レヴナー微分方程式のソースを表示

{{要改訳}}
数学では、'''レヴナー微分方程式'''(Loewner differential equation)、あるいは、'''レヴナー方程式'''(Loewner equation)とは、1923年に{{仮リンク|チャールズ・レヴナー|en|Charles Loewner}}(Charles Loewner)により[[複素解析]]と{{仮リンク|幾何学的函数論|en|geometric function theory}}(geometric function theory)の中で発見された。もともとは、スリット写像（0 と ∞ をつなぐ曲線を持つ[[複素平面]]上への[[開円板]](open disk)からの[[共形写像]]を研究するために導入されたのであるが、レヴナーの方法は、後日、ロシアの数学者 Pavel Parfenevich Kufarev (1909–1968) により再発見された。[[コンスタンティン・カラテオドリ|カラテオドリ]](Constantin Carathéodory)の意味で連続的に全平面へ拡張された複素平面内の領域の族は、'''レヴナーチェーン'''(Loewner chain)と呼ばれる 1係数の共形写像の族を導き出す。これは、'''レヴナー半群'''(Loewner semigroup)と呼ばれる[[単位円板]]の[[正則]]で[[単葉函数|単葉な自己写像]]と同様である。この半群が正の実部を持つ円板上の正則函数の 1係数の族によって時間独立な正則ベクトル場に対応する。レヴナーの半群は、[[:en:Koenigs function#Structure of univalent semigroups|単葉な半群]]の考え方を一般化したものである。

レヴナー微分方程式は、1985年に[[ルイ・ド・ブランジュ]](Louis de Branges)によって[[ド・ブランジュの定理|ビーベルバッハ予想]]が証明されたことでも重要な役割を演じた単葉函数の不等式を導く。レブナー自身は、予想の第三項を証明するため、1923年にこのテクニックを使った。1990年代の終わりに[[オデッド・シュラム]](Oded Schramm)により発見されたレヴナー微分方程式の確率論的な一般化である[[シュラム・レヴナー発展]]は、[[確率論]]や[[共形場理論]]で、飛躍的に発展している。
<!---==Loewner differntial equation==
In [[mathematics]], the '''Loewner differential equation''', or '''Loewner equation''', is an [[ordinary differential equation]] discovered by [[Charles Loewner]] in 1923 in [[complex analysis]] and [[geometric function theory]]. Originally introduced for studying slit mappings ([[conformal mapping]]s of the [[open disk]] onto the [[complex plane]] with a curve joining 0 to ∞ removed), Loewner's method was later developed in 1943 by the Russian mathematician Pavel Parfenevich Kufarev (1909–1968). Any family of domains in the complex plane that expands continuously in the sense of [[Carathéodory]] to the whole plane leads to a one parameter family of conformal mappings, called a '''Loewner chain''', as well as a two parameter family of [[holomorphic]] [[univalent function|univalent self-mappings]] of the [[unit disk]], called a '''Loewner semigroup'''. This semigroup corresponds to a time dependent holomorphic vector field on the disk given by a one parameter family of holomorphic functions on the disk with positive real part. The Loewner semigroup generalizes the notion of a [[Koenigs function#Structure of univalent semigroups|univalent semigroup]].

The Loewner differential equation has led to inequalities for univalent functions that played an important role in the solution of the [[Bieberbach conjecture]] by [[Louis de Branges]] in 1985. Loewner himself used his techniques in 1923 for proving the conjecture for the third coefficient. The [[Schramm-Loewner equation]], a stochastic generalization of the Loewner differential equation discovered by [[Oded Schramm]] in the late 1990s, has been extensively developed in [[probability theory]] and [[conformal field theory]].-->

== 単葉函数の従属性 ==
f と g を、単位円板 D, |z| < 1 の上の f(0) = 0 = g(0) である[[正則]]な[[単葉函数]]とする。

f が g に対し'''従属する'''とは、D 上の原点 0 を固定する単葉写像 <math>\varphi</math> が存在し、全ての |z| < 1 に対して
:<math>\displaystyle{f(z)=g(\varphi(z))}</math>
となることとする。

