ローレンツ方程式のソースを表示

{{Distinguish|ローレンツ曲線}}
[[File:A Trajectory Through Phase Space in a Lorenz Attractor.gif|frame|right|{{math|1=''ρ'' = 28}}, {{math|1=''σ'' = 10}},  {{math|1=''β'' = {{sfrac|8|3}}}} の時のローレンツアトラクターの解 ]]
'''ローレンツ方程式'''（ローレンツほうていしき）とは、数学者・気象学者である[[エドワード・ローレンツ]]（Edward Lorenz）が最初に研究した非線型[[常微分方程式]]である。特定のパラメータ値と初期条件に対して[[カオス理論|カオス]]的な解を持つことで注目されている。特に、ローレンツ方程式のカオス解の集合は'''ローレンツ・アトラクター'''と呼ばれる。いわゆる[[バタフライ効果]]の説明に用いられることが多く、決定論的な連立常微分方程式が初期値鋭敏性を持つことは驚きをもって迎えられ、カオス研究の端緒となった。

==概要==
1963年、エドワード・ローレンツは、数値シミュレーションや数値計算を担当した[[w:Ellen Fetter|エレン・フェッター]]と、ローレンツ方程式の発見に至る初期の数値計算を担当したソフトウェアエンジニア、[[w:Margaret Hamilton|マーガレット・ハミルトン]]の協力を得て、[[大気変動]]の簡易数学モデルを開発した<ref>{{harvtxt|Lorenz|1960}}</ref><ref name=lorenz>{{harvtxt|Lorenz|1963}}</ref>。このモデルが、現在ローレンツ方程式として知られている以下の3つの常微分方程式の系である：

: <math> \begin{align}
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} &= \sigma (y - x), \\[6pt]
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} &= x (\rho - z) - y, \\[6pt]
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} &= x y - \beta z.
\end{align} </math>

この方程式は、下から暖められ、上から冷やされる2次元の流体層の特性に関するもので、3つの量の時間に対する変化率を記述しており、 {{mvar|x}}は対流速度に、{{mvar|y}}は水平温度変化に、{{mvar|z}}は垂直温度変化に比例する。 <ref name="Sparrow 1982">{{harvtxt|Sparrow|1982}}</ref> また定数 {{mvar|σ}}, {{mvar|ρ}}, {{mvar|β}} はそれぞれ [[プラントル数]]、[[レイリー数]]に関する不安定度を表すパラメータ、臨界水平波数に関するパラメータである。

ローレンツ方程式は[[レーザー]]、<ref>{{harvtxt|Haken|1975}}</ref> [[発電機]]、<ref>{{harvtxt|Knobloch|1981}}</ref>[[w:thermosyphon|サーモサイフォン]]、 <ref>{{harvtxt|Gorman|Widmann|Robbins|1986}}</ref> ブラシレス[[直流電動機|DCモーター]]、 <ref>{{harvtxt|Hemati|1994}}</ref> [[電気回路]]、 <ref>{{harvtxt|Cuomo|Oppenheim|1993}}</ref> [[化学反応]]<ref>{{harvtxt|Poland|1993}}</ref>、[[正浸透]] <ref>{{harvtxt|Tzenov|2014}}{{citation needed|date=June 2017<!--doesn't point anywhere-->}}</ref>などの簡易モデルで生じうる。また、[[w:Malkus waterwheel|マルクス水車]]のフーリエ空間での支配方程式でもある <ref>{{harvtxt|Kolář|Gumbs|1992}}</ref><ref>{{harvtxt|Mishra|Sanghi|2006}}</ref>。すなわちマルクス水車はカオス運動を示し、一定速度で一方向に回転するのではなく、その回転が加速したり減速したり停止したり方向転換したり、それらの組み合わせで前後に振動したりと予測不能の動きをする。

