ルンゲ＝レンツベクトルのソースを表示

[[物理学]]において、'''ルンゲ＝レンツベクトル'''（{{lang-en-short|Runge–Lenz vector}}）とは、[[ケプラー問題]]、すなわち[[逆二乗則]]に従う[[中心力]]の下の運動における[[保存量]]の一つ{{Sfnp|Goldstein|Safko|Poole Jr.|2001|loc=chapter 3}}{{Sfnp|Schiff|1968|loc=chapter 7}}{{Sfnp|Greiner|Müller|1994|loc=chapter 14}}。[[古典力学]]の[[天体運行]]のケプラー問題や[[量子力学]]の[[水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解|水素原子モデルの問題]]などに現れる。空間的な[[回転対称性]]の下で保存量となる[[角運動量]]のように、他の多くの保存量が[[対称性#空間の対称性|幾何学的な対称性]]から導かれるのとは異なり、ルンゲ＝レンツベクトルを導く[[対称性 (物理学)|対称性]]は力学的性質に由来し、力学的対称性と呼ばれる{{Sfnp|Schiff|1968|loc=chapter 7}}{{Sfnp|Greiner|Müller|1994|loc=chapter 14}}。水素原子の[[束縛状態]]においては、量子力学的な[[角運動量演算子]]とルンゲ＝レンツベクトル演算子の[[交換関係 (量子力学)|交換関係]]は4次[[特殊直交群]]{{math|SO(4)}}に対応する[[リー代数]]をなし、[[固有値問題]]の代数的な解法を与える。

ルンゲ＝レンツベクトルという名はドイツの物理学者[[カール・ルンゲ]]と{{仮リンク|ヴィルヘルム・レンツ|en|Wilhelm Lenz}}に因む<ref name="Goldstein1975">{{cite journal|last1=Goldstein|first1=Herbert|title=Prehistory of the "Runge–Lenz" vector|publisher={{enlink|American Association of Physics Teachers|AAPT|p=off|s=off}}|journal={{enlink|American Journal of Physics|Am. J. Phys.|p=off|s=off}}|volume=43|issue=8|year=1975|pages=737-738|issn=0002-9505|lccn=2007233687|oclc=1480178|bibcode=1975AmJPh..43..737G|doi=10.1119/1.9745}}</ref>。[[1924年]]の[[前期量子論]]の論文において、レンツはケプラー問題の[[摂動]]にルンゲ＝レンツベクトルを適用し、その引用文献として、ルンゲの[[ベクトル解析]]の著作 "''Vectoranalysis''" を挙げた<ref name="Lenz1923">{{Cite journal|author=W. Lenz|title=Über den Bewegungsverlauf und die Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung|publisher=[[シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア|Springer]]|journal=[[ツァイトシュリフト・フュア・フィジーク|Z. Physik]]|volume=24|issue=1|pages=197-207|month=December|year=1924|issn=0044-3328|oclc=630219143|doi=10.1007/BF01327245}}</ref><ref name="Runge1919">{{cite book|author=C. Runge|title=Vectoranalysis|publisher=[[:de:S. Hirzel Verlag|S. Hirzel]]|location=[[ライプツィヒ|Leipzig]]|year=1919|format=[[Portable Document Format|PDF]]|url=https://ia601601.us.archive.org/2/items/in.ernet.dli.2015.211863/2015.211863.Vector-Analysis.pdf}}</ref>。なお、フランスの物理学者[[ピエール＝シモン・ラプラス]]はルンゲやレンツに先駆けて、[[1799年]]の[[天体力学]]の著作 "''Traité de mécanique céleste''" の中でルンゲ＝レンツベクトルの性質を論じており{{R|Goldstein1975}}<ref name="Laplace1799a">{{cite book|author=P. S. de Laplace|title=Traité de mécanique céleste|place=Tome I, Livre II, CHAPITRE III|page=165|year=1799|format=[[Portable Document Format|PDF]]|url=https://ia800205.us.archive.org/19/items/traitdemcani01lapl/traitdemcani01lapl.pdf}}</ref><ref name="Laplace1799b">{{Cite book|和書|author=ピエール＝シモン・ラプラス|translator=[[竹下貞雄]]|date=2012-01-31|title=ラプラスの天体力学論|volume=第1巻|pages=第1部、第2編、第3章|publisher=大学教育出版|id={{全国書誌番号|22052401}}。{{ASIN|B01C7A1RM0}}（[[Amazon Kindle|Kindle]]版）|isbn=978-4-86429-120-0|ncid=BB08125816|oclc=836362141|asin=4864291209|url=http://www.kyoiku.co.jp/17rapurasu/rapurasu.html}}</ref>、'''ラプラス＝ルンゲ＝レンツベクトル'''（{{lang-en-short|Laplace–Runge–Lenz vector}}）とも呼ばれる。但し、その発見はさらに古く、少なくとも18世紀初頭の[[ベルヌーイ家]]の門弟{{仮リンク|ヤコブ・ヘルマン|en|Jakob Hermann}}と[[ヨハン・ベルヌーイ]]の結果に遡るとされる<ref name="Goldstein1976">{{cite journal|last1=Goldstein|first1=Herbert|title=More on the prehistory of the Laplace or Runge–Lenz vector|publisher={{enlink|American Association of Physics Teachers|AAPT|p=off|s=off}}|journal={{enlink|American Journal of Physics|Am. J. Phys.|p=off|s=off}}|volume=44|issue=11|year=1976|pages=1123-1124|issn=0002-9505|lccn=2007233687|oclc=1480178|bibcode=1976AmJPh..44.1123G|doi=10.1119/1.10202}}</ref>。

