ロホリンの定理のソースを表示

{{要改訳}}
数学の一分野である 4次元の[[位相幾何学]]（トポロジー)において、'''ロホリンの定理'''とは[[多様体#可微分多様体|滑らか]]で[[コンパクト空間|コンパクトな]] [[4次元多様体]] M が[[スピン構造]]を持つならば(同値だが、第2[[スティーフェル・ホイットニー類]] w<sub>2</sub>(M) = 0 であれば)、多様体の[[交叉形式 (4次元多様体)|交叉形式]]の{{仮リンク|符号 (トポロジー)|label=符号|en|Signature (topology)}}(signature)、第2[[コホモロジー群]]の[[二次形式]] H<sup>2</sup>(M)は、16 で割り切れるという定理である。この定理は、1952年に{{仮リンク|ヴラディミール・ロホリン|en|Vladimir Rokhlin (Soviet mathematician)}}(Vladimir Rokhlin)が証明した。
<!--4In 4-dimensional topology, a branch of mathematics, '''Rokhlin's theorem''' states that if a [[Differentiable manifold|smooth]], [[Compact space|compact]] 4-[[manifold]] ''M'' has a [[spin structure]] (or, equivalently, the second [[Stiefel–Whitney class]] ''w''<sub>2</sub>(''M'') vanishes), then the [[Signature (topology)|signature]] of its [[Intersection form (4-manifold)|intersection form]], a [[quadratic form]] on the second [[cohomology group]] ''H''<sup>2</sup>(''M''), is divisible by 16. The theorem is named for [[Vladimir Rokhlin (Soviet mathematician)|Vladimir Rokhlin]], who proved it in 1952.-->

==例==
*M 上の[[交叉形式 (4-多様体)|交叉形式]]
::<math>Q_M : H^2(M,\mathbb{Z})\times H^2(M,\mathbb{Z})\rightarrow \mathbb{Z}</math>
:は、[[ポアンカレ双対]]により、<math>\mathbb{Z}</math> 上の{{仮リンク|ユニモジュラー格子|label=ユニモジュラー|en|unimodular lattice}}(unimodular)（な双線型形式）で、w<sub>2</sub>(M) が 0 となることは交叉形式が偶数であることを意味する。{{仮リンク|チャヒット・アルフ|en|Cahit Arf}}(Cahit Arf)の定理により、任意の偶のユニモジュラー格子は、8 で割り切れる符号を持つので、ロホリンの定理は符号が割り切れるためにひとつの余剰因子をもつことを余儀なくされる。
*[[K3曲面]]は、コンパクトな 4-次元で w<sub>2</sub>(M) が 0 であるので、符号は &minus;16 であるので、16 はロホリンの定理では最良の正の数である。
*[[マイケル・フリードマン|フリードマン]](Freedman)の{{仮リンク|E8多様体|en|E8 manifold}}(E8 manifold)は、w<sub>2</sub>(M) が 0 であり、交叉形式 E<sub>8</sub> が符号 8 の多様体である[[単連結空間|単連結]]でコンパクトな[[位相多様体]](topological manifold)である。ロホリンの定理は、この多様体が{{仮リンク|滑らかな構造|en|smooth structure}}(smooth structure)を持たないことを意味する。この多様体は、ロホリンの定理が（滑らかであるという多様体以外の）位相多様体に適用できないことを示している。
*多様体 M が単連結であれば（あるいは、より一般的に、第一ホモロジー群が 2-torsionを持たなければ）、w<sub>2</sub>(M) は偶である交叉形式を持つことに同値である。このことは一般には正しくなく、[[エンリケス曲面]]はコンパクトで滑らかな 4次元多様体であり、符号が 8 の（16 では割れない）偶な交叉形式 II<sub>1,9</sub> を持つが、しかし、クラス w<sub>2</sub>(M) は 0 ではなく、第二コホモロジー群の[[捩れ (代数)|捩れ元]]により表現される。
<!--==Examples==
*The [[Intersection form (4-manifold)|intersection form]] on ''M''
::<math>Q_M : H^2(M,\mathbb{Z})\times H^2(M,\mathbb{Z})\rightarrow \mathbb{Z}</math>
:is [[unimodular lattice|unimodular]] on <math>\mathbb{Z}</math> by [[Poincaré duality]], and the vanishing of ''w''<sub>2</sub>(''M'') implies that the intersection form is even. By a theorem of [[Cahit Arf]], any even unimodular lattice has signature divisible by 8, so Rokhlin's theorem forces one extra factor of 2 to divide the signature.
*A [[K3 surface]] is compact, 4 dimensional, and ''w''<sub>2</sub>(''M'') vanishes, and the signature is &minus;16, so 16 is the best possible number in Rokhlin's theorem.
*Freedman's [[E8 manifold]] is a [[Simply connected space|simply connected]] compact [[topological manifold]] with vanishing ''w''<sub>2</sub>(''M'') and intersection form ''E''<sub>8</sub> of signature 8. Rokhlin's theorem implies that this manifold has no [[smooth structure]]. This manifold shows that Rokhlin's theorem fails for topological (rather than smooth) manifolds.
*If the manifold ''M'' is simply connected (or more generally if the first homology group has no 2-torsion), then the vanishing of ''w''<sub>2</sub>(''M'') is equivalent to the intersection form being even. This is not true in general: an [[Enriques surface]] is a compact smooth 4 manifold and has even intersection form II<sub>1,9</sub> of signature &minus;8 (not divisible by 16), but the class ''w''<sub>2</sub>(''M'') does not vanish and is represented by a [[Torsion (algebra)|torsion element]] in the second cohomology group.-->