==解析==
通常、パラメータ {{mvar|σ}}, {{mvar|ρ}}, {{mvar|β}} は正であると仮定する。ローレンツは{{math|1=''σ''=10}}、{{math|1=''β''={{sfrac|8|3}}}}、{{math|1=''ρ''=28}}という値を使用し、これらの値（およびその近傍の値）に対して、系がカオス的な振る舞いをすることを示している<ref>{{harvtxt|Hirsch|Smale|Devaney|2003}}, pp.303-305</ref>。

もし{{math|''ρ''<1}}なら、均衡点は1つだけであり、それは原点である。この点は対流がないことに対応する。すべての軌道は原点に収束し、広域的な[[アトラクター]]となる。<ref>{{harvtxt|Hirsch|Smale|Devaney|2003}}, pp.306+307</ref>.

{{math|1=''ρ'' = 1}}で[[ピッチフォーク分岐]]が起こり、{{math|''ρ'' > 1}} でさらに下記の2つの臨界点が現れる。
<math display=block>\left( \sqrt{\beta(\rho-1)}, \sqrt{\beta(\rho-1)}, \rho-1 \right) \quad\text{and}\quad \left( -\sqrt{\beta(\rho-1)}, -\sqrt{\beta(\rho-1)}, \rho-1 \right). </math> 
これらは定常対流に相当する。この二つの平衡点は
<math>\rho < \sigma\frac{\sigma+\beta+3}{\sigma-\beta-1}, </math>
の場合にのみ安定である。これは{{math|''σ'' > ''β'' + 1}}の時のみ、 {{mvar|ρ}}は正となりうる。また臨界値では、両平衡点は[[ホップ分岐]]を経て安定性を失う。<ref>{{harvtxt|Hirsch|Smale|Devaney|2003}}, pp. 307–308</ref>

{{math|1=''ρ''=28}}、{{math|1=''σ''=10}}、{{math|1=''β''={{sfrac|8|3}}}}のとき、ローレンツ方程式はカオス解を持つ（ただし全ての解がカオスであるとは言えない）。ほぼ全ての初期点は、3つの平衡に関して、不変集合{{snd}}ローレンツアトラクター{{snd}}、[[アトラクター#ストレンジアトラクター|ストレンジアトラクター]]、[[フラクタル]]、自己励起アトラクタに傾くことになる。その[[ハウスドルフ次元]]は、上から[[リアプノフ指数]] によって{{val|2.06|0.01}}と見積もられる<ref name=Kuznetsov-2020-ND>{{Cite journal |
first1=N.V. |last1=Kuznetsov| first2=T.N. |last2=Mokaev | first3=O.A. |last3=Kuznetsova | first4=E.V. |last4=Kudryashova|
title=The Lorenz system: hidden boundary of practical stability and the Lyapunov dimension|
journal= Nonlinear Dynamics|year=2020 |volume=102|issue=2|pages=713–732|
doi=10.1007/s11071-020-05856-4|doi-access=free }}
</ref> 
。また[[w:correlattion dimention|相関次元]]は{{val|2.05|0.01}}と推定されている<ref>{{harvtxt|Grassberger|Procaccia|1983}}</ref>。
グローバルアトラクターの正確なリアプノフ指数の公式は、パラメータの古典的な制限の下で解析的に求めることができ、次に示す<ref>{{harvtxt|Leonov|Kuznetsov|Korzhemanova|Kusakin|2016}}</ref><ref name=Kuznetsov-2020-ND/><ref name=2020-KuznetsovR>{{cite book | first1= Nikolay | last1=Kuznetsov | 
first2=Volker | last2=Reitmann | year = 2021| title = Attractor Dimension Estimates for Dynamical Systems: Theory and Computation| 
publisher = Springer| location = Cham|url=https://www.springer.com/gp/book/9783030509866}}</ref>。

<math> 3 - \frac{2 (\sigma + \beta + 1)}{\sigma + 1 + \sqrt{\left(\sigma-1\right)^2 + 4 \sigma \rho}} </math>

