レフシェッツ不動点定理のソースを表示

{{要改訳}}
数学で、'''レフシェッツ不動点定理'''(Lefschetz fixed-point theorem)は、[[コンパクト空間|コンパクト]]な[[位相空間]] X からそれ自身への[[連続 (数学)|連続写像]]の[[不動点]]の数を、X の[[ホモロジー群]]の上の誘導された写像の[[跡 (線型代数学)|トレース]]によって数える公式である。この名称は[[ソロモン・レフシェッツ]](Solomon Lefschetz)にちなみ、1926年に彼が最初に提唱した。

数え上げの問題は、不動点と呼ばれる点での[[重根 (多項式)|多重度]]も考慮して不動点を数える問題である。この定理の弱いバージョンは、'''全く'''不動点を持たない写像は、むしろ特別のトポロジー的（円の回転に似た）性質を持つことを示すことができる。
<!--In [[mathematics]], the '''Lefschetz fixed-point theorem''' is a formula that counts the [[fixed point (mathematics)|fixed point]]s of a [[continuous function (topology)|continuous mapping]] from a [[compact space|compact]] [[topological space]] ''X'' to itself  by means of [[trace (linear algebra)|trace]]s of the induced mappings on the [[homology group]]s of ''X''. It is named after [[Solomon Lefschetz]], who first stated it in 1926.

The counting is subject to an imputed [[Multiplicity (mathematics)|multiplicity]] at a fixed point called the [[fixed point index]]. A weak version of the theorem is enough to show that a mapping without ''any'' fixed point must have rather special topological properties (like a rotation of a circle).-->

==公式なステートメント==
この定理を公式に述べると、
:<math>f: X \rightarrow X</math>
をコンパクトな{{仮リンク|三角化|label=三角化可能空間|en|Triangulation (topology)}}(triangulable space) X からそれ自身への[[連続 (数学)|連続写像]]とする。f の'''レフシェッツ数'''(Lefschetz number) Λ<sub>f</sub> を
:<math>\Lambda_f:=\sum_{k\geq 0}(-1)^k\mathrm{Tr}(f_*|H_k(X,\mathbb{Q}))</math>
により定義する。 これは、<math>H_k(X,\mathbb{Q})</math> 上の<math>f</math> により誘導された線型写像の[[跡 (線型代数学)|行列のトレース]]の有限交代和であり、<math>H_k(X,\mathbb{Q})</math> は[[有理数]]を[[係数]]にもつ <math>X</math> の[[特異ホモロジー]](singular homology)である。 
<!--==Formal statement==
For a formal statement of the theorem, let

:<math>f: X \rightarrow X\,</math>

be a [[continuous map]] from a compact [[triangulable space]] ''X'' to itself. Define the '''Lefschetz number''' Λ<sub>''f''</sub> of ''f'' by 

:<math>\Lambda_f:=\sum_{k\geq 0}(-1)^k\mathrm{Tr}(f_*|H_k(X,\mathbb{Q})),</math>

the alternating (finite) sum of the [[matrix trace]]s of the linear maps [[Singular homology#Functoriality|induced]] by ''f'' on the H<sub>''k''</sub>(''X'','''Q'''), the [[singular homology]] of ''X'' with [[rational number|rational]] coefficients.-->

レフシェッツ不動点定理の単純なバージョンは、次のようになる。
:<math>\Lambda_f \neq 0\,</math>
とすると、f は少なくとも一つの不動点を持っている、すなわち、少なくとも X の点 x が一つ存在し、f(x) = x となる。実際、レフシェッツ数はホモロジーレベルで定義されているので、結果は f へ[[ホモトピック]]な写像が同様に一つの不動点を持っているということへ拡張することができる。

しかしながら、一般に逆は正しくはないことに注意する。
: f が不動点を持つ場合でも Λ<sub>f</sub> は 0 であることもある。
<!--A simple version of the Lefschetz fixed-point theorem states: if

:<math>\Lambda_f \neq 0\,</math>

then ''f'' has at least one fixed point, i.e. there exists at least one ''x'' in ''X'' such that ''f''(''x'') = ''x''.  In fact, since the Lefschetz number has been defined at the homology level, the conclusion can be extended to say that any map [[homotopic]] to ''f'' has a fixed point as well.

