レフシェッツ超平面定理のソースを表示

{{要改訳}}
数学では、特に[[代数幾何学]]や[[代数トポロジー]]では、'''レフシェッツの超平面定理'''(Lefschetz hyperplane theorem)は、[[代数多様体]]の形と部分多様体の形の間のある関係についてのステートメントであり、この定理は、[[射影空間]]に埋め込まれた多様体 X と{{仮リンク|超平面切断|en|hyperplane section}}(hyperplane section) Y に対し、X の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]、[[コホモロジー]]、[[ホモトピー|ホモトピー群]]は、Y のそれらをも決定するという定理である。この種類の結果は、最初に複素代数多様体のホモロジー群に対し、[[ソロモン・レフシェッツ]](Solomon Lefschetz)により言明された。同様の結果が、正の標数でも、他のホモロジー、コホモロジー理論で、ホモトピー群に対して発見されている。なお、レフシェッツ超平面定理のことを'''弱レフシェッツ定理'''(Weak Lefschetz Theorem)とも言う。
<!--In [[mathematics]], specifically in [[algebraic geometry]] and [[algebraic topology]], the '''Lefschetz hyperplane theorem''' is a precise statement of certain relations between the shape of an [[algebraic variety]] and the shape of its subvarieties. More precisely, the theorem says that for a variety ''X'' embedded in [[projective space]] and a [[hyperplane section]] ''Y'', the [[homology (mathematics)|homology]], [[cohomology]], and [[homotopy group]]s of ''X'' determine those of ''Y''. A result of this kind was first stated by [[Solomon Lefschetz]] for homology groups of complex algebraic varieties. Similar results have since been found for homotopy groups, in positive characteristic, and in other homology and cohomology theories.-->

== 複素射影多様体のレフシェッツ超平面定理 ==
X を '''CP'''<sup>N</sup> 内の n 次元複素射影代数多様体とし、Y を {{nowrap begin}}U = X ∖ Y{{nowrap end}} が滑らかなであるような X の超平面切断とする。 レフシェッツの定理は、次のステートメントがどれも成り立つという定理である。<ref>{{Harvnb|Milnor|1969|loc = Theorem 7.3 and Corollary 7.4}}</ref><ref>{{Harvnb|Voisin|2003|loc = Theorem 1.23}}</ref>
# [[特異ホモロジー]]の自然な写像 {{nowrap begin}}H<sub>k</sub>(Y, '''Z''') → H<sub>k</sub>(X, '''Z'''){{nowrap end}} は、{{nowrap begin}}k &lt; n &minus; 1{{nowrap end}} に対しては同型であり、{{nowrap begin}}k = n &minus; 1{{nowrap end}} に対しては全射である。
# 特異コホモロジーの自然な写像 {{nowrap begin}}H<sup>k</sup>(X, '''Z''') → H<sup>k</sup>(Y, '''Z'''){{nowrap end}} は、{{nowrap begin}}k &lt; n &minus; 1{{nowrap end}} に対しては同型であり、{{nowrap begin}}k = n &minus; 1{{nowrap end}} に対しては単射である。
# 自然な写像 {{nowrap begin}}π<sub>k</sub>(Y, '''Z''') → π<sub>k</sub>(X, '''Z'''){{nowrap end}} は、{{nowrap begin}}k &lt; n &minus; 1{{nowrap end}} に対しては同型であり、{{nowrap begin}}k = n &minus; 1{{nowrap end}} に対しては全射である。