==導入==
ルンゲ＝レンツベクトルは距離に反比例する[[引力]]型の中心力ポテンシャルによるケプラー問題に現れる{{Sfnp|Goldstein|Safko|Poole Jr.|2001|loc=chapter 3}}{{Sfnp|Schiff|1968|loc=chapter 7}}{{Sfnp|Greiner|Müller|1994|loc=chapter 14}}。[[重力ポテンシャル]]によって[[太陽]]の回りを運行する[[惑星]]や[[クーロンポテンシャル]]によって[[原子核]]の回りを運動する水素型原子の[[電子]]の運動はそうした例である。ここで、古典力学でのケプラー問題を考え、ルンゲ＝レンツベクトルを導入する。惑星や電子の質量に対し、太陽や原子核の質量は十分大きく、その運動は無視できるとし、原点に固定されているものと仮定する<ref group="注">より厳密に[[2体問題]]から導出するならば、重心運動と相対運動を分離し、質点の質量 {{mvar|m}} の代わりに[[換算質量]]、位置座標 {{mvar|{{mathbf|r}}}} の代わりに[[相対座標]]を用いればよい。</ref>。惑星や電子に対応する[[質点]]の位置座標を {{mvar|{{mathbf|r}}}}、質量を {{mvar|m}} とし、原点を中心とした中心力ポテンシャルを
:<math>V(r)=-\frac{k}{r}\quad(k>0)</math>
とする。正の定数 {{mvar|k}} は、重力ポテンシャルの下での天体運行モデルの場合、太陽の質量を {{mvar|M}}、惑星の質量を {{mvar|m}} とすれば、[[万有引力定数]] {{Mvar|G}} により、{{math|''k'' {{=}} ''GMm''}} で与えられる。また、クーロンポテンシャルの下での水素型原子モデルの場合、原子番号（陽子数）{{mvar|Z}}、[[電気素量]] {{mvar|e}} と[[真空の誘電率]] {{math|''&epsilon;''{{sub|0}}}} によって {{math|''k'' {{=}} ''Ze''{{sup|2}}/4''&pi;&epsilon;''{{sub|0}}}} で与えられる<ref group="注">原子核の周りを運動する電子が増えると[[遮蔽効果]]が顕著となる。原子番号 {{mvar|Z}} を[[有効核電荷]] {{math|1=''Z''{{sub|eff}} = ''Z'' &minus; ''&sigma;''}} に置き換えればよい（遮蔽定数 {{mvar|&sigma;}}）。</ref>。このとき、質点の運動を記述する[[ニュートンの運動方程式|運動方程式]]は
:<math>\dot{\boldsymbol{p}}=-\nabla V(r)=-\frac{k}{r^2}\frac{\boldsymbol{r}}{r}</math>
となる。但し、ドット記号は[[時間微分]]を表し、{{mvar|{{mathbf|p}}}} は[[運動量]]
:<math>\boldsymbol{p}=m\dot{\boldsymbol{r}}</math>
である。運動方程式の右辺は[[逆二乗則]]に従う[[中心力]]を表している。