==証明==
ロホリンの定理は、3-{{仮リンク|球面の安定ホモトピー群|en|stable homotopy group of spheres}}(stable homotopy group of spheres) π<sup>S</sup><sub>3</sub> が位数 24 の巡回群であるという事実から導くことができる。これがロホリンの元々の証明方法である。

ロホリンの定理は[[アティヤ＝シンガーの指数定理]]から導くこともできる。[[ロホリンの定理#一般化|Â 種数とロホリンの定理]]を参照。

{{harvtxt|Kirby|1989}} では、幾何学的証明が与えられている。
<!--==Proofs==
Rokhlin's theorem can be deduced from the fact that the third [[stable homotopy group of spheres]] π<sup>''S''</sup><sub>3</sub> is cyclic of order 24; this is Rokhlin's original approach.

It can also be deduced from the [[Atiyah–Singer index theorem]]. See [[Atiyah–Singer index theorem#Â genus and Rochlin's theorem|Â genus and Rochlin's theorem]].

{{harvtxt|Kirby|1989}} gives a geometric proof.-->

==ロホリン不変量==
ロホリンの定理は、滑らかなスピン多様体の符号は 16 で割り切れるという定理であるので、'''ロホリン不変量'''(Rokhlin invariant)の定義は次のようになる。
: 3-次元多様体 <math>M</math> とその上の[[スピン構造]] <math>s</math> に対して、<math>\mathbb{Z}/16\mathbb{Z}</math> の中のロホリン不変量 <math>\mu(M,s)</math> は、スピン境界 <math>(M,s)</math> を持つ滑らかなコンパクトなスピン多様体の符号として定義される。

N が 3次元[[スピン構造|スピン]]多様体であれば、4次元スピン多様体 M の境界である。M の符号が 8 で割れるので、ロホリンの定理を容易に応用して、mod 16 の値が N に依存し M の選択には依存しないことを示すことができる。ホモロジー 3-球面は、ただひとつ[[スピン構造]]を持つので、ホモロジー 3-球面のロホリン不変量を、M をホモロジー球面を境界とするスピン 4次元多様体としたときの '''Z'''/2'''Z''' の符号 (M)/8 であると定義することができる。

例えば、{{仮リンク|ポアンカレホモロジー球面|en|Poincaré homology sphere}}(Poincaré homology sphere)は、交叉形式 E<sub>8</sub> を持つ 4次元スピン多様体の境界であるので、ロホリン不変量は 1 である。この結果は、いくつかの基本的結果を持っている。ポアンカレホモロジー球面は滑らかな <math>S^4</math> への埋め込みを持たなく、{{仮リンク|メイザー多様体|en|Mazur manifold}}(Mazur manifold)の境界となる。

さらに一般的に、N が 3次元スピン多様体であれば（例えば、任意の '''Z'''/2'''Z''' ホモロジー球面）、N を境界とする任意の 4次元スピン多様体 M は、mod 16 でうまく定義できて、N のロホリン不変量と呼ばれる。位相 3次元多様体 N 上では'''一般ロホリン不変量'''(generalized Rokhlin invariant)は、定義域が N 上のスピン構造であり、s を N 上のスピン構造としてペア <math>(N,s)</math> の'''ロホリン不変量'''として値を取る函数である。

M のロホリン不変量は、[[キャッソン不変量]]の mod 2 の半分の値に等しい。キャッソン不変量は、整数係数ホモとジー 3-球面のロホリン不変量の '''Z''' に値を持つリフトであるとみることもできる。
<!--==The Rokhlin invariant==
Since Rokhlin's theorem states that the signature of a spin smooth manifold is divisible by 16, the definition of the '''Rohkhlin invariant''' is deduced as follows:
:For 3-manifold <math>M</math> and a [[spin structure]] <math>s</math> on <math>M</math>, the Rokhlin invariant <math>\mu(M,s)</math> in <math>\mathbb{Z}/16\mathbb{Z}</math> is defined to be the signature of any smooth compact spin 4-manifold with spin boundary <math>(M,s)</math>.