そのような写像 <math>\varphi</math> が存在するための必要十分条件は、
:<math> f(D)\subseteq g(D)</math>
である。必要性はすぐに出る。逆に <math>\varphi</math> を、
:<math> \displaystyle{\varphi(z)=g^{-1}(f(z))} </math>
で定義すると、<math>\varphi</math> は <math>\varphi(0)=0</math> の D の単葉自己写像である。

そのような写像は、<math>0 < |\varphi'(0)| \le 1</math> であり、各円板 D<sub>r</sub> (|z| < r, 0 < r < 1) を自分自身へ写像するので、
:<math>\displaystyle{ |f^\prime(0)| \le  |g^\prime(0)|},\ \ \ \ \displaystyle{f(D_r) \subseteq g(D_r)}</math>
であることが分かる。
<!---==Subordinate univalent functions==
Let ''f'' and ''g'' be [[holomorphic]] [[univalent function]]s  on the unit disk ''D'', |''z''| < 1, with ''f''(0) = 0 = ''g''(0).

''f'' is said to be '''subordinate''' to ''g'' if and only if there is a univalent mapping φ of ''D'' into itself fixing 0 such that

:<math>\displaystyle{f(z)=g(\varphi(z))}</math>

for |''z''| < 1.

A necessary and sufficient condition for the existence of such a mapping φ is that

:<math> f(D)\subseteq g(D).</math>

Necessity is immediate.

Conversely φ must be defined by

:<math> \displaystyle{\varphi(z)=g^{-1}(f(z)).} </math>

By definition φ is a univalent holomorphic self-mapping of ''D'' with φ(0) = 0.

Since such a map satisfies 0 < |φ'(0)| ≤ 1 and takes each disk ''D''<sub>''r''</sub>, |''z''| < r  with 0 < ''r'' < 1, into itself, it follows that

:<math>\displaystyle{ |f^\prime(0)| \le  |g^\prime(0)|}</math>

and

:<math>\displaystyle{f(D_r) \subseteq g(D_r).}</math>-->

==レヴナーチェーン==
0 ≤ t ≤ ∞ に対し、U(t) を原点 0 を含む '''C''' の開いた単連結な部分集合の族で、
:<math> U(s) \subsetneq U(t) </math>
を満たすとする。s < t のとき
:<math> U(t)=\bigcup_{s<t} U(s)</math>
であり、
:<math> U(\infty)={\mathbb C}</math>
とすると、<math> s_n\uparrow t</math> であれば、 {{仮リンク|カラテオドリの核定理|en|Carathéodory kernel theorem}}(Carathéodory kernel theorem)の意味で、
:<math> U(s_n) \rightarrow U(t)</math>
である。

D で '''C''' 内の単位円板を表すとすると、この定理は、[[リーマンの写像定理]]に従った一意に定まる単葉な写像 f<sub>t</sub>(z) は、
:<math> f_t(D)=U(t), \,\,\, f_t(0)=0, \,\,\, \partial_z f_t(0)=1</math>
となり、 [0,∞) X D のコンパクトな部分集合の上で[[一様連続]]であることを意味する。

さらに、函数 <math>a(t)=f^\prime_t(0)</math> は正定値、連続で、単調増加な函数である。

再度、パラメータ化し、
:<math> f^\prime_t(0)=e^t</math>
とおくと、
:<math>f_t(z)=e^tz + a_2(t) z^2 + \cdots </math>
となる。

この単葉写像 f<sub>t</sub>(z) を'''レヴナーチェーン'''(Loewner chain)と呼ぶ。

{{仮リンク|ケーベの1/4定理|label=ケーベの歪曲定理|en|Koebe distortion theorem}}(Koebe distortion theorem)は、チェーンから得られることと開集合 U(t) の性質が同じであることを示した。
<!---==Loewner chain==
For 0 ≤ ''t'' ≤ ∞ let ''U''(''t'') be a family of open connected and simply connected subsets of '''C''' containing 0, such that

:<math> U(s) \subsetneq U(t) </math>

if ''s'' < ''t'',

:<math> U(t)=\bigcup_{s<t} U(s)</math>

and

:<math> U(\infty)={\mathbb C}.</math>

Thus if <math> s_n\uparrow t</math>,

:<math> U(s_n) \rightarrow U(t)</math>

in the sense of the [[Carathéodory kernel theorem]].