[[完全系列#長完全列|長完全系列]]を用い、これらのステートメントの各々がある相対不変量の消滅定理に同値であることを示すことができる。このための消滅定理は順に以下である。
# 相対特異ホモロジー群 {{nowrap begin}}H<sub>k</sub>(X, Y, '''Z'''){{nowrap end}} は、<math>k \leq n-1</math> に対して 0 である。
# 相対特異コホモロジー群 {{nowrap begin}}H<sup>k</sup>(X, Y, '''Z'''){{nowrap end}} は、<math>k \leq n-1</math> に対して 0 である。
# 相対ホモトピー群 {{nowrap begin}}π<sub>k</sub>(X, Y){{nowrap end}} は、<math>k \leq n-1</math> に対して 0 である。
<!--== The Lefschetz hyperplane theorem for complex projective varieties ==
Let ''X'' be an ''n''-dimensional complex projective algebraic variety in '''CP'''<sup>''N''</sup>, and let ''Y'' be a hyperplane section of ''X'' such that {{nowrap begin}}''U'' = ''X'' ∖ ''Y''{{nowrap end}} is smooth. The Lefschetz theorem refers to any of the following statements:<ref>{{Harvnb|Milnor|1969|loc = Theorem 7.3 and Corollary 7.4}}</ref><ref>{{Harvnb|Voisin|2003|loc = Theorem 1.23}}</ref>
# The natural map in {{nowrap begin}}''H''<sub>''k''</sub>(''Y'', '''Z''') → ''H''<sub>''k''</sub>(''X'', '''Z'''){{nowrap end}} in singular homology is an isomorphism for {{nowrap begin}}''k'' &lt; ''n'' &minus; 1{{nowrap end}} and is surjective for {{nowrap begin}}''k'' = ''n'' &minus; 1{{nowrap end}}.
# The natural map in {{nowrap begin}}''H''<sup>''k''</sup>(''X'', '''Z''') → ''H''<sup>''k''</sup>(''Y'', '''Z'''){{nowrap end}} in singular cohomology is an isomorphism for {{owrap begin}}''k'' &lt; ''n'' &minus; 1{{nowrap end}} and is injective for {{nowrap begin}}''k'' = ''n'' &minus; 1{{nowrap end}}.
# The natural map {{nowrap begin}}π<sub>''k''</sub>(''Y'', '''Z''') → π<sub>''k''</sub>(''X'', '''Z'''){{nowrap end}} is an isomorphism for {{nowrap begin}}''k'' &lt; ''n'' &minus; 1{{nowrap end}} and is surjective for {{nowrap begin}}''k'' = ''n'' &minus; 1{{nowrap end}}.
Using a [[long exact sequence]], one can show that each of these statements is equivalent to a vanishing theorem for certain relative topological invariants. In order, these are:
# The relative singular homology groups {{nowrap begin}}''H''<sub>''k''</sub>(''X'', ''Y'', '''Z'''){{nowrap end}} are zero for <math>k \leq n-1</math>.
# The relative singular cohomology groups {{nowrap begin}}''H''<sup>''k''</sup>(''X'', ''Y'', '''Z'''){{nowrap end}} are zero for <math>k \leq n-1</math>.
# The relative homotopy groups {{nowrap begin}}π<sub>''k''</sub>(''X'', ''Y''){{nowrap end}} are zero for <math>k \leq n-1</math>.-->