If ''N'' is a [[spin structure|spin]] 3-manifold then it bounds a spin 4-manifold ''M''. The signature of ''M'' is divisible by 8, and an easy application of Rokhlin's theorem shows that its value mod 16 depends only on ''N'' and not on the choice of ''M''.Homology 3-spheres have a unique [[spin structure]] so we can define the Rokhlin invariant of a homology 3-sphere to be the element sign(''M'')/8 of '''Z'''/2'''Z''', where ''M'' any spin 4-manifold bounding the homology sphere.

For example, the [[Poincaré homology sphere]] bounds a spin 4-manifold with intersection form ''E''<sub>8</sub>, so its Rokhlin invariant is 1. This result has some elementary consequences: the [[Poincaré homology sphere]] does not admit a smooth embedding in <math>S^4</math>, nor does it bound a [[Mazur manifold]].

More generally, if ''N'' is a [[spin structure|spin]] 3-manifold (for example, any '''Z'''/2'''Z''' homology sphere), then the signature of any spin 4-manifold ''M'' with boundary ''N'' is well defined mod 16, and is called the Rokhlin invariant of ''N''. On a topological 3-manifold ''N'', the '''generalized Rokhlin invariant''' refers to the function whose domain is the [[spin structure]]s on ''N'', and which evaluates to the Rokhlin invariant of the pair <math>(N,s)</math> where ''s'' is a spin structure on ''N''.

The Rokhlin invariant of M is equal to half the [[Casson invariant]] mod 2. The Casson invariant is viewed as the '''Z'''-valued lift of the Rokhlin invariant of integral homology 3-sphere.-->

==一般化==
'''ケルベア・ミルナーの定理'''(Kervaire–Milnor theorem) {{harv|Kervaire|Milnor|1960}} は、Σ が滑らかでコンパクトな 4次元多様体 M の特性球面であれば、
:signature(M) = Σ.Σ mod 16
であるという定理である。特性球面は、ホモロジークラスが[[スティーフェル・ホイットニー類]] w<sub>2</sub>(M) を表現するような埋め込まれた 2-球である。w<sub>2</sub>(M) が 0 であれば、Σ を任意の小さな球としてとることができ、自己交叉数が 0 であるので、このことはロホリンの定理から従う。

'''フリードマン・カービーの定理'''(Freedman–Kirby theorem) {{harv|Freedman|Kirby|1978}} は Σ が滑らかでコンパクトな 4次元多様体 M の特性曲面であれば、
:signature(M) = Σ.Σ + 8Arf(M,Σ) mod 16
であるという定理である。ここに Arf(M,Σ) は H<sub>1</sub>(Σ, '''Z'''/2'''Z''') 上のある二次系式の{{仮リンク|アルフ不変量|en|Arf invariant}}(Arf invariant)である。アルフ不変量は、Σ が球面であれば、ケルベア・ミルナーの定理の特別な場合となる。

フリードマン・カービーの定理の（滑らかな多様体以外の）位相多様体への一般化は、
:signature(M) = Σ.Σ + 8Arf(M,Σ) + 8ks(M) mod 16,
となる。ここに ks(M) は M の[[カービー・ジーベンマン不変量]]である。M が滑らかであれば、M のカービー・ジーベンマン不変量は 0 である。

[[アルマン・ボレル]](Armand Borel)と[[フリードリッヒ・ヒルツェブルフ]](Friedrich Hirzebruch)は、次の定理を証明した。X を滑らかでコンパクトな次元が 4 で割れるような[[スピン多様体]]であれば、{{仮リンク|Â 種数|en|Â genus}}(Â genus)は整数であり、X の次元が 4 mod 8 であれば偶数である。このことは[[アティヤ＝シンガーの指数定理]]から導き出すことができる。[[マイケル・アティヤ]](Michael Atiyah)と[[イサドール・シンガー]](Isadore Singer)は、Â 種数がアティヤ・シンガー作用素の指数であり、常に整数であり、次元が 4 mod 8 のときは偶数であるを示した。4-次元多様体に対し[[種数 (乗法的数列)#L-種数とヒルツェブルフの符号定理|ヒルツェブルフの符号定理]]は、符号は &minus;8 に Â 種数をかけた値であるので、アティヤ＝シンガーの指数定理は、4次元の場合はロホリンの定理を含んでいる。

{{harvtxt|Ochanine|1980}} は X がコンパクトな向き付け可能な滑らかでコンパクトな次元 4 mod 8 の多様体であれば、不当は 16 で割り切れることを証明した。
<!--==Generalizations==
The '''Kervaire–Milnor theorem''' {{harv|Kervaire|Milnor|1960}} states that if Σ is a characteristic sphere in a smooth compact 4-manifold ''M'', then 
:signature(''M'') = Σ.Σ mod 16.
A characteristic sphere is an embedded 2-sphere whose homology class represents the Stiefel–Whitney class ''w''<sub>2</sub>(''M''). If ''w''<sub>2</sub>(''M'') vanishes, we can take Σ to be any small sphere, which has self intersection number 0, so Rokhlin's theorem follows.