If ''D'' denotes the unit disk in '''C''', this theorem implies that the unique univalent maps ''f''<sub>''t''</sub>(''z'')

:<math> f_t(D)=U(t), \,\,\, f_t(0)=0, \,\,\, \partial_z f_t(0)=1</math>

given by the [[Riemann mapping theorem]] are uniformly continuous on compact subsets
of [0,∞) X ''D''.

Moreover the function <math>a(t)=f^\prime_t(0)</math> is positive, continuous, strictly increasing and continuous.

By a reparametrization it can be assumed that

:<math> f^\prime_t(0)=e^t.</math>

Hence

:<math>f_t(z)=e^tz + a_2(t) z^2 + \cdots </math>

The univalent mappings ''f''<sub>''t''</sub>(''z'') are called a '''Loewner chain'''.

The [[Koebe distortion theorem]] shows that knowledge of the chain is equivalent to the properties of the open sets ''U''(''t'').-->

==レヴナーの半群==
f<sub>t</sub>(z) をレヴナーチェーンとすると、
:<math>\displaystyle{ f_s(z)=f_t(\varphi_{s,t}(z))}</math>
であり、原点 0 を固定する円板上の単葉写像 <math>\varphi_{s,t}(z) </math> が一意に存在する s < t に対して、
:<math> \displaystyle{f_s(D) \subsetneq f_t(D)}</math>
が成り立つ。

一意性により、写像 <math>\varphi_{s,t}(z) </math> は次のような半群の性質を持つ。s ≤ t ≤ r に対して、
:<math>\displaystyle{\varphi_{s,t}\circ \varphi_{t,r}=\varphi_{s,r}}</math>
となる。

これにより、'''レヴナーの半群'''(Loewner semigroup)が確立する。

自己写像は連続的に s と t に依存し、
:<math>\displaystyle{\varphi_{t,t}(z)=z.}</math>
を満たす。
<!---==Loewner semigroup==
If ''f''<sub>''t''</sub>(''z'') is a Loewner chain, then

:<math> \displaystyle{f_s(D) \subsetneq f_t(D)}</math>

for ''s'' < ''t'' so that there is a unique univalent self mapping of the disk φ<sub>''s,t''</sub>(''z'') fixing 0 such that

:<math>\displaystyle{ f_s(z)=f_t(\varphi_{s,t}(z)).}</math>

By uniqueness the mappings φ<sub>''s,t''</sub> have the following semigroup property:

:<math>\displaystyle{\varphi_{s,t}\circ \varphi_{t,r}=\varphi_{s,r}}</math>

for ''s'' ≤ ''t'' ≤ ''r''.

They constitute a '''Loewner semigroup'''.

The self-mappings depend continuously on ''s'' and ''t'' and satisfy

:<math>\displaystyle{\varphi_{t,t}(z)=z.}</math>-->

==レヴナーの微分方程式==
'''レヴナーの微分方程式'''(Loewner differential equation)は、レヴナーの半群からもレブナーチェーンからも導くことができる。

半群からは、
:<math>\displaystyle{ w_s(z)=\partial_t\varphi_{s,t}(z)|_{t=s}}</math>
とすると、|z| < 1 に対して、
:<math>\displaystyle{\Re\, p_s(z) > 0}</math>
となので、
:<math>\displaystyle{ w_s(z)=-zp_s(z)}</math>
となる。すると、<math>w(t)=\varphi_{s,t}(z)</math> は、初期条件 w(s) = z である[[常微分方程式]]
:<math> \displaystyle{{dw\over dt} = -w p_t(w)}</math>
を満たす。

レヴナーチェーンの満たす微分方程式 f<sub>t</sub>(z) を得るためには、
:<math> \displaystyle{f_t(z)=f_s(\varphi_{s,t}(z))}</math>
であることに注意すると、f<sub>t</sub>(z) は、初期条件
:<math>\displaystyle{f_t(z)|_{t=0} =f_0(z)}</math>
を持つ常微分方程式
:<math>\displaystyle{\partial_t f_t(z)= zp_t(z) \partial_zf_t(z)}</math>
を満たす。

常微分方程式の{{仮リンク|ピカール・リンデレフの定理|en|Picard–Lindelöf theorem}}(Picard–Lindelöf theorem)は、これらの方程式が解を持ち、解は z で正則であることを保証している。