この系では、[[力学的エネルギー]]
:<math>E=\frac{m\dot{\boldsymbol{r}}^2}{2}+V(r)</math>
と角運動量ベクトル
:<math>\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}</math>
は時間に対して不変な保存量となる。ここで、質点は角運動量ベクトルに垂直となる平面内を運動し、その軌道は原点を[[焦点 (幾何学)|焦点]]とする[[二次曲線]]となる。特に {{math|''E'' &lt; 0}} の場合、軌道は[[楕円軌道]]となる。楕円軌道の[[軌道長半径]]を {{mvar|a}}、[[軌道離心率]]を {{mvar|e}} とすると
:<math>E=-\frac{k}{2a}</math>
:<math>L=\sqrt{mka(1-e^2)}\quad(L=|\boldsymbol{L}|)</math>
の関係が成り立つ<ref group="注">特に断りのない限り、ベクトル {{mvar|{{mathbf|a}}}} の大きさは {{mvar|a}} と表記する。</ref>。

このとき、
:<math>\boldsymbol{A}=\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{L}-mk\frac{\boldsymbol{r}}{r}</math>
で定義されるベクトルを'''ルンゲ＝レンツベクトル'''と呼ぶ<ref group="注">ここでは {{harvtxt|Goldstein|Safko|Poole Jr.|2001}} の定義に従っているが、{{harvtxt|Schiff|1968}} や {{harvtxt|Greiner|Müller|1994}} など他の文献では {{mvar|{{mathbf|A}}}} を {{mvar|m}} で割ったベクトルをルンゲ＝レンツベクトルと定義している。</ref>。ルンゲ＝レンツベクトルは
:<math>\dot{\boldsymbol{A}}=\boldsymbol{0}</math>
を満たす保存量である。

一般に中心力ポテンシャルの下での運動は[[回転対称性]]から角運動量ベクトルは保存量となり、その軌道は角運動量ベクトルに垂直な一定平面内に限られる。一方で、必ずも軌道が閉じて[[閉曲線|閉軌道]]となることは保証されない<ref group="注">すべての束縛軌道が閉軌道となるのは、距離に反比例する中心力ポテンシャルと距離の二乗に比例する等方的な[[調和振動子|調和振動ポテンシャル]]のみであり、[[ベルトランの定理]]として知られている。</ref>。距離に反比例する中心力ポテンシャル {{math|''V''(''r'')}} においても、わずかにその値が揺らぐと[[近日点]]と[[遠日点]]を結ぶ軸に[[歳差]]が生じ、楕円軌道としては閉じない。軌道が閉じる背後には角運動量ベクトルに加えて、別の保存量の存在が示唆されるが、ルンゲ＝レンツベクトルがその保存量となっている{{Sfnp|Schiff|1968|loc=chapter 7}}。

==基本的な性質==
[[File:Laplace Runge Lenz vector.svg|thumb|right|400px|楕円軌道の各点におけるルンゲ＝レンツベクトル {{math|''{{mathbf|A}}'' {{=}} ''{{mathbf|p}}'' &times; ''{{mathbf|L}}'' &minus; {{Sfrac|''mk{{mathbf|r}}''|''r''}}}}（赤色の矢印）。ルンゲ＝レンツベクトルは一定であり、その方向は原点から近日点を結ぶベクトル {{math|''{{mathbf|r}}''<sub>p</sub>}} と等しく、その大きさは {{mvar|mke}} である。参考に {{math|''{{mathbf|p}}'' &times; ''{{mathbf|L}}''}}（青色の矢印）と {{math|{{Sfrac|''mk{{mathbf|r}}''|''r''}}}}（緑色の矢印）を同時に示している。但し、図中では {{math|{{hat|''{{mathbf|r}}''}} {{=}} {{Sfrac|''{{mathbf|r}}''|''r''}}}} の記法を用いている。]]
ルンゲ＝レンツベクトルは時間的に変化しない一定ベクトルであり、楕円軌道を含む一定平面内に位置する。その方向は原点である焦点と[[近日点]] ({{En|perihelion}}) を結ぶ方向にある。また、その大きさは
:<math>A=mke</math>
で与えられる。従って、近日点の座標を {{math|''{{mathbf|r}}''<sub>p</sub>}} とすると、
:<math>\boldsymbol{A}=mke\frac{\boldsymbol{r}_p}{r_p}</math>
と表すことができる。ルンゲ＝レンツベクトルを {{mvar|mk}} で除したベクトル
:<math>\boldsymbol{e}=\frac{\boldsymbol{A}}{mk}</math>
は大きさが[[軌道離心率]] {{mvar|e}} である一定ベクトルである。このベクトルは[[離心率ベクトル]]と呼ばれる。

