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[[数学]]における'''レンズ空間'''（レンズくうかん、{{lang-en-short|''lens space''}}）とは、[[位相空間]]の一種である。しばしば{{日本語版にない記事リンク|3次元多様体|en|3-manifold}}の特定のクラスを指す言葉として用いられるが、一般にもっと高次元のレンズ空間も定義することができる。

3次元多様体の場合、レンズ空間というのは二つのソリッドトーラス（中身の詰まった[[トーラス]]）をその境界で貼り合せる事で得られる空間として特徴付けることができる。ただし、[[超球面|3次元球面]] ''S''<sup>3</sup> や ''S''<sup>2</sup> &times; ''S''<sup>1</sup> は、そうやって得られる空間ではあるものの、自明な場合であるとして、レンズ空間としては扱わないことも多い。

3次元レンズ空間 ''L''(''p''; ''q'') は1908年に Tietze が導入した。3次元レンズ空間はその[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]および[[基本群]]だけからは決定することができない3次元多様体の最もよく知られた例であり、そして同相型 (homeomorphism type) がそのホモトピー型から決まらない閉多様体の最も簡単な例である。J.W. Alexander は1919年にレンズ空間 ''L''(5; 1) と ''L''(5; 2) が、基本群とホモロジー群が同型であるにもかかわらず互いに同相ではないことを示した。他にも同じホモトピー型を持つ（従って基本群もホモロジー群も等しい）が同相型が異なるレンズ空間というものが存在する。これにより、レンズ空間の導入を以って（[[代数的位相幾何学]]から分かれて）[[幾何学的位相幾何学]] {{lang|en|(geometric topology)}} の起こりと考えられる。

3次元レンズ空間は[[基本群]]と[[解析的トーション#ライデマイスター小史|ライデマイスタートーション]]によって完全に分類される。

== 定義 ==

3次元レンズ空間 <math>L(p;q)</math> は <math>S^3</math> の <math>\mathbb{Z}/p</math>-作用による商空間である。以下でより正確な定義を述べる。
<math>p</math> と <math>q</math> を[[互いに素 (整数論)|互いに素]]な整数とし、<math> \mathbb C^2</math> 内の単位球として <math>S^3 </math> を考える。
このとき,
<math>[1]\cdot (z_1,z_2) := (e^{2\pi i/p} \cdot z_1, e^{2\pi i q/p}\cdot z_2)</math>
で生成される <math>S^3</math>上の<math> \mathbb{Z}/p</math>-作用は[[群作用#作用の種類|自由]]である。
この作用による <math>S^3 </math> の [[群作用#軌道と等方部分群|商空間]] を '''レンズ空間''' <math>L(p;q)</math> と定める。

この定義はより高次元のものに一般化できる。<math>n</math>を2以上の整数、<math>p,q_1,\ldots,q_n</math> を、各 <math>q_i</math> と <math>p</math> が互いに素であるような整数とし、
<math> \mathbb C^n</math> 内の単位球として <math>S^{2n-1}</math> を考える。
<math>[1] \cdot (z_1,\ldots,z_n) := (e^{2\pi iq_1/p} \cdot z_1,\ldots, e^{2\pi i q_n/p}\cdot z_n)</math> で生成される自由 <math>\mathbb Z/p</math>-作用による <math>S^{2n-1}</math> の商空間を、レンズ空間 <math>L(p; q_1,\ldots q_n)</math> と定める。
<math>n=2</math>のとき、<math>L(p; q)=L(p; 1,q)</math> が成り立つ。

== レンズ空間の古典的位相不変量 ==

レンズ空間 <math>L(p; q_1,\ldots, q_n)</math> の基本群は常に <math>\mathbb Z/p</math> であり、<math>q_i</math> の値に依らない。特に、
<math>L(p; q)</math> の基本群は <math>\mathbb{Z}/p</math> である。また、ホモロジー群に関しては[[ポアンカレ双対定理]]と[[普遍係数定理]]を用いることで次のように計算され、こちらも<math>q</math>の値に依らないことがわかる:
:<math>
H_{k}(L(p; q); \mathbb{Z})=\begin{cases}
\mathbb{Z} & (k=0, 3) \\
\mathbb{Z}/p         & (k=1)\\
0                   & (\text{otherwise}).
\end{cases}
</math>
後ほど分かるように、レンズ空間の[[同相]]分類や[[ホモトピー]]分類には<math>q</math> も関係するので、基本群やホモロジーではレンズ空間の分類はできない。

== レンズ空間の分類 ==
レンズ空間の同相分類は次が知られている： レンズ空間 <math>L(p; q)</math> と <math>L(p; q')</math> が[[同相]]であるための必要十分条件は、<math>q' \equiv \pm q^{\pm1} \!\!\!\pmod p</math> となることである。一方で、ホモトピー分類に関しては次が知られている： レンズ空間 <math>L(p; q)</math> と <math>L(p; q')</math> が[[ホモトピー同値]]であるための必要十分条件は、ある整数 <math>n</math> が存在して <math>q q' \equiv \pm n^{2} \!\!\!\pmod p</math> となることである。
このことから、ホモトピー同値だが同相ではないレンズ空間の組が存在することが分かる。例えば、<math>L(7; 1)</math> と <math>L(7; 2)</math> はホモトピー同値である (<math>1\cdot 2 \equiv 3^2 \!\!\!\pmod 7</math>だから) が、同相ではない。

== 関連項目 ==
* [[デーン手術]]

{{DEFAULTSORT:れんすくうかん}}
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]
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