レヴナーチェーンは、レヴナー半群から極限をとることを通して再発見された。
:<math>\displaystyle{ f_s(z) = \lim_{t\rightarrow \infty} e^t \phi_{s,t}(z).}</math>

結局、D の単葉自己写像 <math>\phi(z)</math> で原点 0 を固定するものが与えられると、
:<math>\displaystyle{\varphi_{0,1}(z)=\psi(z)}</math>
であるようなレヴナー半群 <math>w(t)=\varphi_{s,t}(z)</math> を構成することができる。

同様に、g(0) =0 である D 上の単葉函数 g で、g(D) が閉単位円盤を含むようなものが与えられると、レヴナーチェーン f<sub>t</sub>(z) が存在し、
:<math> \displaystyle{f_0(z)=z,\,\,\, f_1(z)=g(z)}</math>
が成り立つ。

もし、<math>\varphi</math> もしくは、g が ∂D まで連続的に拡張できるならば、直ちにこの結果が得られる。これらの結果は、一般的には、写像 f(z) を近似 f(rz)/r に置き換え、標準のコンパクト性の議論を使うことにより得られる<ref>{{harvnb|Pommerenke|1975|pp=158–159}}</ref>。
<!---==Loewner differential equation==
The '''Loewner differential equation''' can be derived either for the Loewner semigroup or equivalently for the Loewner chain.

For the semigroup, let

:<math>\displaystyle{ w_s(z)=\partial_t\varphi_{s,t}(z)|_{t=s}}</math>

then

:<math>\displaystyle{ w_s(z)=-zp_s(z)}</math>

with

:<math>\displaystyle{\Re\, p_s(z) > 0}</math>

for |''z''| < 1.

Then ''w''(t)=φ<sub>''s,t''</sub>(''z'') satisfies the [[ordinary differential equation]]

:<math> \displaystyle{{dw\over dt} = -w p_t(w)}</math>

with initial condition ''w''(''s'') = ''z''.

To obtain the differential equation satisfied by the Loewner chain ''f''<sub>''t''</sub>(''z'') note that

:<math> \displaystyle{f_t(z)=f_s(\varphi_{s,t}(z))}</math>

so that ''f''<sub>''t''</sub>(''z'') satisfies the differential equation

:<math>\displaystyle{\partial_t f_t(z)= zp_t(z) \partial_zf_t(z)}</math>

with initial condition

:<math>\displaystyle{f_t(z)|_{t=0} =f_0(z).}</math>

The [[Picard–Lindelöf theorem]] for ordinary differential equations guarantees that these
equations can be solved and that the solutions are holomorphic in ''z''.

The Loewner chain can be recovered from the Loewner semigroup by passing to the limit:

:<math>\displaystyle{ f_s(z) = \lim_{t\rightarrow \infty} e^t \phi_{s,t}(z).}</math>

Finally given any univalent self-mapping ψ(''z'') of ''D'', fixing 0, it is possible to construct a Loewner semigroup
φ<sub>''s,t''</sub>(''z'') such that

:<math>\displaystyle{\varphi_{0,1}(z)=\psi(z).}</math>

Similarly given a univalent function ''g'' on ''D''  with ''g''(0) =0, such that  ''g''(''D'') contains the closed unit disk, there is a Loewner chain ''f''<sub>''t''</sub>(''z'') such that

:<math> \displaystyle{f_0(z)=z,\,\,\, f_1(z)=g(z).}</math>

Results of this type are immediate if ψ or ''g'' extend continuously to ∂''D''. They follow in general by replacing mappings ''f''(''z'') by approzimations
''f''(''rz'')/''r'' and then using a standard compactness argument.<ref>{{harvnb|Pommerenke|1975|pp=158–159}}</ref>-->

== スリット写像 ==
D 上の正定置の実部をもち正規化されていて、p(0) = 1 である正則函数 p(z) は、{{仮リンク|ヘルグロッツの表現定理|en|Herglotz representation theorem}}(Herglotz representation theorem)により、次のように記述される。
:<math>\displaystyle{ p(z) =\int_0^{2\pi} {1 + e^{-i\theta}z\over 1 -e^{-i\theta}z} \,  d\mu(\theta).}</math>
ここに μ は円の確率測度である。点の測度を取ることは、|κ(t)| = 1 である函数
:<math> \displaystyle{p_t(z)= {1+\kappa(t) z\over 1-\kappa(t) z}}</math>
を一つ選びだすこととなる。最初にこのことは、{{harvtxt|Loewner|1923}}により考案された。