ある時刻 {{mvar|t}} における系の状態は、位置座標 {{math|''{{mathbf|r}}'' {{=}} (''x'', ''y'', ''z'')}} と運動量 {{math|''{{mathbf|p}}'' {{=}} (''p<sub>x</sub>'', ''p<sub>y</sub>'', ''p<sub>z</sub>'')}} の6つの座標で表される6次元の[[相空間]]の点として記述され、その時間発展は相空間上の軌道を描く。一般に保存量が存在すれば、相空間の軌道は制限され、自由度が下がる。特に相空間の次元を {{math|2''n''}} とすると {{mvar|n}} 個の独立な保存量が存在すれば、相空間上の軌道は完全に決定される<ref group="注">ここでの独立とは、ハミルトン力学系の[[ポアソン括弧]]が[[リウヴィル＝アーノルドの定理|包合系]]をなすことを意味する。このとき、[[可積分#ハミルトニアン系とリウヴィル可積分性|リウヴィルの意味で可積分]]であるといわれる。</ref>。ケプラー問題において、エネルギーと角運動量ベクトルの3成分、ルンゲ＝レンツベクトルの3成分は保存量である。その総数は7個であり、相空間の次元6より多い。このことはルンゲ＝レンツベクトルと角運動量ベクトル、エネルギーは互いに独立ではないことを意味する。実際、ルンゲ＝レンツベクトルと角運動量ベクトルは[[直交]]しており、
:<math>\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{L}=\boldsymbol{0}</math>
を満たす。また、ルンゲ＝レンツベクトル、角運動量ベクトル、エネルギーは関係式
:<math>A^2=m^2k^2+2mEL^2</math>
で結ばれている。

==歴史==
ルンゲ＝レンツベクトルという名はドイツの物理学者[[カール・ルンゲ]]と{{仮リンク|ヴィルヘルム・レンツ|en|Wilhelm Lenz}}に因む。レンツは[[前期量子論]]で[[ケプラー問題]]を扱った1924年の論文の中で、[[エネルギー準位]]の摂動にルンゲ＝レンツベクトルを適用した{{R|Lenz1923}}。そして、引用文献として、ルンゲの著作 "''Vectoranalysis''" を挙げた。ルンゲはその著作において、ベクトルが関わる[[微積分]]を扱った章で、中心力の下での運動では角運動量が保存量となることを示した後、距離の2乗に反比例する中心力では別の定ベクトルが存在し、逆にその定ベクトルから軌道の方程式が導かれることを記している{{R|Runge1919}}。但し、参照文献を記しておらず、それが誰の発見によるものかも述べていない。その後、物理学者[[ヴォルフガング・パウリ]]は、1926年の論文で当時、[[原子#原子の構造|原子構造]]を説明する新しい理論として発展しつつあった[[行列力学]]を水素原子に適用し、その中でレンツの結果を引用した<ref name="Pauli1926">{{cite journal|last1=Pauli|first1=W.|title=Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik|publisher=[[シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア|Springer]]|journal=[[ツァイトシュリフト・フュア・フィジーク|Z. Physik]]|volume=36|issue=5|month=May|year=1926|pages=336-363|issn=0044-3328|oclc=630219143|bibcode=1926ZPhy...36..336P|doi=10.1007/BF01450175}}</ref>。パウリはこの論文の中で、ルンゲ＝レンツベクトルを足掛かりに、行列力学によって、水素原子のスペクトル構造や外部電場を印加した時の[[シュタルク効果]]による補正を導いた。ルンゲ＝レンツベクトルについては、パウリは「レンツによって用いられた」とのみ述べているが、その後、物理学ではルンゲ＝レンツベクトルの名で定着するに至った{{R|Goldstein1975}}。

