レヴィの連続性定理のソースを表示

[[確率論]]において、フランスの[[数学者]][[ポール・レヴィ (数学者)|ポール・レヴィ]]にちなむ'''レヴィの連続性定理'''（レヴィのれんぞくせいていり、{{Lang-en-short|Lévy’s continuity theorem}}）、または'''レヴィの収束定理'''（{{Lang-en-short|Lévy's convergence theorem}}<ref name=W>Williams (1991, section 18.1)</ref>）は、[[確率変数の収束|確率変数列の分布収束]]と、それらの[[特性関数 (確率論)|特性関数]]の[[各点収束]]とを結び付ける定理である。
 
この定理は[[中心極限定理]]を証明するための一法の基礎となっており、また特性関数にまつわる主要な結果の一つである。

==主張==

次の状況を考える。
{{unordered list
|1= 確率変数の列 <math>\scriptstyle \{X_n\}_{n=1}^\infty</math> がある。これらは必ずしも同一の[[確率空間]]上で定義されていなくてもよい。
|2= それらに対応する特性関数の列 <math>\scriptstyle \{\varphi_n\}_{n=1}^\infty</math> がある。定義より 
: <math>\varphi_n(t) = \operatorname{E}\,[e^{itX_n}] \quad \forall t\in\mathbb{R},\ \forall n\in\mathbb{N}</math>
である。ここで <math>\operatorname{E}</math> は[[期待値]]をとる演算子。
}}

特性関数列が何らかの関数 ''<math>\varphi</math>'' に各点収束する
:<math>\varphi_n(t)\to\varphi(t) \quad \forall t\in\mathbb{R}</math>
ならば、以下の各命題は同値である：
{{unordered list
|1= <math>X_n</math> は、ある確率変数 ''X'' に分布収束する。
:<math>X_n\ \xrightarrow{\mathcal D}\ X,</math>
つまり、確率変数の[[累積分布関数]]の列が、''X'' の累積分布関数に、収束先の関数の任意の連続点において各点収束する。
|2= <math>\scriptstyle \{X_n\}_{n=1}^\infty</math> は[[測度の緊密性|緊密]]である、つまり： 
:<math>\lim_{x\to\infty}\left( \sup_n \operatorname{P}\big[\, |X_n|>x \,\big]\right) = 0</math>
|3= ''<math>\varphi(t)</math>'' はある確率変数 ''X'' の特性関数と一致する。
|4= ''<math>\varphi(t)</math>'' は ''t'' の[[連続写像|連続関数]]である。
|5= ''<math>\varphi(t)</math>'' は ''t''&nbsp;=&nbsp;0 において連続である。
}}

== 証明 ==
厳密な証明は、参考文献に挙げた書籍を参照<ref name=W/><ref>Fristedt & Gray (1996, Theorems 14.15 and 18.21)</ref>。

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
* {{cite book
  | last = Williams | first = D. | authorlink = David Williams (mathematician)
  | title = Probability with Martingales
  | year = 1991
  | publisher = [[ケンブリッジ大学出版局|Cambridge University Press]]
  | isbn = 0-521-40605-6
  }}
*Fristedt, B. E.; Gray, L. F. (1996): [https://www.springer.com/birkhauser/applied+probability+and+statistics/book/978-0-8176-3807-8 ''A modern approach to probability theory''], Birkhäuser Boston. {{ISBN2|0-8176-3807-5}}

{{DEFAULTSORT:れういのれんそくせいていり}}
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[[Category:数学に関する記事]]