単位円板上の単葉函数の不等式は、'''スリット写像'''(slit mappings)のコンパクト部分集合へ一様に収束する密度を使い証明することができます。これらは、省略された無限遠点へ繋がっている有限個のジョルダン曲線の弧への単位円板からの共形写像である。密度は{{仮リンク|カラテオドリの核定理|en|Carathéodory kernel theorem}}(Carathéodory kernel theorem)を使い示すことができる。実際、任意の単葉函数 f(z) は、
:<math> \displaystyle{g(z)=f(rz)/r}</math>
により、近似することができ、単位円を解析曲線へ写像する。曲線上の点は、ジョルダン曲線の弧により無限遠点へつなぐことができる。解析曲線の小さな部分を選択した点の一方へ押しやることにより得られる領域は、g(D) へ収束するので、これらの領域上への D からの対応する単葉写像は、コンパクトな集合上で g へ一様収束する<ref>{{harvnb|Duren|1983|pp=80–81}}</ref>。

スリット写像 f へレヴナー微分方程式を適用すると、有限個の点から ∞ 押しやられたジョルダン曲線の弧 c(t) は、[0,∞) によってパラメトライズすることができるので、小さな c([t,∞)) での D から '''C''' 上への単葉写像 f<sub>t</sub> は、連続な b<sub>n</sub> を持つ
:<math>\displaystyle{ f_t(z)=e^t(z+b_2(t)z^2 + b_3(t) z^3 + \cdots)} </math>
の形をしている。特に、
:<math>\displaystyle{f_0(z) = f(z)}</math>
である。

s ≤ t に対して、連続な a<sub>n</sub> を持つ
:<math>\displaystyle{\varphi_{s,t}(z)= f_t^{-1} \circ f_s(z)= e^{s-t} (z+a_2(s,t)z^2 + a_3(s,t) z^3 + \cdots)}</math>
としよう。

これはレヴナーチェーンとレヴナーの半群を与え、
:<math>\displaystyle{p_t(z)={1+\kappa(t) z\over 1-\kappa(t) z}}</math>
となっている。ここに κ は [0,∞) から単位円への連続写像である<ref>{{harvnb|Duren|1983|pp=83–87}}</ref>。

κ を決定するためには、写像 <math>\varphi_{s,t}</math> は、単位円板から、内部の点を境界へ押しやるようなジョルダン曲線の弧を持つ単位円板の中への写像へ移すことに注意する。境界に触れている点は s と独立であり、[0,∞) から単位円への連続函数 λ(t) を定義する。κ(t) は λ(t) の複素共役、（もしくは、逆数）で、
:<math>\displaystyle{\kappa(t)=\lambda(t)^{-1}}</math>
である。

同じことであるが、[[カラテオドリの定理 (等角写像)|カラテオドリの共形写像定理]] (Carathéodory's theorem) により、f<sub>t</sub> は閉円板への連続的に拡張され、しばしば'''駆動函数'''(driving function)と呼ばれる λ(t) は、
:<math>\displaystyle{f_t(\lambda(t))=c(t)}</math>
として特徴づけられる。

全ての連続函数 κ がスリット写像から来るわけではないが、クファレフ(Kufarev)は κ が連続的な微分を持つときに、このことが成り立つことを示した。
<!---==Slit mappings==
Holomorphic functions ''p''(''z'')  on ''D''  with positive real part and normalized so that ''p''(0) = 1 are described by the [[Herglotz representation theorem]]:

:<math>\displaystyle{ p(z) =\int_0^{2\pi} {1 + e^{-i\theta}z\over 1 -e^{-i\theta}z} \,  d\mu(\theta),}</math>

where μ is probability measure on the circle. Taking a point measure singles out functions

:<math> \displaystyle{p_t(z)= {1+\kappa(t) z\over 1-\kappa(t) z}}</math>

with |κ(''t'')| = 1, which were the first to be considered by {{harvtxt|Loewner|1923}}.

