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[[数学]]の分野における'''ロビン境界条件'''（ろびんきょうかいじょうけん、{{lang-en-short|''Robin boundary condition''}}）あるいは'''第3種境界条件'''とは、数学者の{{仮リンク|ヴィクトール・ギュスターヴ・ロビン|en|Victor Gustave Robin}}（1855&ndash;1897）の名にちなむ[[境界条件]]である<ref>Gustafson, K., (1998). Domain Decomposition, Operator Trigonometry, Robin Condition, ''Contemporary Mathematics'', '''218'''. 432&ndash;437.</ref>。[[常微分方程式]]あるいは[[偏微分方程式]]に対し、解の[[定義域]]の[[境界 (位相空間論)|境界]]上における値と、その[[微分]]の値の[[線型結合]]により表される。

ロビン境界条件は[[ディリクレ境界条件]]と[[ノイマン境界条件]]の組み合わせであり、境界上の異なる部分集合に対してそれぞれ異なる境界条件を定める[[混合境界条件]]とは区別される。[[電磁気学]]の問題へと応用される関係上、'''インピーダンス境界条件'''と呼ばれることもある。

与えられた方程式の解の定義域を Ω とし、<math>\partial\Omega</math> をその境界とするとき、ロビン境界条件は
:<math>a u + b \frac{\partial u}{\partial n} =g \quad \text{on} ~~ \partial \Omega\,</math>
と記述される。ここで、''a'' および ''b'' はゼロでない定数、''g'' は境界 <math>\partial\Omega</math> 上定義される関数である。また、''u'' は Ω 上の未知関数で、<math>{\partial u}/{\partial n}</math> はその{{仮リンク|法線微分|en|normal derivative}}を表す。より一般的なケースでは、''a'' と ''b'' は定数でなく関数となる。

一次元で <math>\Omega = [0,1]</math> とした場合、例えば次のようなロビン境界条件が考えられる:
:<math>a u(0) - bu'(0) =g(0)\,</math>
:<math>a u(1) + bu'(1) =g(1).\,</math>
ここで二つの式の微分の項の前後で正負の符号が反転していることに注意されたい。これは、点 0 での <math>[0,1]</math> への法線は負の方向を向いているのに対し、点 1 での <math>[0,1]</math> への法線は正の方向を向いているためである。

ロビン境界条件は、理学および工学の多くの場面で登場する[[スツルム＝リウヴィル型微分方程式|スツルム＝リウヴィル問題]]を解く際に、広く用いられる。

また、ロビン境界条件は[[移流拡散方程式]]に対する'''断熱境界条件'''の一般的な形でもある。移流フラックスと拡散フラックスの和がゼロであるような

:<math>-D \frac{\partial c(0)}{\partial x}+ u_x(0)\,c(0)=0\,</math>

という形で、そのような境界条件は記述される。ここで ''D'' は拡散定数、''u'' は境界での対流速度、''c'' は濃度を表す。この式の第一項は[[フィックの法則]]によるものである。

==参考文献==
<references />
*Gustafson, K. and T. Abe, (1998a). (Victor) Gustave Robin: 1855–1897, ''The Mathematical Intelligencer'', 20, 47&ndash;53.
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{{境界条件}}

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