なお、ルンゲとレンツの名を冠するルンゲ＝レンツベクトルだが、その発見の歴史はさらに時代を遡り、また、何度か独立に再発見されてきた{{R|Goldstein1975|Goldstein1976}}。多くの現代的な天体力学の文献は、ルンゲ＝レンツベクトルの発見をフランスの物理学者[[ピエール＝シモン・ラプラス]]、または[[四元数]]を発見したことで知られるアイルランドの数学者[[ウィリアム・ローワン・ハミルトン]]によるものとしている{{R|Goldstein1975}}。ラプラスは、1799年の天体力学の著作 "''Traité de mécanique céleste''" の第1巻において、ルンゲ＝レンツベクトルに相当する保存量を導いている。ラプラスは楕円軌道となる天体の運動を論じた章の中で、エネルギー、角運動量ベクトル、ルンゲ＝レンツベクトルに相当する7個の[[第一積分]]を導き、さらにこれらのうち、5個だけが独立であることを指摘している{{R|Laplace1799a|Laplace1799b}}。一方、ハミルトンは、1843年の四元数の発見後、精力的に理論の普及活動と諸分野への応用を行ったが、{{仮リンク|アイルランド王立アカデミー|en|Royal Irish Academy}}に送った1847年の四元数を力学に応用した論文の中で、ルンゲ＝レンツベクトルに相当する離心率ベクトルを独立に導いている<ref name="Hamilton1847">{{cite journal|last=Hamilton|first=WR|authorlink=ウィリアム・ローワン・ハミルトン|date=1847|title=Applications of Quaternions to Some Dynamical Questions|publisher={{enlink|Royal Irish Academy|p=off|s=off}}|journal={{enlink|Proceedings of the Royal Irish Academy|Proc. Roy. Irish Acad.|p=off|s=off}}|volume=3|pages=Appendix III. pp.xxxvi-l|format=[[Portable Document Format|PDF]]|url=http://emis.ams.org/classics/Hamilton/DynQue.pdf}}</ref>。

==ハミルトン形式とポアソン括弧==
[[ハミルトン力学|ハミルトン形式の解析力学]]で記述すれば、ケプラー問題の対称性とルンゲ＝レンツベクトルの性質がより明らかになる{{Sfnp|Goldstein|Safko|Poole Jr.|2001|loc=chapter 9}}。角運動量ベクトル {{math|''{{mathbf|L}}'' {{=}} (''L''<sub>1</sub>, ''L''<sub>2</sub>, ''L''<sub>3</sub>)}} の各成分同士の[[ポアソン括弧]]は
:<math>\{L_1, L_2 \}=L_3, \, \{L_2, L_3 \}=L_1, \, \{L_3, L_1 \}=L_2</math>
という3次[[特殊直交群]]{{math|SO(3)}}に対応する関係式を満たす。ここで[[エディントンのイプシロン]] {{mvar|&epsilon;<sub>ijk</sub>}} を用いれば、
:<math>\{L_i, L_j \}=\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk}L_k</math>
と表すことができる。また、角運動量ベクトルとルンゲ＝レンツベクトルのポアソン括弧は
:<math>\{A_i, L_j \}=\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk}A_k</math>
となる。一方、ルンゲ＝レンツベクトル同士のポアソン括弧は、例えば
:<math>\{A_1, A_2 \}=-\left(p^2-\frac{2mk}{r}\right)L_3=-2mEL_3</math>
となり、定数項 {{math|&minus;2''mE''}} の係数が付く。ここで {{math|''E'' &lt; 0}} となる束縛状態について
:<math>\boldsymbol{D}=\frac{\boldsymbol{A}}{\sqrt{-2mE}}</math>
を導入すれば、
:<math>\{L_i, L_j \}=\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk}L_k</math>
:<math>\{D_i, L_j \}=\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk}D_k</math>
:<math>\{D_i, D_j \}=\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk}L_k</math>
と簡明にまとめられる。この関係式は{{math|SO(3)}}を拡大した{{math|SO(4)}}に対応付けられる。

