ロドリゲスの公式のソースを表示

{{Otheruses||3次元ベクトルの回転に関する公式|ロドリゲスの回転公式}}

[[数学]]における'''ロドリゲスの公式'''（ロドリゲスのこうしき、{{lang-en-short|Rodrigues' formula}}、かつては'''アイヴォリー＝ヤコビの公式''' {{lang-en-short|Ivory–Jacobi formula}} とも）とは[[ルジャンドル多項式]]を生成する公式であり、[[1816年]]に{{仮リンク|オランド・ロドリゲス|en|Olinde_Rodrigues}}、[[1824年]]に[[ジェームズ・アイヴォリー_(数学者)|ジェームズ・アイヴォリー]]、[[1827年]]に[[カール・グスタフ・ヤコビ]]によって独立に発見された。「ロドリゲスの公式」という名前が[[エドゥアルト・ハイネ|ハイネ]]によって提唱されたのは[[1878年]]であるが、これは[[1865年]]に[[シャルル・エルミート|エルミート]]がこの公式の最初の発見者はロドリゲスだと指摘したことによる。

この用語は同様の[[直交多項式系]]の生成公式を示す際にも使われる。

[[リチャード・アスキー]]は[[2005年]]にロドリゲスの公式の歴史を詳細に綴った記事を執筆した<ref>{{Citation | last1=Askey | first1=Richard |authorlink=リチャード・アスキー| editor1-last=Altmann | editor1-first=Simón L. | editor2-last=Ortiz | editor2-first=Eduardo L. | title=Mathematics and social utopias in France: Olinde Rodrigues and his times | url=https://books.google.co.jp/books?id=oTyJYUx8Jr4C&pg=PA105&redir_esc=y&hl=ja | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series= History of mathematics | isbn=978-0-8218-3860-0 | year=2005 | volume=28 | chapter=The 1839 paper on permutations: its relation to  the  Rodrigues formula  and further developments | pages=105–118}}</ref>。

==ステートメント==
ロドリゲスは[[ルジャンドル多項式]]　<math>P_n(x)</math>を次のように記述した：
:<math>P_n(x) = {1 \over 2^n n!} { \left(\frac{d}{dx} \right)^{n} } (x^2 -1)^n </math>

[[スツルム＝リウヴィル型微分方程式]]の解として得られる直交函数系において同様の公式が成立することも多く、直交多項式系が得られるような場合についてはそれらの公式もロドリゲスの公式と呼ばれる。例えば以下のようなものがある。

*[[ラゲールの陪多項式|ラゲールの多項式]] <math>L_n(x)</math>
:<math>L_n(x) = e^x { \left(\frac{d}{dx} \right)^{n} } \left( x^n e^{-x} \right) </math>
*[[エルミート多項式]] <math>H_n(x)</math>
:<math>H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} { \left(\frac{d}{dx} \right)^{n} } e^{-x^2} </math>
*[[ゲーゲンバウアー多項式]] <math>C_n^{(\alpha)}(x)</math>
:<math>C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{(-2)^n}{n!}\frac{\Gamma(n+\alpha)\Gamma(n+2\alpha)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(2n+2\alpha)}(1-x^2)^{-\alpha+1/2}{ \left(\frac{d}{dx} \right)^{n} }\left[(1-x^2)^{n+\alpha-1/2}\right]</math>

==脚注==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:ろとりけすのこうしき}}
[[Category:微分方程式]]
[[Category:直交多項式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]