ルーローの三角形のソースを表示

{{出典の明記|date=2016-09}}
[[画像:ReuleauxTriangle.png|thumb|正三角形（破線）とそれから作られるルーローの三角形（実線）]]
'''ルーローの三角形'''（ルーローのさんかっけい、{{lang-en-short|Reuleaux triangle}}）は、[[正三角形]]の各[[辺]]を膨らませたような形をした[[定幅図形]]である。ドイツの工学者[[フランツ・ルーロー]]が考察したことからこの名がついた。

[[正三角形]]の各[[頂点]]を中心に[[半径]]がその[[正三角形]]の1辺となる[[円 (数学)#円の性質|円弧]]で結んでできる。[[曲線]]をもつので[[多角形]]ではない。また、三角形という言葉が含まれるが、三角形ではない。

== 一般化した図形 ==
同様の作図を任意の正[[奇数]]角形（[[偶数]]では不可）におこなうと、[[ルーローの多角形]]になる。ルーローの三角形は、辺と頂点の数が最も少ないルーローの多角形である。

類似の作図を[[立体]]で行うと[[ルーローの四面体]]ができる。

== 性質 ==
[[画像:Reuleaux triangle Animation.gif|thumb|正方形に内接して転がるルーローの三角形。これを応用して、正方形に近い形の穴を開けるドリルを作ることができる。]]
[[定幅図形]]なので、高さが一定のまま転がることができる。また、幅が回転しても一定のままである。しかし、転がしたときの[[重心]]の高さは一定でないため、[[円板]]のようにスムーズには転がらない。とはいえ、曲線を含む図形なので三角形よりはスムーズに転がる。

=== 定量 ===
ルーローの三角形の幅（すなわち正三角形の辺の長さ）を ''s'' とする。

幅が等しい定幅図形の周の長さは等しいとする[[バルビエの定理]]より、ルーローの三角形の周の長さは直径 ''s'' の円周に等しく <math>\pi s\,</math> である。辺の（円弧に沿った）長さは
:<math>\frac \pi 3 s \approx 1.049198 s</math>
である。

面積は
:<math>\frac 1 2 \left( \pi - \sqrt 3 \right) s^2 \approx 0.704771 s^2</math>
で、辺長 ''s'' の正三角形の面積の 1.627599 倍、直径 ''s'' の円の面積の 0.897342 倍である。[[ブラシュケ・ルベーグの定理]]より、これは幅が同じ定幅図形の中では最小である。（最大はもちろん円である。）

内角は <math>2 \pi / 3 = 120 ^\circ</math> である。

=== 内接 ===
[[画像:Wankel Cycle anim ja.gif|thumb|ロータリーエンジンの[[断面図]]]]
幅 ''s'' のルーローの三角形はどの方向にも幅 ''s'' なので、辺の長さ ''s'' の[[正方形]]の中で[[内接]]しながら回転することができる。この特長を利用した断面の[[ドリル (工具)|ドリル]]を使うとほぼ正方形の穴をあけることができる。ただし、ルーローの三角形の内角は正方形の内角（[[直角]]）より広いので、角は削りきれず[[楕円]]弧になる。

[[ロータリーエンジン]]は、ルーローの三角形が4次[[ペリトロコイド]]に[[内接]]して回転できることを利用している。

[[パナソニック]]は、ルーローの三角形を[[掃除用ロボット]]の外形に採用しており部屋の隅の掃除に強いことをセールスポイントにしている<ref>{{Cite web|和書|url=http://panasonic.jp/soji/rulo/shape.html |title=考えつくされたカタチ「ルーロ―の三角形」とは |publisher=パナソニック |accessdate=2016-05-30}}</ref>。

=== その他 ===
幅1のルーローの三角形は[[掛谷集合|掛谷針集合]]（長さ1の線分を連続的な移動で反転させることのできる図形）の代表例の一つである。

== 関連項目 ==
* [[フランツ・ルーロー]]
* [[ロータリーエンジン]]
* [[パナソニック]]・[[RULO]] - 部屋の隅まで[[掃除]]できることを目的にルーローの三角形を機体に採用した[[掃除用ロボット]]。
* [[マイバッハ]] - マークの説明として「丸みを帯びた三角形」と言われているが、ルーローの三角形と同様に三角形ではない<ref>[https://www.autocar.jp/post/237827 新型メルセデス-マイバッハSクラス日本発表　実車画像ギャラリー]</ref>。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
{{Commonscat}}
* {{高校数学の美しい物語|1058|ルーローの三角形と定幅図形}}
* {{MathWorld|urlname=ReuleauxTriangle|title=Reuleaux Triangle}}

{{Elementary-geometry-stub}}
{{DEFAULTSORT:るうろおのさんかくけい}}
[[Category:閉曲線]]
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]