ローレンツアトラクターは解析が難しいが、微分方程式のアトラクターへの作用はかなり単純な幾何学モデルで記述され<ref>{{Cite journal|title = Structural stability of Lorenz attractors|journal = Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques|date = 1979-12-01|issn = 0073-8301|pages = 59–72|volume = 50|issue = 1|doi = 10.1007/BF02684769|first1 = John|last1 = Guckenheimer|first2 = R. F.|last2 = Williams|s2cid = 55218285|url = http://www.numdam.org/item/PMIHES_1979__50__59_0/}}</ref>、この証明は[[スメイルの問題]]の14番目の問題であったが、2002年に[[ウォリック・タッカー]]によって初めて解決された<ref name="Tucker 2002">{{harvtxt|Tucker|2002}}</ref>。

{{mvar|ρ}}の他の値では、系は結び目のある周期的な軌道を示す。例えば、{{math|1=''ρ''=99.96}}では{{math|''T''(3,2)}}（[[トーラス結び目]]）となる。
{|class="wikitable" width=777px
|-
! colspan=2|異なる{{mvar|ρ}}に対するローレンツ方程式の解の例
|-
|align="center"|[[Image:Lorenz Ro14 20 41 20-200px.png]]
|align="center"|[[Image:Lorenz Ro13-200px.png]]
|-
|align="center"|{{math|1=''ρ'' = 14, ''σ'' = 10, ''β'' = {{sfrac|8|3}}}} [[:Image:Lorenz Ro14 20 41 20.png|(拡大)]]
|align="center"|{{math|1=''ρ'' = 13, ''σ'' = 10, ''β'' = {{sfrac|8|3}}}} [[:Image:Lorenz Ro13.png|(拡大)]]
|-
|align="center"|[[Image:Lorenz Ro15-200px.png]]
|align="center"|[[Image:Lorenz Ro28-200px.png]]
|-
|align="center"|{{math|1=''ρ'' = 15, ''σ'' = 10, ''β'' = {{sfrac|8|3}}}} [[:Image:Lorenz Ro15.png|(拡大)]]
|align="center"|{{math|1=''ρ'' = 28, ''σ'' = 10, ''β'' = {{sfrac|8|3}}}} [[:Image:Lorenz Ro28.png|(拡大)]]
|-
|align="center" colspan=2| 小さい{{mvar|ρ}}では系は安定し、2つの固定点のうち、いずれかの点アトラクターに進展する。{{math|''ρ'' > 24.74}}では, 固定点は斥力源となり、軌道はそれらに反発して非常に複雑な形となる。
|}

{|class="wikitable" width=777px
|-
! colspan=3| 初期値に対する鋭敏性
|-
|align="center"|Time {{math|1=''t'' = 1}} [[:Image:Lorenz caos1.png|(拡大)]]
|align="center"|Time {{math|1=''t'' = 2}} [[:Image:Lorenz caos2.png|(拡大)]]
|align="center"|Time {{math|1=''t'' = 3}} [[:Image:Lorenz caos3.png|(拡大)]]
|-
|align="center"|[[Image:Lorenz caos1-175.png]]
|align="center"|[[Image:Lorenz caos2-175.png]]
|align="center"|[[Image:Lorenz caos3-175.png]]
|-
|align="center" colspan=3| {{math|1=''ρ'' = 28}}, {{math|1=''σ'' = 10}}, {{math|1=''β'' = {{sfrac|8|3}}}}の条件で生成されたこれらの画像は二つの軌跡（青と黄色）の時間発展を示している。二つの軌跡の初期値は{{mvar|x}}座標のみ10<sup>−5</sup>の差がつけられている。初め、二つの軌跡は一致しているように見える（青色の上から黄色が描かれているため黄色の軌跡だけ見える）が、時間経過と共に明らかに分岐していくのがわかる。
|}

==テント写像との関連==

[[File:Lorenz_Map.png|thumb|[[Mathematica]]によって作成されたローレンツの結果の再現。赤線より上の点は、ローブが切り替わることに相当する。|upright=1.3]]

