レゾルベント集合のソースを表示

[[数学]]の、[[線形代数]]や[[作用素論]]の分野における、ある[[線形作用素]]の'''レゾルベント集合'''（レゾルベントしゅうごう、{{Lang-en-short|resolvent set}}）とは、その作用素がある意味で{{仮リンク|行儀の良い|en|well-behaved}}ものとなるための[[複素数]]からなる集合である。[[レゾルベント|レゾルベント法]]において重要な役割を担う。

==定義==
''X'' を[[バナッハ空間]]とし、<math>L\colon D(L)\rightarrow X</math> を、[[定義域]]が <math>D(L) \subseteq X</math> であるような線形作用素とする。''X'' 上の[[恒等関数|恒等作用素]]を id と表す。任意の <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> に対し

:<math>L_{\lambda} = L - \lambda \mathrm{id} </math>

を定める。作用素 <math>L_\lambda</math> の[[逆写像|逆作用素]] <math>R(\lambda, L)</math> が、次の三つの条件を満たすとき、<math>\lambda</math> は'''正則値'''（regular value）と呼ばれる:
# そのような逆 <math>R(\lambda, L)</math> が存在する;
# そのような逆 <math>R(\lambda, L)</math> は[[有界線形作用素]]である;
# そのような逆 <math>R(\lambda, L)</math> は、''X'' において[[稠密集合|稠密]]な部分空間の上で定義される。

作用素 ''L'' の'''レゾルベント集合'''とは、''L'' のすべての正則値からなる集合

:<math>\rho (L) = \{ \lambda \in \mathbf{C} |</math> <math>\lambda</math> は <math>L</math> の正則値 <math>\} </math>

である。[[スペクトル (関数解析学)|スペクトル]]とは、レゾルベント集合の[[補集合]]

:<math>\sigma (L) = \mathbf{C} \setminus \rho (L).</math>

である。スペクトルはさらに、点スペクトル（上の条件 1 が満たされない場合）、連続スペクトル（上の条件 1 と 3 は満たされるが、2 が満たされない場合）および剰余スペクトル（上の条件 1 は満たされるが、3 は満たされない場合）の三種類に区分される。

==性質==
* 有界線形作用素 ''L'' のレゾルベント集合 <math>\rho(L) \subseteq \mathbb{C}</math> は[[開集合]]である。

==参考文献==
* {{cite book
| last = Renardy
| first = Michael
| coauthors = Rogers, Robert C.
| title = An introduction to partial differential equations
| series = Texts in Applied Mathematics 13
| edition = Second
| publisher = Springer-Verlag
| address = New York
| year = 2004
| isbn = 0-387-00444-0
| page = xiv+434
| nopp = true
}} {{MathSciNet|id=2028503}} (See section 8.3)

==外部リンク==
* {{SpringerEOM|title=Resolvent set|last= Voitsekhovskii|first= M.I.|urlname=Resolvent_set}}

{{Mathanalysis-stub}}
{{DEFAULTSORT:れそるへんとしゆうこう}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]