Note however that the converse is not true in general: Λ<sub>''f''</sub> may be zero even if ''f'' has fixed points.-->

== 証明のスケッチ ==
最初に、{{仮リンク|単体近似定理|en|simplicial approximation theorem}}(simplicial approximation theorem)を適用して、f 不動点を持たないければ f は固定点を持たない（すなわち、各々の単体を異なる単体へ写像する）{{仮リンク|単体写像|en|simplicial map}}(simplicial map)にホモトピックである（X を割った後で）。このことは、X の[[単体的ホモロジー|単体鎖複体]](simplicial chain complex)の線型写像の行列の対角値が全て 0 となるまずである。すると、一般にレフシェッツ数は前に述べた線型写像の行列のトレースの交代和を使い計算することができる（このことはほぼ同様の理由で、[[オイラー標数#定義|オイラー標数はホモロジー群のことばにより定義される]]。[[#オイラー標数との関係]]を参照）。特に、不動点を持たない単体写像は、全ての対角値が 0 であるので、全てトレースは 0 である。
<!--== Sketch of a proof ==
First, by applying the [[simplicial approximation theorem]], one shows that if ''f'' has no fixed points, then (possibly after subdividing ''X'') ''f'' is homotopic to a fixed-point-free [[simplicial map]] (i.e., it sends each simplex to a different simplex).  This means that the diagonal values of the matrices of the linear maps induced on the [[Simplicial homology|simplicial chain complex]] of ''X'' must be all be zero.  Then one notes that, in general, the Lefschetz number can also be computed using the alternating sum of the matrix traces of the aforementioned linear maps (this is true for almost exactly the same reason that the [[Euler characteristic#Topological definition|Euler characteristic has a definition in terms of homology groups]]; see [[#Relation to the Euler characteristic|below]] for the relation to the Euler characteristic).  In the particular case of a fixed-point-free simplicial map, all of the diagonal values are zero, and thus the traces are all zero.-->

== レフシェッツ・ホップの定理 ==
この定理のより強い形は、'''レフシェッツ・ホップの定理'''(Lefschetz-Hopf theorem)として知られていて、f が有限個の不動点しか持たない場合は、
:<math>\sum_{x \in \mathrm{Fix}(f)} i(f,x) = \Lambda_f</math>
であることを言っている。ここに、Fix(f) は f の不動点の集合で、i(f,x) は不動点 x の{{仮リンク|不動点の指数|label=指数|en|fixed point index}}(index)を表す。<ref>{{Cite book | last1=Dold | first1=Albrecht | title=Lectures on algebraic topology | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd  | isbn=978-3-540-10369-1 | id={{MathSciNet | id = 606196}} | year=1980 | volume=200 }}, Proposition VII.6.6.</ref>
<!--== Lefschetz-Hopf theorem ==
A stronger form of the theorem, also known as the '''Lefschetz-Hopf theorem''', states that, if ''f'' has only finitely many fixed points, then 

:<math>\sum_{x \in \mathrm{Fix}(f)} i(f,x) = \Lambda_f,</math>

where Fix(''f'') is the set of fixed points of ''f'', and ''i''(''f'',''x'') denotes the [[fixed point index|index]] of the fixed point ''x''.<ref>{{Cite book | last1=Dold | first1=Albrecht | title=Lectures on algebraic topology | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd  | isbn=978-3-540-10369-1 | id={{MathSciNet | id = 606196}} | year=1980 | volume=200 }}, Proposition VII.6.6.</ref>-->

==オイラー標数との関係==
有限[[CW複体]](CW complex)の[[恒等写像]]のレフシェッツ数は、各々の <math>\scriptstyle f_\ast</math> を行列の恒等元と考え、トレース項は単純に適切なホモロジー群の次元と考えることにより、容易に計算することができる。このように恒等写像のレフシェッツ数は、空間の[[ベッチ数]]の交代和に等しく、[[オイラー標数]] χ(X) に等しい。よって、
:<math>\Lambda_{\mathrm{id}} = \chi(X)</math>
を得る。
<!--==Relation to the Euler characteristic==
The Lefschetz number of the [[identity function|identity map]] on a finite [[CW complex]] can be easily computed by realizing that each <math>\scriptstyle f_\ast</math> can be thought of as an identity matrix, and so each trace term is simply the dimension of the appropriate homology group. Thus the Lefschetz number of the identity map is equal to the alternating sum of the [[Betti number]]s of the space, which in turn is equal to the [[Euler characteristic]] χ(''X''). Thus we have
:<math>\Lambda_{\mathrm{id}} = \chi(X).\ </math>-->

==ブラウアーの不動点定理との関係==
[[ブラウアーの不動点定理]](Brouwer fixed point theorem)は、n-次元[[単位円板|閉単位円板]] D<sup>n</sup> から D<sup>n</sup> へのすべての連続写像は、少なくとも一つは不動点を持つという定義であり、レフシェッツの不動点定理はこの定理を一般化したものである。