ローレンツの論文<ref name=lorenz />の図4において、 ローレンツは、系が到達したz方向の相対最大値を、{{mvar|z}}方向のそれより以前の相対最大値に対してプロットした。この手順は後にローレンツマップとして知られるようになった（軌跡と所定の曲面の交点をプロットする[[ポアンカレプロット]]と混同しないように）。結果としてこのプロットは[[テント写像]]に非常によく似た形をしており、ローレンツは、{{mvar|z}} の最大値があるカットオフ値を超えると、系が片方のローブ（軌跡上の片方の円盤）に切り替わることを発見した。これをテント写像で知られているカオスと組み合わせることで、系が2つのローブの間をカオス的に行き来することが判明した。

==一般化されたローレンツ方程式==
ローレンツ方程式の発見後高次元のローレンツモデルに関する論文が相次ぎ、一般化されたローレンツモデルが作成された<ref name=":0">{{Cite journal |last=Shen |first=Bo-Wen |date=2019-03-01 |title=Aggregated Negative Feedback in a Generalized Lorenz Model |url=https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218127419500378 |journal=International Journal of Bifurcation and Chaos |volume=29 |issue=3 |pages=1950037–1950091 |doi=10.1142/S0218127419500378 |bibcode=2019IJBC...2950037S |s2cid=132494234 |issn=0218-1274}}</ref>。このモデルは、3つの状態変数に対する古典的なローレンツモデル、または5つの状態変数に対する以下の5次元ローレンツモデルに単純化することができる<ref name=":1">{{Cite journal |last=Shen |first=Bo-Wen |date=2014-04-28 |title=Nonlinear Feedback in a Five-Dimensional Lorenz Model |url=https://doi.org/10.1175/jas-d-13-0223.1 |journal=Journal of the Atmospheric Sciences |volume=71 |issue=5 |pages=1701–1723 |doi=10.1175/jas-d-13-0223.1 |bibcode=2014JAtS...71.1701S |s2cid=123683839 |issn=0022-4928}}</ref>。
<math display="block"> \begin{align}
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} &= \sigma (y - x), \\[6pt]
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} &= x (\rho - z) - y, \\[6pt]
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} &= x y - x y_1 - \beta z, \\[6pt]
\frac{\mathrm{d}y_1}{\mathrm{d}t} &= x z - 2 x z_1 - d_0 y_1, \\[6pt]
\frac{\mathrm{d}z_1}{\mathrm{d}t} &= 2 x y_1 - 4\beta z_1.
\end{align} </math>

他のパラメータの値によらず、''d''<sub>0</sub> = 19/3である<ref name=":0" /><ref name=":1" />。

==シミュレーション==

===MATLAB===
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Solve over time interval [0,100] with initial conditions [1,1,1]
% ''f'' is set of differential equations
% ''a'' is array containing x, y, and z variables
% ''t'' is time variable

sigma = 10;
beta = 8/3;
rho = 28;
f = @(t,a) [-sigma*a(1) + sigma*a(2); rho*a(1) - a(2) - a(1)*a(3); -beta*a(3) + a(1)*a(2)];
[t,a] = ode45(f,[0 100],[1 1 1]);     % Runge-Kutta 4th/5th order ODE solver
plot3(a(:,1),a(:,2),a(:,3))
</syntaxhighlight>

=== Mathematica===
標準的な記法：

<syntaxhighlight lang="mathematica">
tend = 50;
eq = {x'[t] == σ (y[t] - x[t]), 
      y'[t] == x[t] (ρ - z[t]) - y[t], 
      z'[t] == x[t] y[t] - β z[t]};
init = {x[0] == 10, y[0] == 10, z[0] == 10};
pars = {σ->10, ρ->28, β->8/3};
{xs, ys, zs} = 
  NDSolveValue[{eq /. pars, init}, {x, y, z}, {t, 0, tend}];
ParametricPlot3D[{xs[t], ys[t], zs[t]}, {t, 0, tend}]
</syntaxhighlight>