==水素型原子モデル==
[[File:Hydrogen energy levels.png|thumb|right|300px|水素原子 ({{math|''Z'' {{=}} 1}}) のエネルギー準位。エネルギー固有状態は主量子数 {{mvar|n}}、方位量子数 {{mvar|l}}、磁気量子数 {{mvar|m}} で指定されるが、エネルギー準位は主量子数だけで定まり、{{math|''n''<sup>2</sup>}} 重に縮退している。エネルギー準位は角運動量とルンゲ＝レンツベクトルから代数的に求めることができる。]]
量子力学においては、対称性は保存量と結び付き、エネルギー準位の[[縮退]]を導く。水素型原子モデルの[[エネルギー固有状態]]は[[主量子数]] {{mvar|n}}、[[方位量子数]] {{mvar|l}}、[[磁気量子数]] {{mvar|m}} で指定されるが、エネルギー準位は主量子数だけで定まり、{{math|''n''<sup>2</sup>}} 重に縮退している。空間的に球対称な水素型原子モデルでは、{{math|SO(3)}}で表される回転対称性により、角運動量が保存量となる。但し、回転対称性だけでは {{math|&minus;''l'', &minus;''l'' + 1, &hellip;, 0, &hellip;, ''l'' &minus; 1, ''l''}} の値をとる磁気量子数による {{math|(2''l'' + 1)}} 重の縮退しか説明できない。このことは、さらに別の対称性の存在を示唆する。この対称性こそが、束縛状態で角運動量とルンゲ＝レンツベクトルがなす{{math|SO(4)}}の対称性である。

===量子化===
量子力学では[[正準量子化]]により、力学的な物理量は[[エルミート演算子]]になる。演算子（の各座標成分）同士の積は[[交換関係 (量子力学)|可換]]とは限らず、古典力学とは違い演算子 {{math|''{{hat|{{mathbf|p}}}}'' &times; ''{{hat|{{mathbf|L}}}}''}} は {{math|&minus;''{{hat|{{mathbf|L}}}}'' &times; ''{{hat|{{mathbf|p}}}}''}} に一致しない<ref group="注">たとえば {{math|(''{{hat|{{mathbf|p}}}}'' &times; ''{{hat|{{mathbf|L}}}}'')<sub>1</sub> &minus; (&minus;''{{hat|{{mathbf|L}}}}'' &times; ''{{hat|{{mathbf|p}}}}'')<sub>1</sub>}}
{{Math|1== (''{{hat|p}}''<sub>2</sub>''{{hat|L}}''<sub>3</sub> &minus; ''{{hat|p}}''<sub>3</sub>''{{hat|L}}''<sub>2</sub>) + (''{{hat|L}}''<sub>2</sub>''{{hat|p}}''<sub>3</sub> &minus; ''{{hat|L}}''<sub>3</sub>''{{hat|p}}''<sub>2</sub>)}}
{{Math|1== [''{{hat|p}}''<sub>2</sub>, ''{{hat|L}}''<sub>3</sub>] &minus; [''{{hat|p}}''<sub>3</sub>, ''{{hat|L}}''<sub>2</sub>]}}
{{Math|1== [''{{hat|p}}''<sub>2</sub>, (''{{hat|r}}''<sub>1</sub>''{{hat|p}}''<sub>2</sub> &minus; ''{{hat|r}}''<sub>2</sub>''{{hat|p}}''<sub>1</sub>)] &minus; [''{{hat|p}}''<sub>3</sub>, (''{{hat|r}}''<sub>3</sub>''{{hat|p}}''<sub>1</sub> &minus; ''{{hat|r}}''<sub>1</sub>''{{hat|p}}''<sub>3</sub>)]}}
{{Math|1== [''{{hat|p}}''<sub>2</sub>,  &minus;''{{hat|r}}''<sub>2</sub>]''{{hat|p}}''<sub>1</sub> &minus; [''{{hat|p}}''<sub>3</sub>, ''{{hat|r}}''<sub>3</sub>]''{{hat|p}}''<sub>1</sub>}}
{{Math|1== 2''iħ{{hat|p}}''<sub>1</sub> ≠ 0}}
</ref>。したがって、{{math|''{{hat|{{mathbf|p}}}}'' &times; ''{{hat|{{mathbf|L}}}}''}} はエルミート演算子ではなく<ref group="注">{{math|(''{{hat|{{mathbf|p}}}}'' &times; ''{{hat|{{mathbf|L}}}}'')<sup>&dagger;</sup> {{=}} &minus;(''{{hat|{{mathbf|L}}}}''<sup>&dagger;</sup>) &times; (''{{hat|{{mathbf|p}}}}''<sup>&dagger;</sup>) {{=}} &minus;''{{hat|{{mathbf|L}}}}'' &times; ''{{hat|{{mathbf|p}}}}'' &ne; ''{{hat|{{mathbf|p}}}}'' &times; ''{{hat|{{mathbf|L}}}}''}}</ref>、量子力学では物理量を表わさない。そこで量子力学的なルンゲ＝レンツベクトルは、エルミート演算子
:<math>\hat{\boldsymbol{A}}=\frac{1}{2}(\hat{\boldsymbol{p}}\times\hat{\boldsymbol{L}}-\hat{\boldsymbol{L}}\times\hat{\boldsymbol{p}})-mk\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r}</math>
で定義される。