Inequalities for univalent functions on the unit disk can be proved by using the density for uniform convergence on compact subsets of '''slit mappings'''. These are conformal maps of the unit disk onto the complex plane with a Jordan arc connecting a finite point to ∞ omitted. Density follows by applying the [[Carathéodory kernel theorem]]. In fact any univalent function ''f''(''z'') is approximated by functions

:<math> \displaystyle{g(z)=f(rz)/r}</math>

which take the unit circle onto an analytic curve. A point on that curve can be connected to infinity by a Jordan arc. The regions obtained by omitting a small segment of the analytic curve to one side of the chosen point converge to ''g''(''D'') so the corresponding univalent maps of ''D'' onto these regions converge to ''g'' uniformly on compact sets.<ref>{{harvnb|Duren|1983|pp=80–81}}</ref>

To apply the Loewner differential equation to a slit function ''f'', the omitted Jordan arc ''c''(''t'') from a finite point to ∞ can be parametrized by [0,∞) so that the map univalent map ''f''<sub>''t''</sub> of ''D'' onto '''C''' less ''c''([''t'',∞)) has the form

:<math>\displaystyle{ f_t(z)=e^t(z+b_2(t)z^2 + b_3(t) z^3 + \cdots)} </math>

with ''b''<sub>''n''</sub> continuous. In particular

:<math>\displaystyle{f_0(z) = f(z).}</math>

For ''s'' ≤ ''t'', let

:<math>\displaystyle{\varphi_{s,t}(z)= f_t^{-1} \circ f_s(z)= e^{s-t} (z+a_2(s,t)z^2 + a_3(s,t) z^3 + \cdots)}</math>

with ''a''<sub>''n''</sub> continuous.

This gives a Loewner chain and Loewner semigroup with

:<math>\displaystyle{p_t(z)={1+\kappa(t) z\over 1-\kappa(t) z}}</math>

where κ is a continuous map from [0,∞) to the unit circle.<ref>{{harvnb|Duren|1983|pp=83–87}}</ref>

To determine  κ, note that φ<sub>''s,t''</sub> maps the unit disk into the unit disk with a Jordan arc from an interior point to the boundary removed.
The point where it touches the boundary is independent of ''s'' and defines a continuous function  λ(''t'') from [0,∞) to the unit circle. κ(''t'') is the complex conjugate (or inverse) of  λ(''t''):

:<math>\displaystyle{\kappa(t)=\lambda(t)^{-1}.}</math>

Equivalently, by [[Carathéodory's theorem (conformal mapping)|Carathéodory's theorem]] ''f''<sub>''t''</sub> admits a continuous extension to the closed unit disk and  λ(''t''), sometimes called the '''driving function''', is specified by

:<math>\displaystyle{f_t(\lambda(t))=c(t).}</math>

Not every continuous function κ comes from a slit mapping, but Kufarev showed this was true when κ has a continuous derivative.-->

==ビーベルバッハ予想への応用==
{{harvtxt|Loewner|1923}} でレヴナーは、スリット写像の微分方程式を使い、単葉函数
:<math>\displaystyle{f(z)=z + a_2 z^2 + a_3z^3 +\cdots}</math>
の第三番目の係数に対しての[[ド・ブランジュの定理|ビーベルバッハ予想]]
:<math> \displaystyle{|a_3|\le 3}</math>
を証明した。

この場合、必要により回転させることとし、a<sub>3</sub> は非負であることを前提としている。

すると、連続な a<sub>n</sub> を持つ
:<math>\displaystyle{\varphi_{0,t}(z)=e^{-t}(z+a_2(t)z^2 + a_3(t) z^3 +\cdots)}</math>
を得て、これらが
:<math>\displaystyle{a_n(0)=0,\,\, a_n(\infty)=a_n}</math>
を満たす。

:<math>\displaystyle{\alpha(t)=e^{-t}\kappa(t)}</math>
とすると、レヴナー微分方程式は、
:<math>\displaystyle{\dot{a_2}=-2\alpha} </math>
であり、
:<math>\displaystyle{\dot{a_3} =-2\alpha^2 -4\alpha\, a_2}</math>
であることを意味する。

従って、
:<math>\displaystyle{ a_2 =-2\int_{0}^\infty \alpha(t) \, dt}</math>
である。ここから、直ちにビーベルバッハの不等式
:<math>\displaystyle{|a_2|\le 2.}</math>
が従う。