このことは次のように考えることもできる。D<sup>n</sup> をコンパクトで三角化可能とすると、H<sub>0</sub> を除くすべてのホモロジー群は 0 であり、すべての連続写像 f : D<sup>n</sup> → D<sup>n</sup> はゼロでない準同型 f<sub>*</sub> : H<sub>0</sub>(D<sup>n</sup>, '''Q''') → H<sub>0</sub>(D<sup>n</sup>, '''Q''') を誘導し、これらを総合すると、任意の連続写像 f : D<sup>n</sup> → D<sup>n</sup> に対し、Λ<sub>f</sub> がゼロ写像ではないことを意味する。
<!--==Relation to the Brouwer fixed point theorem==
The Lefschetz fixed point theorem generalizes the [[Brouwer fixed point theorem]], which states that every continuous map from the ''n''-dimensional [[unit disk|closed unit disk]] ''D''<sup>''n''</sup> to ''D''<sup>''n''</sup> must have at least one fixed point. 

This can be seen as follows: ''D''<sup>''n''</sup> is compact and triangulable, all its homology groups except H<sub>0</sub> are 0, and every continuous map ''f'' : ''D''<sup>''n''</sup> → ''D''<sup>''n''</sup> induces a non-zero homomorphism ''f''<sub>*</sub> : H<sub>0</sub>(''D''<sup>''n''</sup>, '''Q''') → H<sub>0</sub>(''D''<sup>''n''</sup>, '''Q'''); all this together implies that Λ<sub>''f''</sub> is non-zero for any continuous map ''f'' : ''D''<sup>''n''</sup> → ''D''<sup>''n''</sup>.-->

==歴史的脈絡==
レフシェッツは不動点定理を[Lefschetz 1926]で提起した。レフシェッツの注目点は、不動点の写像ではなく、むしろ現在では写像の{{仮リンク|一致点|en|coincidence point}}(coincidence point)と呼ばれるものであった。

同じ次元の向き付け可能[[多様体]] X から向き付け可能多様体 Y への 2つの写像 f と g が与えられると、f と g の'''レフシェッツ数の一致'''(Lefschetz coincidence number)は次の要に定義される。
:<math>\Lambda_{f,g} = \sum (-1)^k \mathrm{Tr}( D_X \circ g^* \circ D_Y^{-1} \circ f_*).</math>
ここに、f<sub>∗</sub> は上で定義した通りで、g<sup>∗</sup> は有理係数をもつ[[コホモロジー群]]上に誘導された写像であり、D<sub>X</sub> と D<sub>Y</sub> は各々 X と Y の[[ポアンカレ双対]]同型である。

レフシェッツは、一致する数が 0 でなければ、f と g は一致する点を持つことを証明した。彼は論文で X = Y とし、g をｄ恒等写像とすると、より簡単な結果が得られることを示し、これが現在不動点定理として知られている。
<!--==Historical context==
Lefschetz presented his fixed point theorem in [Lefschetz 1926]. Lefschetz's focus was not on fixed points of mappings, but rather on what are now called [[coincidence point]]s of mappings. 

Given two maps ''f'' and ''g'' from an orientable [[manifold]] ''X'' to an orientable manifold ''Y'' of the same dimension, the ''Lefschetz coincidence number'' of ''f'' and ''g'' is defined as

:<math>\Lambda_{f,g} = \sum (-1)^k \mathrm{Tr}( D_X \circ g^* \circ D_Y^{-1} \circ f_*),</math>

where ''f''<sub>∗</sub> is as above, ''g''<sup>∗</sup> is the mapping induced by ''g'' on the [[cohomology]] groups with rational coefficients, and ''D''<sub>''X''</sub> and ''D''<sub>''Y''</sub> are the [[Poincaré duality]] isomorphisms for ''X'' and ''Y'', respectively.