{{mvar|{{hat|{{mathbf|A}}}}}} はハミルトニアン {{mvar|{{hat|H}}}} と可換であるから、[[ハイゼンベルクの運動方程式|ハイゼンベルク方程式]]からの帰結として保存量であるといえる。
:<math>i\hbar\frac{\mathrm d\hat\boldsymbol A}{\mathrm dt}=[\hat{\boldsymbol{A}},\,\hat{H}]=0</math>
また、古典論での関係式に類似した下記の関係を満たす。
:<math>\hat{\boldsymbol{A}}\cdot\hat{\boldsymbol{L}}=\hat{\boldsymbol{L}}\cdot\hat{\boldsymbol{A}}=0</math>
:<math>\hat{\boldsymbol{A}}^2=m^2k^2+2m\hat{H}(\hat{\boldsymbol{L}}^2+\hbar^2)</math>

===対称性===
古典論と同様に {{math|''E'' &lt; 0}} となる束縛状態について、
:<math>\hat{\boldsymbol{D}}=\frac{\hat{\boldsymbol{A}}}{\sqrt{-2mE}}</math>
を導入すれば、{{mvar|{{hat|{{mathbf|L}}}}}} との交換関係として、{{math|SO(4)}}に対応する
:<math>[\hat{L}_i,\hat{L}_j]=i\hbar\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk}\hat{L}_k</math>
:<math>[\hat{D}_i,\hat{L}_j]=i\hbar\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk}\hat{D}_k</math>
:<math>[\hat{D}_i,\hat{D}_j]=i\hbar\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk}\hat{L}_k</math>
が成り立つ。すなわち、{{math|SO(3)}}またはそれと[[リー群#付随するリー環|局所同型]]な{{math|SU(2)}}に対応していた {{mvar|{{hat|{{mathbf|L}}}}}} の交換関係がなす[[リー代数]]は、{{math|SO(4)}}のものに拡張される。さらに、
:<math>\hat{\boldsymbol{I}}=\frac{1}{2}(\hat{\boldsymbol{L}}+\hat{\boldsymbol{D}})</math>
:<math>\hat{\boldsymbol{K}}=\frac{1}{2}(\hat{\boldsymbol{L}}-\hat{\boldsymbol{D}})</math>
を導入すると、これらは
:<math>[\hat{I}_i,\hat{I}_j]=i\hbar\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk}\hat{I}_k</math>
:<math>[\hat{K}_i,\hat{K}_j]=i\hbar\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk}\hat{K}_k</math>
:<math>[\hat{I}_i,\hat{K}_j]=0</math>
:<math>[\hat{\boldsymbol{I}},\hat{H}]=[\hat{\boldsymbol{K}},\hat{H}]=0</math>
と独立な2つの{{math|SO(3)}}または{{math|SU(2)}}に付随したリー代数をなす。したがって、角運動量演算子の場合と同様にハミルトニアンを同時対角化する {{math|{{hat|''{{mathbf|I}}''}}<sup>2</sup>, {{hat|''{{mathbf|K}}''}}<sup>2</sup>}} の固有値の取りうる値は
:<math>\hat{\boldsymbol{I}}^2=s(s+1)\hbar^2\quad s=0,\frac{1}{2},1,\cdots</math>
:<math>\hat{\boldsymbol{K}}^2=s'(s'+1)\hbar^2\quad s'=0,\frac{1}{2},1,\cdots</math>
となる。一方、{{math|SO(4)}}に付随するリー代数は階数2であり、リー代数の全ての元と可換となる{{仮リンク|カシミール演算子|en|Casimir element}}は2つ存在するが
:<math>\hat{\boldsymbol{I}}^2=\frac{1}{4}(\hat{\boldsymbol{L}}+\hat{\boldsymbol{D}})^2</math>
:<math>\hat{\boldsymbol{K}}^2=\frac{1}{4}(\hat{\boldsymbol{L}}-\hat{\boldsymbol{D}})^2</math>
が該当する。

