[カール・ルンゲ]]の名前に因む。この定理は以下の内容である。

:'''C''' を[[複素数]]の集合、K を '''C''' の[[コンパクト集合|コンパクト部分集合]]、f を K を含む開集合上で[[正則函数|正則]]な函数とする。<math>\mathbb{C}\backslash K</math> 中のすべての[[有界]][[連結空間|連結]]な集合について、それぞれの元の複素数を少なくともひとつ含むような集合を A とすると、K 上の f へ[[一様収束]]する[[有理函数]][[数列|列]] <math>(r_n)_{n\in\N}</math> が存在し、函数 <math>(r_n)_{n\in\N}</math> のすべての[[極 (複素解析)|極]]は A の元である。

A のすべての複素数が有理函数列 <math>(r_n)_{n\in\N}</math> の極となるわけではないことに注意する。函数列の要素 <math>(r_n)_{n\in\N}</math> がすべて極を持ち、それらが A の中にあることしか分からない。

この定理が非常に強力である点は、集合 A を任意に選択できることにある。言い換えると、<math>\mathbb{C}\backslash K</math> の有界連結な成分の中から'''任意の'''複素数を選ぶことができ、選んだ数のみが極となる有理函数列の存在が定理から保証される。

<math>\mathbb{C}\backslash K</math> が連結集合（K が単連結であることと同値）である特別な場合は、定理の集合 A は空集合となる。極をもたない有理函数は単に[[多項式]]であるので、次の[[系 (数学)|系]]を得る。

:<math>\mathbb{C}\backslash K</math> が連結集合であるような '''C''' のコンパクト部分集合を K として、f が K 上の正則函数であれば、K 上で f に一様収束する多項式の列 <math>(p_n)</math> が存在する。

ルンゲの定理は次のように一般化される。A を[[リーマン球面]] '''C'''∪{∞} の部分集合とし、A が K の非有界な連結成分（∞ を含む）と交わるとすると、上の定式化において、有理函数は無限遠点に極を持つことが分かる。一方、さらに一般的な定式化の中では、極は K の非有界な連結成分のどこにでも選ぶことができる。
<!--[[Image:Runge theorem.svg|right|thumb|Given a holomorphic function ''f'' on the blue compact set and a point in each of the holes, one can approximate ''f'' as well as desired by rational functions having poles only at those three points.]]

In [[complex analysis]], '''Runge's theorem''' (also known as '''Runge's approximation theorem''') is named after the German mathematician [[Carl Runge]] who first proved it in the year 1885. It states the following: 

Denoting by '''C''' the set of [[complex numbers]], let ''K'' be a [[compact set|compact subset]] of '''C''' and let ''f'' be a [[function (mathematics)|function]] which is [[holomorphic function|holomorphic]] on an open set containing ''K''. If ''A'' is a set containing at least one complex number from every [[bounded set|bounded]] [[connected set|connected component]] of '''C'''\''K'' then there exists a [[sequence]] <math>(r_n)_{n\in\N}</math> of [[rational function]]s which [[uniform convergence|converges uniformly]] to ''f'' on ''K'' and such that all the [[pole (complex analysis)|poles]] of the functions <math>(r_n)_{n\in\N}</math> are in ''A.'' 

Note that not every complex number in ''A'' needs to be a pole of every rational function of the sequence <math>(r_n)_{n\in\N}</math>. We merely know that for all members of <math>(r_n)_{n\in\N}</math> that '''do''' have poles, those poles lie in ''A''.

One aspect that makes this theorem so powerful is that one can choose the set ''A'' arbitrarily. In other words, one can choose '''any''' complex numbers from the bounded connected components of '''C'''\''K'' and the theorem guarantees the existence of a sequence of rational functions with poles only amongst those chosen numbers.

For the special case in which '''C'''\''K'' is a connected set (or equivalently that ''K'' is simply-connected), the set ''A'' in the theorem will clearly be empty. Since rational functions with no poles are simply [[polynomial]]s, we get the following [[corollary]]: If ''K'' is a compact subset of '''C''' such that '''C'''\''K'' is a connected set, and ''f'' is a holomorphic function on ''K'', then there exists a sequence of polynomials <math>(p_n)</math> that approaches ''f'' uniformly on ''K''.

