レオンチェフ型関数のソースを表示

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[[File:Leontief.png|thumbnail|right|2生産要素のレオンチェフ型生産関数の[[等量曲線]]]]
'''レオンチェフ型関数'''（れおんちぇふがたかんすう、[[英語|英]]: The Leontief function）とは、投入要素が互いに[[完全補完]]で常に同じ比率の投入が行われる[[生産関数]]や[[効用関数]]のこと<ref name=":1">{{cite book|first=R. G. D. |last=Allen |title=Macro-economic Theory: A Mathematical Treatment |location=London |publisher=Macmillan |year=1968 |page=35 }}</ref><ref>WOLFRAM Demonstrations Project (May 1, 2018) [https://demonstrations.wolfram.com/LeontiefProductionFunction/ Leontief Production Function] 2022年1月5日閲覧。</ref>。[[ワシリー・レオンチェフ]]に因んで名づけられた。

==概要==
レオンチェフ型生産関数では、生産要素が互いに完全補完（英: Perfect complement）で、要素需要量の比率が常に一定になる。レオンチェフ型効用関数では、財が互いに完全補完で、財への需要量の比率が常に一定になる。[[CES型関数]]の[[代替の弾力性]]をゼロに近づけた極限がレオンチェフ型関数となる。

以下のような生産関数を考える。

:<math>q = \text{min}\left\{\frac{z_1}{a},\frac{z_2}{b}\right\}</math>

ただし''q''は生産量、''z''<sub>1</sub>は生産要素1の投入量、''z''<sub>2</sub>は生産要素2の投入量、''a''と''b''は投入量の比率を決めるパラメーターである。このとき、生産要素の投入量は<math>\frac{z_1}{a}=\frac{z_2}{b}</math>を満たすように決まる。

レオンチェフ型生産関数は微分可能ではないため、要素投入量の比率と資源制約式から要素需要関数を求める<ref name="miyazawa">宮沢和俊（2012年10月17日）[https://www1.doshisha.ac.jp/~kmiyazaw/2012/me1017.pdf 「初級ミクロ経済学 3」] 2022年1月5日閲覧。</ref>。効用関数のときも同様、財の購入量比率と予算制約式から需要関数を求める<ref name="miyazawa"/>。

==例==
===1対1の完全補完===
ゴム[[タイヤ]]（''x''<sub>1</sub>）と[[スチールホイール]]（''x''<sub>1</sub>）を生産要素としてタイヤ（''T''）という完成品を生産するとする。ゴムタイヤだけでは完成品はできず、スチールホイールだけでも完成しない。したがって、これら2つは互いに完全補完であると言える。このとき、タイヤを生産する生産関数は、
:<math>T = \text{min}\left\{x_1,x_2 \right\}</math>
のように書ける。要素投入量は<math>x_1=x_2</math>を満たすように決まる。

===1対4の完全補完===
タイヤ（''T''）と車体（''X''）を用いて自動車（''Y''）という完成品を生産するとする。車体1体につきタイヤが4つ必要なので、自動車を生産する生産関数は、
:<math>Y = \text{min}\left\{\frac{T}{4},X \right\}</math>
のように書ける。要素投入量は<math>T=4X</math>を満たすように決まる。車体が1体あるとき（<math>X=1</math>）、タイヤが4つ必要である（<math>T=4\times 1 =4</math>）ことがわかる。タイヤが5つあっても車体が1体しかないのであれば、自動車は1台しか生産できないことは、
:<math>Y = \text{min}\left\{\frac{5}{4},1 \right\}=1</math>
であることからわかる。タイヤが5つと車体が2体あるときは、
:<math>Y = \text{min}\left\{\frac{5}{4},2 \right\}=\frac{5}{4}</math>
となり、（自動車の台数が連続変数であることを許容するときは）自動車が5/4 = 1.25台生産されるという結果になる。

==出典==
{{Reflist|1}}

{{ミクロ経済学}}

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