レヴィ＝チヴィタ変換のソースを表示

'''レヴィ＝チヴィタ変換''' (レヴィ＝チヴィタへんかん, Levi-Civita transformation<ref>Celletti, p. 207.</ref>) とは、平面[[ケプラーの法則|ケプラー問題]]の[[運動方程式]]の特異性を除去し正則化する変換のこと<ref>{{天文学辞典 |urlname=levi-civita-regularization |title=レビー-チビタ変換}}</ref>。[[トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ]]がその理論を発展させた<ref>{{Cite journal |last=Levi-Civita |first=T. |journal=Annal. Mat. Pura Appl. |volume=9 |issue=3 |date=1903 |pages=1-32}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Levi-Civita |first=T. |date=1904 |journal=Ann. Mat. Ser. |volume=3 |page=9 }}</ref><ref>{{Cite journal |last=Levi-Civita  |first=T. |date=1906 |title=Sur la résolution qualitative du problème restreint des trois corps |journal=Acta Math. |volume=30 |pages=305-327 |url=https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485887161}}</ref><ref>{{Cite journal |first=Levi-Civita |last=T. |date=1920 |title=Sur la régularisation du problème des trois corps |journal=Acta Math. |volume=42 |pages=99-144 |url=https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485887516}}</ref>。三次元ケプラー問題の正則化はこれを拡張した[[クスターンヘイモ・シュティーフェル変換]]によって実現される<ref>{{Cite journal |last1=Kustaanheimo |first1=P. |last2=Stiefel |first2=E. |title=Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization |journal=J. Reine Angew. Math. |volume=218 |date=1965 |page=204 |doi=10.1515/crll.1965.218.204}}</ref>。

== 定義 ==
2次元[[ケプラーの法則|ケプラー問題]]の[[ハミルトニアン]]は、<math>\mathbf{p} = ( p_1, p_2 )</math> を運動量、<math>\mathbf{q} = ( q_1, q_2 )</math> を座標とするとき
:<math>H ( \mathbf{p}, \mathbf{q} ) = \frac{ 1 }{ 2 } ( p_1^2 + p_2^2 ) - \frac{ \mu }{ \sqrt{ q_1^2 + q_2^2 } }</math>
により与えられる。対応する運動方程式は
:<math>\frac{ d q_j }{ d t } = p_j , \ \ \frac{ d p_j }{ d t } = - \frac{ \mu q_j }{ ( q_1^2 + q_2^2 )^{3/2} } , \ \  ( j = 1, 2 )</math>
である。この方程式は重力源からの距離 <math>r = \sqrt{ q_1^2 + q_2^2 }</math> がゼロの極限で発散する特異性がある。Levi-Civita変換はこの特異性を除去するような変数変換である。

=== ステップ1: 正準変換 ===
この系に次の母関数 <math>W ( \mathbf{p}, \mathbf{Q} )</math> によって生成される正準変換 <math>( \mathbf{p}, \mathbf{q} ) \mapsto ( \mathbf{P}, \mathbf{Q} )</math> を施す<ref>Celletti, pp. 207-208.</ref>。
:<math>W ( \mathbf{p}, \mathbf{Q} ) = p_1 ( Q_1^2 + Q_2^2 ) + 2 p_2 Q_1 Q_2</math>
この正準変換は具体的に次のように表示できる。
:<math>
\begin{pmatrix}q_1 \\ q_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}Q_1 & - Q_2 \\ Q_2 & Q_1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2\end{pmatrix} , \ \ 
\begin{pmatrix}p_1 \\ p_2\end{pmatrix} = \frac{ 1 }{ 4 ( Q_1^2 + Q_2^2 ) } \begin{pmatrix}2 Q_1 & - 2 Q_2 \\ 2 Q_2 & 2 Q_1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}P_1 \\ P_2\end{pmatrix} , \ \ 
</math>
次節でこの変換の詳細な性質について見るが、ここでは <math>\sqrt{ q_1^2 + q_2^2 } = Q_1^2 + Q_2^2</math> が成立することを指摘しておく。さて、<math>D := 4 ( Q_1^2 + Q_2^2 )</math> とおくとき、変換後のハミルトニアン <math>\tilde{H} ( \mathbf{P}, \mathbf{Q} ) = H ( \mathbf{p} ( \mathbf{P}, \mathbf{Q} ), \mathbf{q} ( \mathbf{P}, \mathbf{Q} ) )</math> は
:<math>\tilde{H} ( \mathbf{P}, \mathbf{Q} ) = \frac{ 1 }{ 2 D } ( P_1^2 + P_2^2 ) - \frac{ \mu }{ Q_1^2 + Q_2^2 }</math>
であり、運動方程式は
:<math>\frac{ d Q_j }{ d t } = \frac{ P_j }{ D } , \ \ \frac{ d P_j }{ d t } = \frac{ 4 }{ D^2 } ( P_1^2 + P_2^2 - 8 \mu ) Q_j</math>
となる<ref>Celletti, pp. 208-209.</ref>。この段階ではまだ <math>r \to 0</math> での特異性が残っている。