=== レフシェッツの証明 ===
レフシェッツ(Lefschetz)<ref>{{harvnb|Lefschetz|1924}}</ref> は、定理を証明するため、彼のアイデアである{{仮リンク|レフシェッツペンシル|en|Lefschetz pencil}}(Lefschetz pencil)を使った。超平面切断 Y を単独で考えるというよりむしろ、超平面切断の族 Y<sub>t</sub> の中での超平面切断は {{nowrap begin}}Y = Y<sub>0</sub>{{nowrap end}} として考えに入れた。元の超平面切断は滑らかであるので、有限個を除きすべての Y<sub>t</sub> は滑らかな多様体である。これらの点を t-平面から取り除き、有限個のスリットを加えることで、結果として現れる超平面切断 X は、位相的に自明となる。すなわち、元の Y<sub>t</sub> と t-平面の開集合の積となっている。従って、X はどれくらい超平面切断が特異点でスリットと同一視できるかを表していると理解することができる。特異点から離れると、同一視することができることが帰納的に示すことができる。特異点では、{{仮リンク|モースの補題|en|Morse lemma}}(Morse lemma)は、特別単純な形の X の座標系を選択することができることを意味している。この座標系は直接定理を証明することに使うことができる。<ref>{{harvnb|Griffiths|Spencer|Whitehead|1992}}</ref>
<!--=== Lefschetz's proof ===
Lefschetz<ref>{{harvnb|Lefschetz|1924}}</ref> used his idea of a [[Lefschetz pencil]] to prove the theorem. Rather than considering the hyperplane section ''Y'' alone, he put it into a family of hyperplane sections ''Y''<sub>''t''</sub>, where {{nowrap begin}}''Y'' = ''Y''<sub>0</sub>{{nowrap end}}. Because a generic hyperplane section is smooth, all but a finite number of ''Y''<sub>''t''</sub> are smooth varieties. After removing these points from the ''t''-plane and making an additional finite number of slits, the resulting family of hyperplane sections is topological trivial. That is, it is a product of a generic ''Y''<sub>''t''</sub> with an open subset of the ''t''-plane. ''X'', therefore, can be understood if one understands how hyperplane sections are identified across the slits and at the singular points. Away from the singular points, the identification can be described inductively. At the singular points, the [[Morse lemma]] implies that there is a choice of coordinate system for ''X'' of a particularly simple form. This coordinate system can be used to prove the theorem directly.<ref>{{harvnb|Griffiths|Spencer|Whitehead|1992}}</ref>-->

=== アンドレオッティとフランケルの証明 ===
アンドレオッティ(Andreotti)とフランケル(Frankel)<ref>{{Harvnb|Andreotti|Frankel|1959}}</ref> は、レフシェッツの定理が[[モース理論]]を使い再記述できることを認めた。<ref>{{Harvnb|Milnor|1969|p=39}}</ref> そこでは、パラメータ t がモース函数の役割を果たす。このアプローチでの基本的なツールは、{{仮リンク|アンドレオッティ・フランケルの定理|en|Andreotti–Frankel theorem}}(Andreotti–Frankel theorem)で、この定理は複素次元 n の（従って実次元 2n）の複素[[アフィン多様体]]は、（実）次元 n の[[CW複体]](CW-complex)のホモトピー型を持つ。このことは、X の中の Y の{{仮リンク|相対ホモロジー|en|relative homology}}(relative homology)群が、次数 n 以下で自明となることを意味する。従って、相対ホモロジーの長完全系列がこの定理を与える。
<!--=== Andreotti and Frankel's proof ===
Andreotti and Frankel<ref>{{Harvnb|Andreotti|Frankel|1959}}</ref> recognized that Lefschetz's theorem could be recast using [[Morse theory]].<ref>{{Harvnb|Milnor|1969|p=39}}</ref> Here the parameter ''t'' plays the role of a Morse function. The basic tool in this approach is the [[Andreotti–Frankel theorem]], which states that a complex [[affine variety]] of complex dimension ''n'' (and thus real dimension 2''n'') has the homotopy type of a [[CW-complex]] of (real) dimension ''n''. This implies that the [[relative homology]] groups of ''Y'' in ''X'' are trivial in degree less than ''n''. The long exact sequence of relative homology then gives the theorem.-->

=== トムとボットの証明 ===
レフシェッツの証明モアンドレオッティとフランケルの証明も、ホモトピー群のレフシェッツ超平面定理を直接証明したものではない。1957年になりトムによりへっけんされたアプローチは、1959年にボットにより単純化され出版された。<ref>{{harvnb|Bott|1959}}</ref> トムとボットは、Y をラインバンドルの X の中での切断の軌跡と解釈する。モース理論のこのことへの応用は、X は n 次元以上の胞体(cell)を結合することで Y から構成することができる。このことから、X 内の Y の相対ホモロジー群とホモトピー群が次数 n とそれより大きな次数へ集中し、これが定理を証明することを意味する。
<!--=== Thom's and Bott's proofs ===
Neither Lefschetz's proof nor Andreotti and Frankel's proof directly imply the Lefschetz hyperplane theorem for homotopy groups. An approach that does was found by Thom no later than 1957 and was simplified and published by Bott in 1959.<ref>{{harvnb|Bott|1959}}</ref> Thom and Bott interpret ''Y'' as the vanishing locus in ''X'' of a section of a line bundle. An application of Morse theory to this section implies  that ''X'' can be constructed from ''Y'' by adjoining cells of dimension ''n'' or more. From this, it follows that the relative homology and homotopy groups of ''Y'' in ''X'' are concentrated in degrees ''n'' and higher, which yields the theorem.-->