冗長性を抑えたバージョン：

<syntaxhighlight lang="mathematica">
lorenz = NonlinearStateSpaceModel[{{σ (y - x), x (ρ - z) - y, x y - β z}, {}}, {x, y, z}, {σ, ρ, β}];
soln[t_] = StateResponse[{lorenz, {10, 10, 10}}, {10, 28, 8/3}, {t, 0, 50}];
ParametricPlot3D[soln[t], {t, 0, 50}]
</syntaxhighlight>

==応用==
===大気の対流モデル===

原論文で言及される通り<ref name="名前なし-20231105133406">{{harvtxt|Lorenz|1963}}</ref>、ローレンツ系はバリー・サルツマンが以前に研究したより大きな系を縮小したものであり<ref>{{harvtxt|Saltzman|1962}}</ref>、ローレンツ方程式は下から一様に加熱され、上から一様に冷却される浅い流体層における流体循環を記述する方程式を[[ブシネスク近似]]から導いたものである。<ref name="名前なし-20231105133406"/> この流体循環は[[ベナール・セル|レイリー・ベナール対流]]と呼ばれる。流体は2次元（垂直と水平）に循環すると仮定し、矩形の周期的境界条件を設定する。<ref name="名前なし-20231105133406"/>

系の[[流れ関数]]と温度をモデル化したこの偏微分方程式を，スペクトル[[w:Galerkin method|ガラーキン近似]]を用いて，流体力学場をフーリエ級数で展開し，流れ関数については1次，温度については2次で切り捨てる。これにより、方程式は3つの連立した非線形常微分方程式に縮小される。詳細な導出は， {{harvtxt|Hilborn|2000}}による非線形力学の教科書、Appendix C; {{harvtxt|Bergé|Pomeau|Vidal|1984}}, Appendix D、または Shen (2016)<ref>{{Cite journal |last=Shen |first=B.-W. |date=2015-12-21 |title=Nonlinear feedback in a six-dimensional Lorenz model: impact of an additional heating term |url=https://npg.copernicus.org/articles/22/749/2015/ |journal=Nonlinear Processes in Geophysics |language=en |volume=22 |issue=6 |pages=749–764 |doi=10.5194/npg-22-749-2015 |bibcode=2015NPGeo..22..749S |issn=1607-7946}}</ref>を参照。