同様に、
:<math> \displaystyle{a_3=-2\int_0^\infty \alpha^2\, dt +4\left(\int_0^\infty \alpha\, dt\right)^2}</math>
である。a<sub>3</sub> は非負であり、|κ(t)| = 1 であるから、[[コーシー＝シュワルツの不等式]]を使い、
:<math> \displaystyle{|a_3|=2\int_0^\infty |\Re \alpha^2|\, dt +4\left(\int_0^\infty \Re \alpha\, dt\right)^2}
\le 2\int_0^\infty |\Re \alpha^2|\, dt +4\left(\int_0^\infty e^{-t}\,dt\right)\left(\int_0^\infty e^t(\Re \alpha)^2\, dt\right) </math>
::<math>=1 +4\int_0^\infty (e^{-t}-e^{-2t}) (\Re \kappa)^2\, dt \le 3</math>
を得る。
<!---==Application to Bieberbach conjecture==
{{harvtxt|Loewner|1923}} used his differential equation for slit mappings to prove the [[Bieberbach conjecture]]

:<math> \displaystyle{|a_3|\le 3}</math>

for the third coefficient of a univalent function

:<math>\displaystyle{f(z)=z + a_2 z^2 + a_3z^3 +\cdots}</math>

In this case, rotating if necessary, it can be assumed that ''a''<sub>3</sub> is non-negative.

Then

:<math>\displaystyle{\varphi_{0,t}(z)=e^{-t}(z+a_2(t)z^2 + a_3(t) z^3 +\cdots)}</math>

with ''a''<sub>''n''</sub> continuous.  They satisfy

:<math>\displaystyle{a_n(0)=0,\,\, a_n(\infty)=a_n.}</math>

If

:<math>\displaystyle{\alpha(t)=e^{-t}\kappa(t),}</math>

the Loewner differential equation implies

:<math>\displaystyle{\dot{a_2}=-2\alpha} </math>

and

:<math>\displaystyle{\dot{a_3} =-2\alpha^2 -4\alpha\, a_2.}</math>

So

:<math>\displaystyle{ a_2 =-2\int_{0}^\infty \alpha(t) \, dt}</math>

which immediately implies Bieberbach's inequality

:<math>\displaystyle{|a_2|\le 2.}</math>

Similarly

:<math> \displaystyle{a_3=-2\int_0^\infty \alpha^2\, dt +4\left(\int_0^\infty \alpha\, dt\right)^2}</math>

Since ''a''<sub>3</sub> is non-negative and |κ(''t'')| = 1,

:<math> \displaystyle{|a_3|=2\int_0^\infty |\Re \alpha^2|\, dt +4\left(\int_0^\infty \Re \alpha\, dt\right)^2}
\le 2\int_0^\infty |\Re \alpha^2|\, dt +4\left(\int_0^\infty e^{-t}\,dt\right)\left(\int_0^\infty e^t(\Re \alpha)^2\, dt\right)
=1 +4\int_0^\infty (e^{-t}-e^{-2t}) (\Re \kappa)^2\, dt \le 3, </math>

using the [[Cauchy-Schwarz inequality]].-->

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
*{{citation|last=Duren|first=P. L.|title=
Univalent functions|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|volume= 259|publisher= Springer-Verlag|year= 1983|isbn= 0-387-90795-5}}
*{{citation|last=Kufarev|first= P. P.|title=On one-parameter families of analytic functions|journal= Mat. Sbornik|volume= 13 |year=1943|pages= 87–118}}
*{{citation|last=Lawler|first= G. F.|authorlink=Greg Lawler|title=Conformally invariant processes in the plane|series=Mathematical Surveys and Monographs|volume= 114|publisher= American Mathematical Society|year= 2005|isbn= 0-8218-3677-3}}
*{{citation|first=C.|last=Loewner|authorlink=Charles Loewner|title=Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises, I|journal= Math. Ann.|volume=
89|year=1923|pages= 103–121|doi=10.1007/BF01448091}}
*{{citation|last=Pommerenke|first= C.|authorlink=Christian Pommerenke|title=Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen|series= Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher|volume=15|publisher= Vandenhoeck & Ruprecht|year= 1975}}

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