===エネルギー準位===
カシミール演算子としては、{{math|{{hat|''{{mathbf|I}}''}}<sup>2</sup>, {{hat|''{{mathbf|K}}''}}<sup>2</sup>}} の[[線形結合]]として
:<math>\hat{C_1}=\hat{\boldsymbol{I}}^2+\hat{\boldsymbol{K}}^2=\frac{1}{2}(\hat{\boldsymbol{L}}^2+\hat{\boldsymbol{D}}^2)</math>
:<math>\hat{C_2}=\hat{\boldsymbol{I}}^2-\hat{\boldsymbol{K}}^2=\hat{\boldsymbol{L}}\cdot\hat{\boldsymbol{D}}</math>
をとることができる。ここで、{{math|{{hat|''{{mathbf|L}}''}}&middot;{{hat|''{{mathbf|D}}''}} {{=}} 0}} であるから、{{math|SO(4)}}のなすリー代数を  {{math|{{hat|''{{mathbf|I}}''}}<sup>2</sup> {{=}} {{hat|''{{mathbf|K}}''}}<sup>2</sup>}} に制限してよい。よって、{{math|''s'' {{=}} ''s''&prime;}} であり、{{math|''{{hat|C}}''<sub>1</sub>}} のとり得る値は
:<math>\hat{C_1}=2s(s+1)\hbar^2</math>
となる。一方、
:<math>\hat{C_1}=\frac{1}{2}\left(\hat{\boldsymbol{L}}^2-\frac{1}{2mE}\hat{\boldsymbol{A}}^2\right)=-\frac{mk^2}{4E}-\frac{1}{2}\hbar^2</math>
であるから、水素型原子の[[エネルギー準位]]は
:<math>E=-\frac{mk^2}{2\hbar^2(2s+1)^2}\quad s=0,\frac{1}{2},1,\cdots</math>
となる。ここで、{{math|2''s'' + 1}} は主量子数 {{mvar|n}} に対応する。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注"}}
=== 出典 ===
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{cite book|last1=Goldstein|first1=Herbert|first2=John L.|last2=Safko|first3=Charles P.|last3=Poole Jr.|authorlink1=:en:Herbert Goldstein|title=Classical mechanics|edition=3rd|publisher={{enlink|Addison-Wesley|Addison Wesley|p=off|s=off}}|date=June 25, 2001|ncid=BA54224901|oclc=300293270|asin=0201657023|isbn=0201657023|ref=harv}}
* {{cite book|last1=Greiner|first1=Walter|first2=Berndt|last2=Müller|authorlink1=ワルター・グライナー|authorlink2=:de:Berndt Mueller|title=Quantum Mechanics: Symmetries|edition=2nd Revised|publisher=[[シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア|Springer]]|month=November|year=1994|ncid=BA23847513|oclc=61905638|asin=0387580808|isbn=0387580808|ref=harv}}
* {{cite book|last=Schiff|first=Leonard I.|authorlink=:en:Leonard I. Schiff|title=Quantum mechanics|edition=3rd|publisher={{enlink|McGraw-Hill Education|McGraw-Hill|p=off|s=off}}|year=1968|asin=B000OG2UB2|ref=harv}}

== 関連項目 ==
* [[ケプラー問題]]
* [[対称性 (物理学)]]

== 外部リンク ==
* {{Kotobank|ルンゲ‐レンツ‐パウリのベクトル|2=法則の辞典}}

{{DEFAULTSORT:るんけれんつへくとる}}
[[Category:軌道]]
[[Category:対称性]]
[[Category:数理物理学]]
[[Category:保存則]]
[[Category:物理学のエポニム]]
[[Category:ベクトル]]