=== 大気中のカオスと秩序の性質を示すモデル ===
低次元ローレンツモデルに見られるカオス的な特徴が、地球大気の特徴（気象のカオス性）を表しうることが認められている<ref>{{Cite journal |last1=Ghil |first1=Michael |last2=Read |first2=Peter |last3=Smith |first3=Leonard |date=2010-07-23 |title=Geophysical flows as dynamical systems: the influence of Hide's experiments |url=https://doi.org/10.1111/j.1468-4004.2010.51428.x |journal=Astronomy & Geophysics |volume=51 |issue=4 |pages=4.28–4.35 |doi=10.1111/j.1468-4004.2010.51428.x |bibcode=2010A&G....51d..28G |issn=1366-8781}}</ref><ref>{{Cite book |last=Read |first=P. |title=Application of Chaos to Meteorology and Climate. In The Nature of Chaos; Mullin, T., Ed |publisher=Oxford Science Publications |year=1993 |isbn=0198539541 |location=Oxford, UK |pages=220–260}}</ref><ref name=":2">{{Cite journal |last1=Shen |first1=Bo-Wen |last2=Pielke |first2=Roger |last3=Zeng |first3=Xubin |last4=Cui |first4=Jialin |last5=Faghih-Naini |first5=Sara |last6=Paxson |first6=Wei |last7=Kesarkar |first7=Amit |last8=Zeng |first8=Xiping |last9=Atlas |first9=Robert |date=2022-11-12 |title=The Dual Nature of Chaos and Order in the Atmosphere |journal=Atmosphere |language=en |volume=13 |issue=11 |pages=1892 |doi=10.3390/atmos13111892 |bibcode=2022Atmos..13.1892S |issn=2073-4433|doi-access=free }}</ref>。一方で、一般化されたローレンツモデルと初期のローレンツモデルにおいてカオスと予測可能な振る舞いが共存していることから<ref name=":0" /><ref>{{Cite journal |last1=Yorke |first1=James A. |last2=Yorke |first2=Ellen D. |date=1979-09-01 |title=Metastable chaos: The transition to sustained chaotic behavior in the Lorenz model |url=https://doi.org/10.1007/BF01011469 |journal=Journal of Statistical Physics |language=en |volume=21 |issue=3 |pages=263–277 |doi=10.1007/BF01011469 |bibcode=1979JSP....21..263Y |s2cid=12172750 |issn=1572-9613}}</ref><ref>{{Citation |last1=Shen |first1=Bo-Wen |title=Is Weather Chaotic? Coexisting Chaotic and Non-chaotic Attractors Within Lorenz Models |date=2021 |url=https://link.springer.com/10.1007/978-3-030-70795-8_57 |work=13th Chaotic Modeling and Simulation International Conference |pages=805–825 |editor-last=Skiadas |editor-first=Christos H. |place=Cham |publisher=Springer International Publishing |language=en |doi=10.1007/978-3-030-70795-8_57 |isbn=978-3-030-70794-1 |access-date=2022-12-22 |last2=Pielke |first2=R. A. |last3=Zeng |first3=X. |last4=Baik |first4=J.-J. |last5=Faghih-Naini |first5=S. |last6=Cui |first6=J. |last7=Atlas |first7=R. |last8=Reyes |first8=T. A. L. |s2cid=245197840 |editor2-last=Dimotikalis |editor2-first=Yiannis}}</ref>、Shenとその共著者<ref name=":2" /><ref>{{Cite journal |last1=Shen |first1=Bo-Wen |last2=Pielke |first2=Roger A. |last3=Zeng |first3=Xubin |last4=Baik |first4=Jong-Jin |last5=Faghih-Naini |first5=Sara |last6=Cui |first6=Jialin |last7=Atlas |first7=Robert |date=2021-01-01 |title=Is Weather Chaotic?: Coexistence of Chaos and Order within a Generalized Lorenz Model |url=https://journals.ametsoc.org/view/journals/bams/102/1/BAMS-D-19-0165.1.xml |journal=Bulletin of the American Meteorological Society |language=EN |volume=102 |issue=1 |pages=E148–E158 |doi=10.1175/BAMS-D-19-0165.1 |bibcode=2021BAMS..102E.148S |s2cid=208369617 |issn=0003-0007}}</ref>は「気象はカオスと、明確な予測可能性を持つ秩序の両方を持っている」という改訂見解を提案した。従来の見解を発展させたこの見解は、「理論的なローレンツモデルに見られるカオスと規則的な特徴は、地球の大気の特徴をよりよく表しうる」と示唆するために用いられている。

===スメイルの14番目の問題===

スメイルの14番目の問題は「ローレンツアトラクターは[[ストレンジアトラクター]]の性質を持つか？」というものであった。この問題は2002年にウォリック・タッカーによって肯定的に解決された<ref name="Tucker 2002"/>。証明には [[区間演算]]、[[w:Normal form (dynamical systems)|正準系]]などの厳密な数値計算が用いられた。初めにタッカーは流れの軌跡によって横方向に切断したものである断面積<math>\Sigma\subset \{x_3 = r - 1 \}</math>を定義した。ここから、各<math>x\in\Sigma</math>に対して<math>x</math> の軌跡が初めて<math>\Sigma</math>に交わる点<math>P(x)</math>とするfirst-return写像 <math>P</math>を定義できる。

