ロンドン方程式のソースを表示

{{出典の明記|date=2023年1月8日 (日) 04:29 (UTC)}}
[[File:EfektMeisnera.svg|thumb|300 px|right|物質が超伝導の臨界温度以下まで冷やされると、マイスナー効果により磁場は物質中に侵入しない。ロンドン方程式はこの現象を定量的に説明する。]]
'''ロンドン方程式'''（ロンドンほうていしき、London equation）とは、[[超伝導]]の特徴の１つである[[マイスナー効果]]に対して現象論的な解釈を与える方程式のことである<ref>マイスナー効果はマクスウェル方程式では記述出来ないため、マクスウェル方程式から導出されるロンドン方程式も、マイスナー効果を解明したわけではない。金属における[[表皮効果]]と同様の評価方法に、電気抵抗が０であることを適用したものである。</ref>。

ロンドン兄弟（[[フリッツ・ロンドン]]と[[ハインツ・ロンドン]]）によって導きだされたのでロンドン方程式という。この方程式で使う[[λ]]（ラムダ）を'''ロンドンの侵入長'''（しんにゅうちょう、London penetration depth）という。

==概要==
超伝導体の電流密度
<math>\boldsymbol{j}</math>
が磁場のベクトルポテンシャル
<math>\boldsymbol{A}</math>
に比例すると仮定する。（太字は[[ベクトル]]を表す。）

ここで
<math>\boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A}</math>
とし、
比例定数を
<math>- \frac{1}{\mu _0\lambda^2}</math>
とする。（∇については[[ナブラ]]を参照のこと。）

こうして、

: <math>\boldsymbol{j} = - \frac{1}{\mu _0\lambda^2} \boldsymbol{A}</math>

となる。これが'''ロンドン方程式'''である。両辺に[[回転 (ベクトル解析)|rot]]をとって、

: <math>\nabla \times \boldsymbol{j} = - \frac{1}{\mu _0\lambda^2} \boldsymbol{B} \quad(1)</math>

のようにも表される。

[[マクスウェルの方程式]]により、

: <math>\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{j}</math>

両辺にrotをとって

: <math>\nabla \times \left( \nabla \times \boldsymbol{B} \right)= - \nabla^2 \boldsymbol{B}=\mu _0 \left( \nabla \times \boldsymbol{j} \right)</math>

(1)のロンドン方程式より

: <math>\nabla^2 \boldsymbol{B} = \frac{\boldsymbol{B}}{\lambda^2}</math>

が得られる。
<!-- 
この式が成り立つのは、 <math>\boldsymbol{B} = 0</math> のときだけである。これによりマイスナー効果が説明された。
 -->
ここで、簡単のためにyz平面に表面を持ち、x方向に深さを持つ超伝導体を考える。この超伝導体に外部磁場をかけた場合、超伝導体の内部の磁場は

: <math>\boldsymbol{B} (x) =\boldsymbol{B} (0) \exp \left( -\frac{x}{\lambda} \right)</math>

で表すことができる。

これはｘ軸に垂直な外部磁場Bがｘ軸方向（超伝導体内部）に向かうにしたがって指数関数的に減少し、深さλにおいては表面での磁場強度<math>\boldsymbol{B} (0)</math>の1/e倍に減衰することが分かる。
電流についても微分方程式及び侵入深さを下記のように評価できる。
: <math>\nabla^2 \boldsymbol{j} = \frac{\boldsymbol{j}}{\lambda^2}</math>

: <math>\boldsymbol{j} (x) =\boldsymbol{j} (0) \exp \left( -\frac{x}{\lambda} \right)</math>
これより、電流についてもそのほとんどが表面を流れていると理解される。

この磁場の侵入深さの目安となるλを'''ロンドンの侵入長'''、特に磁場に対する侵入長については[[磁場侵入長]]という。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[超伝導]]
* [[コヒーレンス長]]
* [[磁場侵入長]]
* [[マイスナー効果]]

{{physics-stub}}
{{DEFAULTSORT:ろんとんほうていしき}}
[[Category:超伝導]]
[[Category:電磁気学]]
[[Category:物理学の方程式]]
[[Category:物理学のエポニム]]