=== ホッジ群に対する小平とスペンサーの証明 ===
小平とスペンサー(Spencer)は、ある制限の下に、ホッジ群 H<sup>p,q</sup> に対するレフシェッツ定理を証明することができることを発見した。特に、Y が滑らかでラインバンドル <math>\mathcal{O}_X(Y)</math> が豊富であると仮定すると、制限写像 {{nowrap begin}}H<sup>p,q</sup>(X) → H<sup>p,q</sup>(Y){{nowrap end}} は {{nowrap|p + q &lt; n &minus; 1}} に対し同型となり、{{nowrap begin}}p + q = n &minus; 1{{nowrap end}} に対し全射となる。<ref>{{harvnb|Lazarsfeld|2004|loc = Example 3.1.24}}</ref><ref>{{harvnb|Voisin|2003|loc = Theorem 1.29}}</ref> ホッジ理論により、これらのコホモロジー群は、[[層コホモロジー|層コホモロジー群]] <math>H^q(X, \textstyle\bigwedge^p\Omega_X)</math> と <math>H^q(Y, \textstyle\bigwedge^p\Omega_Y)</math> に等しくなる。従って、定理は、{{仮リンク|秋月・中野の消滅定理|en|Akizuki–Nakano vanishing theorem}}(Akizuki–Nakano vanishing theorem)を <math>H^q(X, \textstyle\bigwedge^p\Omega_X|_Y)</math> へ適用し、長完全系列を使うことで得られる。

この証明と[[普遍係数定理]]を結合して、標数 0 の任意の体に係数を持つコホモロジーについての通常のレフシェッツの定理をほぼ得ることができる。しかしながら、Y に付け足した仮定にために、少し弱くなっている。
<!--=== Kodaira and Spencer's proof for Hodge groups ===
Kodaira and Spencer found that under certain restrictions, it is possible to prove a Lefschetz-type theorem for the Hodge groups ''H''<sup>''p'',''q''</sup>. Specifically, assume that ''Y'' is smooth and that the line bundle <math>\mathcal{O}_X(Y)</math> is ample. Then the restriction map {{nowrap begin}}''H''<sup>''p'',''q''</sup>(''X'') → ''H''<sup>''p'',''q''</sup>(''Y''){{nowrap end}} is an isomorphism if {{nowrap|''p'' + ''q'' &lt; n &minus; 1}} and is injective if {{nowrap begin}}''p'' + ''q'' = ''n'' &minus; 1{{nowrap end}}.<ref>{{harvnb|Lazarsfeld|2004|loc = Example 3.1.24}}</ref><ref>{{harvnb|Voisin|2003|loc = Theorem 1.29}}</ref> By Hodge theory, these cohomology groups are equal to the sheaf cohomology groups <math>H^q(X, \textstyle\bigwedge^p\Omega_X)</math> and <math>H^q(Y, \textstyle\bigwedge^p\Omega_Y)</math>.  Therefore the theorem follows from applying the [[Akizuki–Nakano vanishing theorem]] to <math>H^q(X, \textstyle\bigwedge^p\Omega_X|_Y)</math> and using a long exact sequence.