Lefschetz proves that if the coincidence number is nonzero, then ''f'' and ''g'' have a coincidence point. He notes in his paper that letting ''X'' = ''Y'' and letting ''g'' be the identity map gives a simpler result, which we now know as the fixed point theorem.-->

== フロベニウス自己準同型 ==
<math>X</math> を <math>q</math> 個の元を持つ有限体 <math>k</math> の上で定義された多様体とし、<math>\bar X</math> を <math>k</math> の代数的閉体の上への <math>X</math> のリフトと'''[[フロベニウス自己準同型]]'''（'''フロベニウス'''と呼ばれることもある）は、記号 <math>F_q</math> と書かれ、座標 <math>x_1,\ldots,x_n</math> を持つ点を座標  <math>x_1^q,\ldots,x_n^q</math> をもつ点へ写す <math>\bar X</math> 写像である（つまり、<math>F_q</math> は'''幾何学的フロベニウス'''である）。このように <math>F_q</math> の不動点は、ちょうど <math>k</math> に座標を持つ <math>X</math> の点（これらの点を <math>X(k)</math> と書く）である。レフシェッツの跡公式はこの脈絡では、次の形となる。
:<math>\#X(k)=\sum_i (-1)^i \mathop{\rm tr} F_q| H^i_c(\bar X,{\Bbb Q}_\ell).</math>
この公式は、<math>\ell</math>-進数に値を持つ <math>\bar X</math> のエタールコホモロジーの上のフロベニウスのトレースであり、コンパクトな台を持つ。ここに <math>\ell</math> は <math>q</math> と互いに素な素数である。 

<math>X</math> が滑らかで次元が同じであれば、この公式は'''数論的フロベニウス'''(arithmetic Frobenius) <math>\Phi_q</math> と書かれ、コホモロジー上 <math>F_q</math> の逆に作用する。
:<math>\#X(k)=q^{\dim X}\sum_i (-1)^i \mathop{\rm tr} \Phi_q^{-1}| H^i(\bar X,{\Bbb Q}_\ell).</math>

この公式は、コンパクトな台をもつコホモロジーというよりも、通常のコホモロジーを意味する。

レフシェッツの跡公式は有限体上の[[代数的スタック]](algebraic stack)へ一般化することができる。
<!--== Frobenius ==
Let <math>X\,</math> be a variety defined over   the finite field <math>k</math> with <math>q</math> elements and let <math>\bar X</math> be the lift of <math>X\,</math> to the algebraic closure of <math>k</math>. The '''[[Frobenius endomorphism]]''' (often just ''the Frobenius''), notation <math>F_q</math>, of <math>\bar X</math> maps a point with coordinates <math>x_1,\ldots,x_n</math> to the point with coordinates <math>x_1^q,\ldots,x_n^q</math> (i.e. <math>F_q</math> is the ''geometric Frobenius''). Thus the fixed points of <math>F_q</math> are exactly the points of <math>X</math> with coordinates in <math>k</math>, notation for the set of these points: <math>X(k)</math>.  The Lefschetz trace formula holds in this context and reads:

:<math>\#X(k)=\sum_i (-1)^i \mathop{\rm tr} F_q| H^i_c(\bar X,{\Bbb Q}_\ell).</math>

This formula involves the trace of the Frobenius on the étale cohomology, with compact supports, of <math>\bar X</math> with values in the field of <math>\ell</math>-adic numbers, where <math>\ell</math> is a prime coprime to <math>q</math>. 

If <math>X</math> is smooth and equidimensional, this formula can be rewritten in terms of the ''arithmetic Frobenius'' <math>\Phi_q</math>, which acts as the inverse of <math>F_q</math> on cohomology:

:<math>\#X(k)=q^{\dim X}\sum_i (-1)^i \mathop{\rm tr} \Phi_q^{-1}| H^i(\bar X,{\Bbb Q}_\ell).</math>

This formula involves usual cohomology, rather than cohomology with compact supports.

The Lefschetz trace formula can also be generalized to [[algebraic stack]]s over finite fields.-->

==参照項目==

*[[不動点定理]]
*{{仮リンク|レフシェッツのゼータ函数|en|Lefschetz zeta function}}(Lefschetz zeta function)
*{{仮リンク|正則レフシェッツ不動点定理|en|Holomorphic Lefschetz fixed-point formula}}(Holomorphic Lefschetz fixed-point formula)

==脚注==
<references/>

==参考文献==
* {{cite journal | author=Solomon Lefschetz | title=Intersections and transformations of complexes and manifolds | journal=[[Transactions of the American Mathematical Society|Trans. Amer. Math. Soc.]] | year=1926 | volume=28 | pages=1–49 | doi=10.2307/1989171 | issue=1 }}
* {{cite journal | author=Solomon Lefschetz | title=On the fixed point formula | journal=[[Annals of Mathematics|Ann. of Math.]] | year=1937 | volume=38 | pages=819–822 | doi=10.2307/1968838 | issue=4 }}

==外部リンク==
* {{SpringerEOM|title=Lefschetz formula|urlname=Lefschetz_formula}}

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:れふしえつつふとうてんていり}}
[[Category:不動点定理]]
[[Category:連続写像]]
[[Category:代数的位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]