ルーローの四面体のソースを表示

[[File:ReuleauxTetrahedron Animation.gif|thumb|正四面体とルーローの四面体]]
[[File:Reuleaux-tetrahedron-intersection.png|thumb|4つの球の共通部分がルーローの四面体となる]]
'''ルーローの四面体'''（ルーローのしめんたい、Reuleaux tetrahedron）は、[[正四面体]]の各[[頂点]]を[[中心]]とし、正四面体の[[辺]]長（以下 ''s'' とする）を[[半径]]とする、4つの[[球]]の[[共通部分 (数学)|共通部分]]である。

ルーローの四面体は4つの[[頂点]]、6つの[[辺]]、4つの[[多胞体の面|面]]を持ち、正四面体と[[同相]]である。しかし、面が[[平面]]ではなく膨らんでおり、各頂点を中心とし半径 ''s'' の[[球面]]の[[部分集合]]になっている。また辺も[[線分]]ではなく、各頂点を中心とし半径 ''s'' の[[円弧]]である。そのため、[[多面体]]ではない。

ルーローの四面体の定義は[[ルーローの三角形]]の定義をそのまま3次元に拡張したものといえる。ルーローの四面体の3つの頂点を通る平面での[[断面]]は、ルーローの三角形である。

== 非定幅性 ==
ルーローの三角形は[[定幅図形]]なので、ルーローの四面体も定幅図形であると考えるかもしれない。もし定幅図形なら、[[工学]]分野での応用が期待できる。しかし実際はルーローの四面体は定幅図形ではない。

ルーローの四面体の相対する辺の[[中点]]同士の距離は、
:<math>\left(\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) s \approx 1.024944 s</math>
で、頂点と相対する面上の任意の点との距離 ''s'' より大きく、定幅は成り立たない。

ただし Meißner & Schiller (1912) は、ルーローの四面体の辺を削って[[トーラス]]の部分集合で置き換えることで、定幅図形に修正できることを示した。この図形はマイスナー体 (Meissner bodies) やマイスナーの四面体 (Meissner tetrahedra) と呼ばれる。ルーローの三角形は幅が同じ2次元の定幅図形のうちで面積最小という性質が確認されているが、3次元においてマイスナーの四面体が同様か否かは未解決である(Bonnesen
–
Fenchel
Conjecture
,1934)。<ref>https://math.ucalgary.ca/ccdg/files/ccdg//u1/Hard_Problems_of_Discrete_Geometry.pdf </ref>

== 体積と表面積 ==
ルーローの四面体の[[体積]]は、
:<math> \frac{ s ^ 3 }{ 12 } \left( 3 \sqrt 2 - 49 \pi + 162 \tan^{-1} \sqrt 2 \right) \approx 0.422158 s^3</math>
である。これは辺長 ''s'' の正四面体の体積の 3.582127 倍、[[直径]] ''s'' の球の体積の 0.806262 倍である。<br>
また、表面積は
:<math>\left[8\pi -18\cos^{-1}\left(\tfrac 1 3\right)\right] s^2 \approx 2.975s^2.</math>
である。

== ルーローの多面体 ==
2次元では、ルーローの三角形以外に、任意の[[正多角形|正]][[奇数]]角形に対する[[ルーローの多角形]]が存在する。

しかし3次元では、ルーローの多面体はルーローの四面体のみである。これは、5つの[[正多面体]]のうち、頂点と面とが相対するものが[[正四面体]]のみだからである。

==脚注==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=ReuleauxTetrahedron|title=Reuleaux Tetrahedron}}
* {{cite web
 |url         = http://www.swisseduc.ch/mathematik/geometrie/gleichdick/index-en.html
 |title       = Bodies of Constant Width
 |author      = Weber C
 |work        = SwissEduc
 |lang        = en
 |accessdate=(2013-03-03)
}}

{{デフォルトソート:るうろおのしめんたい}}
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[[Category:数学のエポニム]]