Combining this proof with the [[universal coefficient theorem]] nearly yields the usual Lefschetz theorem for cohomology with coefficients in any field of characteristic zero. It is, however, slightly weaker because of the additional assumptions on ''Y''.-->

=== 構成層に対するアルティンとグロタンディークの証明 ===
[[ミハイル・アルティン]](Michael Artin)と[[アレクサンドル・グロタンディーク]](Alexander Grothendieck)は、レフシェッツ超平面定理が、コホモロジーの係数が体ではなく、{{仮リンク|構成層|en|constructible sheaf}}(constructible sheaf)の場合へ一般化されることを発見した。彼らは、アフィン多様体 U の上の構成層 F に対し、コホモロジー群 {{nowrap|H<sup>k</sup>(U, F)}} が {{nowrap|k &gt; n}} のときはいつも 0 となることを証明した。<ref>{{harvnb|Lazarsfeld|2003|loc=Theorem 3.1.13}}</ref>
<!--=== Artin and Grothendieck's proof for constructible sheaves ===
[[Michael Artin]] and [[Alexander Grothendieck]] found a generalization of the Lefschetz hyperplane theorem to the case where the coefficients of the cohomology lie not in a field but instead in a [[constructible sheaf]]. They prove that for a constructible sheaf ''F'' on an affine variety ''U'', the cohomology groups {{nowrap|''H''<sup>''k''</sup>(''U'', ''F'')}} vanish whenever {{nowrap|''k'' &gt; ''n''}}.<ref>{{harvnb|Lazarsfeld|2003|loc=Theorem 3.1.13}}</ref>-->

== 他のコホモロジー論でのレフシェッツ定理 ==
アルティンとグロタンディークが構成層に対して証明したことの背後の動機は、エタールコホモロジー <math>\ell</math>-進コホモロジーでの設定へ適用することができるような証明を与えることであった。構成層に対してある制限を付けた上で、正の標数での構成層に対しレフシェッツの定理が成立する。

定理は{{仮リンク|交叉ホモロジー|en|intersection homology}}(intersection homology)へも一般化できる。この設定では定義は、高い特異性を持つ空間にたいしても定理が成り立つ。

レフシェッツタイプの定理は[[ピカール群]]に対しても成り立つ。<ref>{{harvnb|Lazarsfeld|2003|loc = Example 3.1.25}}</ref>
<!--== The Lefschetz theorem in other cohomology theories ==
The motivation behind Artin and Grothendieck's proof for constructible sheaves was to give a proof that could be adapted to the setting of étale and <math>\ell</math>-adic cohomology. Up to some restrictions on the constructible sheaf, the Lefschetz theorem remains true for constructible sheaves in positive characteristic.

The theorem can also be generalized to [[intersection homology]]. In this setting, the theorem holds for highly singular spaces.

A Lefschetz-type theorem also holds for [[Picard group]]s.<ref>{{harvnb|Lazarsfeld|2003|loc = Example 3.1.25}}</ref>-->

==強レフシェッツ定理==
{{See also| {{仮リンク|レフシェッツ多様体|en|Lefschetz manifold}}(Lefschetz manifold) }}

X を <math>\mathbb{C}\mathbb{P}^N</math> の中にある n-次元非特異複素射影多様体とすると、X の[[コホモロジー環]]の中で、超平面の[[コホモロジー類]]の k 重積は、
:<math>H^{n - k}</math>
と
:<math>H^{n + k}</math>
の同型を与える。

このことを'''強レフシェッツ定理'''(hard Lefschetz theorem)と言い、グロタンディークによりフランス語でより口語的に '''Théorème de Lefschetz vache''' と命名された。<ref>{{harvnb|Beauville|}}</ref><ref>{{harvnb|Sabbah|2001}}</ref> このことは直ちに、レフシェッツの超平面定理の単射性の部分を意味する。
<!--==Hard Lefschetz theorem==
{{See also| Lefschetz manifold}}

Let ''X'' be a ''n''-dimensional non-singular complex projective variety in '''CP'''<sup>''N''</sup>.
Then in the [[cohomology ring]] of ''X'', the ''k''-fold product with the [[cohomology class]] of a hyperplane gives an isomorphism between

:''H''<sup>''n'' &minus; ''k''</sup>

and

:''H''<sup>''n'' + ''k''</sup>.