The '''Freedman–Kirby theorem''' {{harv|Freedman|Kirby|1978}} states that if Σ is a characteristic surface in a smooth compact 4-manifold ''M'', then 
:signature(''M'') = Σ.Σ + 8Arf(''M'',Σ) mod 16.
where Arf(''M'',Σ) is the [[Arf invariant]] of a certain quadratic form on H<sub>1</sub>(Σ, '''Z'''/2'''Z'''). This Arf invariant is obviously 0 if Σ is a sphere, so the Kervaire–Milnor theorem is a special case.

A generalization of the Freedman-Kirby theorem to topological (rather than smooth) manifolds states that
:signature(''M'') = Σ.Σ + 8Arf(''M'',Σ) + 8ks(''M'') mod 16,
where ks(''M'') is the [[Kirby–Siebenmann invariant]] of ''M''. The Kirby–Siebenmann invariant of ''M'' is 0 if ''M'' is smooth.

[[Armand Borel]] and [[Friedrich Hirzebruch]] proved the following theorem: If ''X'' is a smooth compact [[spin manifold]] of dimension divisible by 4 then the [[Â genus]] is an integer, and is even if the dimension of ''X'' is 4 mod 8. This can be deduced from the [[Atiyah–Singer index theorem]]: [[Michael Atiyah]] and [[Isadore Singer]] showed that the Â genus is the index of the Atiyah–Singer operator, which is always integral, and is even in dimensions 4 mod 8. For a 4-dimensional manifold, the [[Hirzebruch signature theorem]] shows that the signature is &minus;8 times the Â genus, so in dimension 4 this implies Rokhlin's theorem.

{{harvtxt|Ochanine|1980}} proved that if ''X'' is a compact oriented smooth spin manifold of dimension 4 mod 8, then its signature is divisible by 16.-->

==参考文献==
* [[Michael Freedman|Freedman, Michael]]; [[Robion Kirby|Kirby, Robion]], "A geometric proof of Rochlin's theorem", in: Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Part 2, pp.&nbsp;85–97, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1978. {{MR|0520525}} ISBN 0-8218-1432-X
* {{citation
 | mr=1001966
 | last = Kirby|first= Robion
 | authorlink = Robion Kirby
 | title = The topology of 4-manifolds
 | year = 1989
 | series = Lecture Notes in Mathematics|volume= 1374|publisher= Springer-Verlag
 | isbn =0-387-51148-2
 | doi=10.1007/BFb0089031
}}
* [[Michel Kervaire|Kervaire, Michel A.]]; [[John Milnor|Milnor, John W.]], "Bernoulli numbers, homotopy groups, and a theorem of Rohlin", 1960 Proc. Internat. Congress Math. 1958, pp.&nbsp;454–458, [[Cambridge University Press]], New York. {{MR|0121801}}
* [[Michel Kervaire|Kervaire, Michel A.]]; [[John Milnor|Milnor, John W.]], ''On 2-spheres in 4-manifolds.'' Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 47 (1961), 1651-1657. {{MR|0133134}}
* {{Citation
|author=[[Marie-Louise Michelsohn|Michelsohn, Marie-Louise]]; Lawson, H. Blaine 
|title=Spin geometry 
|publisher=[[Princeton University Press]] 
|location=Princeton, N.J 
|year=1989 |pages= 
|isbn=0-691-08542-0 |doi=
|mr= 10319928}} (especially page 280)
* Ochanine, Serge, "Signature modulo 16, invariants de Kervaire généralisés et nombres caractéristiques dans la K-théorie réelle", Mém. Soc. Math. France 1980/81, no. 5, 142 pp. {{MR|1809832}}
* [[Vladimir Rokhlin (Soviet mathematician)|Rokhlin, Vladimir A.]], ''New results in the theory of four-dimensional manifolds'', Doklady Acad. Nauk. SSSR (N.S.) 84 (1952) 221–224. {{MR|0052101}}
* {{citation
 |last= Scorpan
 |first= Alexandru
 |year= 2005
 |title= The wild world of 4-manifolds
 |publisher= [[American Mathematical Society]]
 |isbn= 978-0-8218-3749-8
 |mr= 2136212 
 }}.
*{{citation
|first=András|last= Szűcs
|title=Two Theorems of Rokhlin
|doi= 10.1023/A:1021208007146
|journal=Journal of Mathematical Sciences
|volume =113
|issue= 6 
|year= 2003
|pages= 888–892
|mr=1809832
}}

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