Runge's theorem generalises as follows: if one takes ''A'' to be a subset of the [[Riemann sphere]] '''C'''∪{∞} and requires that ''A'' intersect also the unbounded connected component of ''K'' (which now contains ∞). That is, in the formulation given above, the rational functions may turn out to have a pole at infinity, while in the more general formulation the pole can be chosen instead anywhere in the unbounded connected component of ''K''. -->

==証明==
{{harvtxt|Sarason|1998}}で与えられた基本的な証明は、次のような証明である。閉で区分線型な K を含む開集合の周囲 Γ が存在する。[[コーシーの積分定理]]により、K の元 w について、

:<math>f(w)={1\over 2\pi i} \int_\Gamma {f(z) \, dz\over z-w}</math>

である。リーマン近似和は、K 上の周回積分を一様に近似することに使える。和の各々の項は、積分経路上の任意の点 z に対して (z − w)<sup>−1</sup> のスカラー倍である。これによって Γ 上に極を持つ有理函数で一様に近似できる。

これを K の補集合の各成分に対する特定の点で極を持つような近似へ変形するには、 (z − w)<sup>−1</sup> の形式の項に対して、以下を確認すれば充分である。z<sub>0</sub> が z と同じ成分中の点であれば、z から z<sub>0</sub> への区分線型な経路をとる。2つの点が経路上充分近くであれば、最初の点でのみ極を持つすべての有理函数は、第二の点でローラン展開することができる。このローラン級数は、第二の点でのみ極を持ち、K 上でもとの函数に一様に近い有理函数を与えるように、級数展開を打ち切ることができる。z から z<sub>0</sub> への経路にそって進むと、もとの函数 (z − w)<sup>−1</sup> は z<sub>0</sub> でのみ極を持つ有理函数を与えるように変形することができる。

z<sub>0</sub> が無限遠点であれば、上の手順により、有理函数 (z − w)<sup>−1</sup> を、R > 0 で極を持つ有理函数 g で近似することができる。ここで R は K のどの元も w < R となるような十分に大きな値である。 g の 0 近傍でのテイラー級数展開は、K 上の多項式近似を与えることにより打ち切ることができる。
<!--==Proof==
An elementary proof, given in {{harvtxt|Sarason|1998}}, proceeds as follows. There is a closed piecewise-linear contour Γ in the open set, containing ''K'' in its interior. By [[Cauchy's integral theorem]]

:<math>f(w)={1\over 2\pi i} \int_\Gamma {f(z) \, dz\over z-w}</math>

for ''w'' in ''K''. Riemann approximating sums can be used to approximate the contour integral uniformly over ''K''. Each term in the sum is a scalar multiple of (''z'' − ''w'')<sup>−1</sup> for some point ''z'' on the contour. This gives a uniform approximation by a rational function with poles on Γ. 

To modify this to an approximation with poles at specified points in each component of the complement of ''K'', it is enough to check this for terms of the form  (''z'' − ''w'')<sup>−1</sup>. If ''z''<sub>0</sub> is the point in the same component as ''z'', take a piecewise-linear path from ''z'' to  ''z''<sub>0</sub>. If two points are sufficiently close on the path, any rational function with poles only at the first point can be expanded as a Laurent series about the second point. That Laurent series can be truncated to give a rational function with poles only at the second point uniformly close to the original function on ''K''. Proceeding by steps along the path from ''z'' to ''z''<sub>0</sub> the original function (''z'' − ''w'')<sup>−1</sup> can be successively modified to give a rational function with poles only at ''z''<sub>0</sub>. 

If ''z''<sub>0</sub> is the point at infinity, then by the above procedure the rational function  (''z'' − ''w'')<sup>−1</sup> can first be approximated by a rational function ''g'' with poles at ''R'' > 0 where ''R'' is so large that ''K'' lies in ''w'' < ''R''.  The Taylor series expansion of ''g'' about 0 can then be truncated to give a polynomial approximation on ''K''.-->

==参照項目==
*[[メルゲルヤンの定理]]

==参考文献==
*{{citation|first=John B.|last= Conway|title=A Course in Functional Analysis|publisher= Springer|edition =2nd|year=1997|id= ISBN 0-387-97245-5}}
*{{citation|first=Robert E. |last=Greene |first2= Steven G.|last2= Krantz|title=Function Theory of One Complex Variable|publisher= American Mathematical Society|edition =2nd|year=2002|id= ISBN 0-8218-2905-X}}
*{{citation|last= Sarason|first=Donald |title=Notes on complex function theory|series= Texts and Readings in Mathematics|volume= 5| publisher=Hindustan Book Agency|year= 1998|id= ISBN 81-85931-19-4|pages=108-115}}

==外部リンク==
* {{SpringerEOM|title=Runge theorem|urlname=Runge_theorem}}

{{DEFAULTSORT:るんけのていり}}
[[Category:複素解析の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]