This is the '''hard Lefschetz theorem''', christened in French by Grothendieck more colloquially as the ''Théorème de Lefschetz vache''.<ref>{{harvnb|Beauville|}}</ref><ref>{{harvnb|Sabbah|2001}}</ref>  It immediately implies the injectivity part of the Lefschetz hyperplane theorem.-->

強レフシェッツ定理は、実際、'''任意のコンパクト[[ケーラー多様体]]'''に対して成り立ち、ケーラー形式のクラスのべきをかけたド・ラームコホモロジーで同型を与える。非ケーラー多様体に対しては、この定理は成立しない。例えば、{{仮リンク|ホップ曲面|en|Hopf surface}}(Hopf surface)は、第二コホモロジー群が消滅するので、超平面切断の第二コホモロジー類の類似は存在しない。

強レフシェッツ定理は、有限体上の滑らかな射影多様体の[[エタール・コホモロジー|l-進コホモロジー]]に対し、[[ヴェイユ予想]]の仕事の結果として証明された。{{harvtxt|Deligne|1980}}
<!--The hard Lefschetz theorem in fact holds for '''any compact [[Kähler manifold]]''', with the isomorphism in de Rham cohomology given by multiplication by a power of the class of the Kähler form. It can fail for non-Kähler manifolds: for example, [[Hopf surface]]s have vanishing second cohomology groups, so there is no analogue of the second cohomology class of a hyperplane section.

The hard Lefschetz theorem was proven for [[etale cohomology|''l''-adic cohomology]] of smooth projective varieties over finite fields by {{harvtxt|Deligne|1980}} as a consequence of his work on the [[Weil conjectures]].-->

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=Andreotti | first1=Aldo | last2=Frankel | first2=Theodore | title=The Lefschetz theorem on hyperplane sections |mr=0177422 | year=1959 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=69 | pages=713–717 | doi=10.2307/1970034}}
* {{Citation | last1=Beauville | title=The Hodge Conjecture | id = {{citeseerx|10.1.1.74.2423}} }}
* {{Citation | last1=Bott | first1=Raoul | author1-link=Raoul Bott | title=On a theorem of Lefschetz | url=http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.mmj/1028998225 | accessdate=2010-01-30 |mr=0215323 | year=1959 | journal=Michigan Mathematical Journal | volume=6 | issue=3 | pages=211–216 | doi=10.1307/mmj/1028998225}}
*{{Citation | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=Pierre Deligne | title=La conjecture de Weil. II | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1980__52__137_0 |mr=601520 | year=1980 | journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | issn=1618-1913 | issue=52 | pages=137–252}}
* {{Citation | last1=Griffiths | first1=Philip | last2=Spencer | first2=Donald | last3=Whitehead | first3=George | editor-last=National Academy of Sciences | editor-first=Office of the Home Secretary | title= Biographical Memoirs  | volume=61 | chapter=Solomon Lefschetz | publisher=The National Academies Press | year=1992 | isbn= 978-0-309-04746-3}}
* {{Citation | last1=Lazarsfeld | first1=Robert | title=Positivity in algebraic geometry. I | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics] | isbn=978-3-540-22533-1 |mr=2095471 | year=2004 | volume=48}}
* {{Citation | last1=Lefschetz | first1=Solomon | title=L'Analysis situs et la géométrie algébrique | publisher=Gauthier-Villars | language=French | series=Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel | location=Paris | year=1924}} Reprinted in {{Citation | last1=Lefschetz | first1=Solomon | title=Selected papers | publisher=Chelsea Publishing Co. | location=New York | isbn=978-0-8284-0234-7 |mr=0299447 | year=1971}}
* {{Citation | last1=Milnor | first1=John Willard | author1-link=John Milnor | title=Morse theory | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Annals of Mathematics Studies, No. 51 |mr=0163331 | year=1963}}
* {{Citation | last1=Sabbah | title=Theorie de Hodge et theoreme de Lefschetz "difficile" | year=2001 | url=http://www.math.polytechnique.fr/cmat/sabbah/hodge-str.pdf}}
* {{Citation | last1=Voisin | first1=Claire | title=Hodge theory and complex algebraic geometry. II | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | isbn=978-0-521-80283-3 |mr=1997577 | year=2003 | volume=77}}

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