ロジスティック分布のソースを表示

{{確率分布
|名前 = ロジスティック
|型 = 密度
|画像/確率関数 = [[画像:Logisticpdfunction.png|320px|Standard logistic PDF]]
|画像/分布関数 = [[画像:Logistic cdf.png|320px|Standard logistic CDF]]
|母数 = <math>\mu</math>：{{ill|位置母数|en|Location parameter}}（[[実数]]）
<br /><math>s>0</math>：{{ill|尺度母数|en|Scale parameter}}（実数）
|台 = <math>(-\infty ,\infty)</math>
|確率関数 = <math>\frac{e^{-(x-\mu )/s}} {s\left( 1+e^{-(x-\mu )/s} \right)^2}</math>
|分布関数 = <math>\frac{1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}</math>
|期待値 = <math>\mu</math>
|中央値 = <math>\mu</math>
|最頻値 = <math>\mu</math>
|分散 = <math>\frac{\pi^2}{3} s^2</math>
|歪度 = <math>0</math>
|尖度 = <math>\frac{6}{5}</math>
|エントロピー = <math>\ln (s)+2</math>
|モーメント母関数 = <math>|s\, t|<1</math> の場合、<br /><math>e^{\mu \, t} \operatorname{B} (1-s\, t,\; 1+s\, t)</math><br />ここで、<math>\operatorname{B}(a,b)</math> は[[ベータ関数]]
|特性関数 = <math>|ist|<1</math> の場合、<br /><math>e^{i \mu t} \operatorname{B} (1-ist,\; 1+ist)</math>
}}
'''ロジスティック分布'''（ロジスティックぶんぷ、{{lang-en-short|logistic distribution}}）は、[[連続確率分布]]の一つで、その[[累積分布関数]]が[[ロジスティック方程式|ロジスティック関数]]であるものである。[[正規分布]]と同様に対称なS字（シグモイド）型の累積分布関数、釣鐘型の[[確率密度関数]]を持ち一見して両者は類似しているが、ロジスティック分布の方が裾が長く密度関数は平均から離れても下がりにくい。

== 定義と性質 ==
確率変数を実数 {{math2|''x'' (&minus;∞ < ''x'' < ∞)}} とするときのロジスティック分布は、

[[累積分布関数]] <math>F(x; \mu ,s)</math> が
:<math>F(x; \mu ,s)=\frac{1}{1+e^{-(x - \mu)/s}} =\frac{1}{2} \left\{ \tanh \left( \frac{x - \mu}{2s} \right) +1 \right\}</math>

あるいは、

[[確率密度関数]] <math>f(x; \mu, s)</math> が
:<math>f(x; \mu ,s) = \frac{\exp (-(x - \mu) / s)}{s\,(1 + \exp(-(x - \mu) / s))^2}</math>
となる分布として定義される。

このとき、期待値は {{mvar|μ}}、分散は <math>\frac{\pi^2 s^2}{3}</math> である。
[[歪度]]は 0 で正規分布と同様に平均のまわりで対称であるが、[[尖度]]は {{math2|{{sfrac|6|5}} {{=}} 1.2}} となる。

== 参考文献 ==
* 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
* B. S. Everitt（清水良一訳）、統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).

== 関連項目 ==
* [[確率分布]]

== 外部リンク ==
* [http://ibisforest.org/index.php?ロジスティック分布 朱鷺の杜Wiki]
* [http://www.cbrc.jp/%7Etominaga/translations/gsl/ GSL reference manual Japanese version]

{{確率分布の一覧}}
{{DEFAULTSORT:ろしすていつくふんふ}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:数学に関する記事]]