=== ステップ2: 時間変数の変換 ===
Levi-Civita変換では物理的な時間 <math>t</math> の代わりにfictitious time <math>s</math> を独立変数として扱う。その定義は
:<math>dt = D ( Q_1, Q_2 ) ds</math>
である<ref>Celletti, pp. 209-211.</ref>。この変換を行うと、上の正準方程式は
:<math>\frac{ d Q_j }{ d s } = P_j , \ \ \frac{ d P_j }{ d s } = 8 \tilde{H} ( \mathbf{P}, \mathbf{Q} ) Q_j , \ \ \frac{ d t }{ d s } = D</math>
という方程式系へと変換される。これは極限 <math>r = Q_1^2 + Q_2^2 \to 0</math> での特異性を持たない。さらに <math>\tilde{H}</math> が保存量であることから、それが負の値を取る束縛軌道に関しては、これは角振動数 <math>\omega = \sqrt{ - 8 \tilde{H} }</math> の[[調和振動子]]の方程式に等しい。

なお、この運動方程式は形式的に <math>( \mathbf{P}, \mathbf{Q}; T, t )</math> を正準変数とするハミルトニアン
:<math>\Gamma = \frac{ 1 }{ 2 } ( P_1^2 + P_2^2 ) + 4 T ( Q_1^2 + Q_2^2 ) - 4 \mu</math>
に対応する正準方程式に (<math>T</math> はもとのハミルトニアン <math>\tilde{H}</math> の符号を反転させたものと解釈するとき) 一致する<ref>Celletti, p. 210.</ref>。

== 変換の性質 ==
=== 座標変数 <math>Q_j</math> ===
[[File:Animation of Levi-Civita transformation for Kepler orbits.webm|thumb|ケプラー運動 (離心率 e =0, 0.5, 0.95) を物理空間およびLevi-Civita変換によるパラメータ空間でアニメーションにしたもの。物理空間では楕円を描くが、Levi-Civita変数では[[調和振動子]]と同じ[[リサジュー図形]]となる。]]
Levi-Civita変換による座標の変換 <math>( q_1, q_2 ) \mapsto ( Q_1, Q_2 )</math> について、その定義は
:<math>\begin{cases}
q_1 &= Q_1^2 - Q_2^2 \\
q_2 &= 2 Q_1 Q_2
\end{cases}</math>
であった。あるいは、行列表記ではこの変換は次のように書ける。
:<math>\begin{pmatrix}q_1 \\ q_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}Q_1 & - Q_2 \\ Q_2 & Q_1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2\end{pmatrix}</math>

この変換は、[[虚数単位]] <math>i</math> を導入すると、次の簡単な等式に書き直すことができる<ref>Celletti, p. 208.</ref>。
:<math>q_1 + i q_2 = ( Q_1 + i Q_2 )^2</math>
このことは、もとの空間で座標原点 (<math>r = 0</math>) まわりに一周する (<math>\theta = 0</math> から <math>\theta = 2 \pi</math> まで変化する) とき、それはLevi-Civita変数の空間を半周すること (<math>\psi = 0 \rightarrow \pi</math>) を意味する。従ってひとつの <math>( q_1, q_2 )</math>-平面の点は <math>( Q_1, Q_2 )</math>-平面のふたつの点（原点に関して対称な二点）に対応することになる。

=== fictitious time <math>s</math> ===
fictitious time <math>s</math> は、[[離心近点角]] <math>E</math> と <math>E = 2 \omega s</math> という関係にある<ref>{{Cite web |author=Alessandra Celletti |url=https://web.ma.utexas.edu/mp_arc/e/03-547.pdf |title=Basics of regularization theory |accessdate=2020-08-19}}</ref>。

== 応用 ==
=== ピタゴラス三体問題 ===
[[三体問題]]の特別な初期条件のもとでの系の進化を問う[[ピタゴラス三体問題]]は、系が最終状態に落ち着くまでに二体の近接散乱が繰り返される。SzebehelyとPetersが1967年にこの問題の数値シミュレーションを行った際には、計算精度が落ちるのを防ぐため、また計算時間を削減するために、近接散乱が発生する度にLevi-Civita変換を適用し、信頼できる解を得た<ref>{{Cite journal |last1=Szebehely |first1=Victor |last2=Peters |first2=C. Frederick |title=Complete solution of a general problem of three bodies |journal=The Astronomical Journal |volume=72 |date=1967 |page=876 |bibcode=1967AJ.....72..876S}}</ref>。

== 脚注 ==
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book |author=Alessandra Celletti |title=Stability and Chaos in Celestial Mechanics |publisher=Springer |pages=207-214 |doi=10.1007/978-3-540-85146-2 |isbn=978-3-540-85145-5}}
*{{Cite journal |last1=Nastasi |first1=Pietro |last2=Tazzioli |first2=Rossana |journal=Historia Mathematica |volume=32 |issue=2 |date=2005 |pages=203-236 |title=Toward a scientific and personal biography of Tullio Levi-Civita (1873–1941) |doi=10.1016/j.hm.2004.03.003 |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086004000229}}
*{{Cite journal |last=Mikkola |first=S. |title=A Brief History of Regularisation |journal=IAU Symposium |volume=246 |pages=218-227 |doi=10.1017/S1743921308015639 |bibcode=2008IAUS..246..218M}}

== 関連項目 ==
*[[クスターンヘイモ・シュティーフェル変換]]
*[[天体力学]]
*[[N体シミュレーション]]
*[[三体問題]]
**[[制限三体問題]]、[[ピタゴラス三体問題]]

{{DEFAULTSORT:れういちういたへんかん}}
[[Category:天体力学]]
[[Category:軌道]]
[[Category:トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:天文学に関する記事]]