レイランド数のソースを表示

'''レイランド数'''（レイランドすう、{{lang-en-short|Leyland number}}）は、[[数論]]において次の形で表される数

: <math>x^y + y^x</math>

''x'' と ''y'' は1より大きい[[整数]]<ref name="CP2005">{{Citation|title=Prime Numbers: A Computational Perspective|year=2005|last=[[Richard Crandall]] and [[Carl Pomerance]]|author=[[Richard Crandall]] and [[Carl Pomerance]]|publisher=Springer}}</ref>。名前は数学者{{仮リンク|ポール・レイランド|en|Paul Leyland}}にちなんでいる。小さい順に並べたレイランド数は以下の通り

: [[8]], [[17]], [[32]], [[54]], [[57]], [[100]], [[145]], [[177]], [[320]], [[368]], [[512]], 593, [[945]], 1124, 1649, 2169, ... ({{OEIS|A076980|id=A076980}})

''x'' と ''y'' の両方が1より大きいという要件は重要である。なぜならそれがなければすべての正の整数が ''x''<sup>1</sup> + 1<sup>''x''</sup> という形式のレイランド数になってしまうからである。また加算の[[交換法則|交換]]性のために ''x'' ≥ ''y'' の条件は通常レイランド数の重複をさけるために加えられる。(よって 1 < ''y'' ≤ ''x を用いる'')

== レイランド素数 ==
'''レイランド素数'''はレイランド数でもあり素数でもある数。小さい順に並べると以下の通り。

: 17, 593, 32993, 2097593, 8589935681, 59604644783353249, 523347633027360537213687137, 43143988327398957279342419750374600193, ... ({{OEIS|A094133|id=A094133}})

それぞれ次に対応する

: 3<sup>2</sup> + 2<sup>3</sup>, 9<sup>2</sup> + 2<sup>9</sup>, 15<sup>2</sup> + 2<sup>15</sup>, 21<sup>2</sup> + 2<sup>21</sup>, 33<sup>2</sup> + 2<sup>33</sup>, 24<sup>5</sup> + 5<sup>24</sup>, 56<sup>3</sup> + 3<sup>56</sup>, 32<sup>15</sup> + 15<sup>32</sup>.<ref name="Leyland">{{Cite web|url=http://www.leyland.vispa.com/numth/primes/xyyx.htm|title=Primes and Strong Pseudoprimes of the form x<sup>y</sup> + y<sup>x</sup>|accessdate=2007-01-14|publisher=Paul Leyland}}</ref>

また、y の値を固定しレイランド素数を与える x の値の列を考えることもできる。例えば ''x''<sup>2</sup> + 2<sup>''x''</sup> は ''x'' = 3, 9, 15, 21, 33, 2007, 2127, 3759, ... ({{OEIS2C|id=A064539}})のときに素数となる。

2012年11月までに素数であると判明した最大のレイランド数は 5122<sup>6753</sup> + 6753<sup>5122</sup> であり桁数は25050である。これは2011年1月から2011年4月までに楕円曲線の素数証明により素数であると証明された最大の数であった<ref name="ECPP">{{Cite web|url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=27|title=Elliptic Curve Primality Proof|accessdate=2011-04-03|publisher=Chris Caldwell}}</ref>。2012年12月、3110<sup>63</sup> + 63<sup>3110</sup> (5596桁) と 8656<sup>2929</sup> + 2929<sup>8656</sup> (30008桁) の2つの数字が素数であることが証明され、後者は以前の記録を上回った<ref>{{Cite web|url=http://mersenneforum.org/showthread.php?t=17554|title=Mihailescu's CIDE|accessdate=2012-12-26|date=2012-12-11|publisher=mersenneforum.org}}</ref>。314738<sup>9</sup> + 9<sup>314738</sup> などの巨大な素数候補は多くあるが<ref>Henri Lifchitz & Renaud Lifchitz, [http://www.primenumbers.net/prptop/searchform.php?form=x%5Ey%2By%5Ex&action=Search PRP Top Records search].</ref>、巨大なレイランド数が素数であるかを証明するのは難しい。レイランドは自身のウェブサイトに次のように書いている。「最近ではこの形式の数は汎用性のある素数性証明プログラムの理想的なテストケースであることが分かった。これらは単純な代数的記述を持っているが、特定目的のアルゴリズムが使用できる明白な[[円分体]]的性質はない」

[[合成数|合成]]レイランド数を[[素因数分解|分解]]するためのXYYXFというプロジェクトがある<ref name="Kulsha">{{Cite web|url=http://www.primefan.ru/xyyxf/default.html|title=Factorizations of x<sup>y</sup> + y<sup>x</sup> for 1 < y < x < 151|accessdate=2008-06-24|publisher=Andrey Kulsha}}</ref>.

== 第2種レイランド数 ==
'''第2種レイランド数'''は以下のような形の数である。

: <math>x^y - y^x</math>

ただし ''x'' と ''y'' は 1 より大きい[[整数]]で、負の数を除く数を小さい順に並べると以下の通りである。

: 0, 1, [[7]], [[17]], [[28]], [[79]], [[118]], [[192]], [[399]], [[431]], [[513]], [[924]], 1844, 1927, 2800, 3952, 6049, 7849, 8023, 13983, 16188, 18954, 32543, 58049, 61318, 61440, 65280, 130783, 162287, 175816, 255583, 261820, ... ({{OEIS|A045575}})

'''第2種レイランド素数'''は第2種レイランド数でもあり素数でもある数。小さい順に並べると以下の通りである。

: 7, 17, 79, 431, 58049, 130783, 162287, 523927, 2486784401, 6102977801, 8375575711, 13055867207, 83695120256591, 375700268413577, 2251799813682647, ... ({{OEIS|A123206|id=A123206}})

素数候補については、Henri Lifchitz & Renaud Lifchitz, PRP Top Records search参照<ref>Henri Lifchitz & Renaud Lifchitz, [http://www.primenumbers.net/prptop/searchform.php?form=x%5Ey%2Dy%5Ex&action=Search PRP Top Records search]</ref>

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==

* {{YouTube|title=Leyland Numbers - Numberphile|id=Lsu2dIr_c8k}}
[[Category:整数の類]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
{{デフォルトソート:れいらんとすう}}