続く証明は3つのポイントに分かれてなされ、ストレンジアトラクターの存在を示唆する<ref name="Viana 2000">{{harvtxt|Viana|2000}}</ref>。
*  the first-return写像で不変、すなわち<math>P(N)\subset N</math>なる区域<math>N\subset\Sigma</math>が存在する。
* The return写像はforward invariant cone fieldを認める
* この不変円錐場内のベクトルは、return写像の微分<math>DP</math>によって一様に拡大される。

第一段階では断面積<math>\Sigma</math>が<math>P(\Sigma)</math>によって二つの弧に分割される事実を用いる<ref name="Viana 2000"/>。タッカーはこの二つの弧を小さな長方形<math>R_i</math>で覆い、これらの長方形の集合が<math>N</math>を与えることを考えた。このことを証明するためには、<math>N</math>の全ての点が<math>N</math>の中の<math>\Sigma</math>に戻ってくるのをみれば良い。そのために、<math>\Sigma</math>の下方に<math>h</math>という小さな距離で<math>\Sigma'</math>を想定し、<math>R_i</math>の中心<math>c_i</math>とオイラーの積分法を用いて、点<math>c_i</math>からの流れが<math>\Sigma'</math>内に与える新たな点<math>c_i'</math>を計算できる。そうしてテイラー展開によって<math>\Sigma</math>内の点が<math>\Sigma'</math>内のどこに写されるかを知ることができる。これによって中心が<math>c_i</math>で与えられる新たな長方形<math>R_i'</math>が得られる。したがって<math>R_i</math>内のすべての点は<math>R_i'</math>の中に写される。あとは軌跡の流れが<math>\Sigma</math>内に戻ってくるまでこの方法を再帰的に実行し、<math>P(R_i)\subset Rf_i</math>となる<math>\Sigma</math>に入る長方形<math>Rf_i</math>を得れば良いのであるが、問題はこの工程を何度か繰り返すうちに推定が不正確になることである。そこでタッカーは<math>R_i'</math>をより小さい長方形<math>R_{i,j}</math>に分割し、処理を再帰的に適応した。もう一つの問題は、このアルゴリズムを適用しているうちに、流れがより「水平」になってしまい<ref name="Viana 2000"/>、不正確さが飛躍的に増大することで、これを防ぐためにはアルゴリズムでは断面の向きを変え、水平または垂直になるようにする必要があった。

==ギャラリー==
<gallery>
File:Lorenz system r28 s10 b2-6666.png|A solution in the {{mvar|xz}}平面で描写された高解像度のローレンツアトラクター
File:Lorenz attractor.svg|[[Scalable Vector Graphics|SVG]]でレンダリングされたローレンツアトラクター
File:A Lorenz system.ogv|ローレンツ方程式での複数の軌跡のアニメーション
File:Lorenzstill-rubel.png|金属製ワイヤーで製作されたローレンツアトラクターの3Dモデル
File:Lorenz.ogv|ローレンツ系の近傍解の発散を示すアニメーション
File:Intermittent Lorenz Attractor - Chaoscope.jpg|断続的なサイクルにあるローレンツアトラクターを可視化したもの
File:Lorenz apparition small.gif|ローレンツ系における2つの流線（{{math|1=''ρ'' = 0}} から {{math|1=''ρ'' = 28}}, {{math|1=''σ'' = 10}}, {{math|1=''β'' = {{sfrac|8|3}}}}）
File:Lorenz(rho).gif|ローレンツ系の{{math|1=''ρ''}}依存性のアニメーション
File:Lorenz Attractor Brain Dynamics Toolbox.gif|Brain Dynamics Toolboxのローレンツアトラクターのアニメーション<ref>Heitmann, S., Breakspear, M (2017-2022) Brain Dynamics Toolbox. [https://bdtoolbox.org bdtoolbox.org] [https://doi.org/10.5281/zenodo.5625923 doi.org/10.5281/zenodo.5625923]</ref>
</gallery>

== 関連項目 ==
* [[バタフライ効果]]
* [[カオス理論]]
* [[ロジスティック方程式]]
* [[レスラー方程式]]
* [[常微分方程式]]
* [[w:Eden's conjecture|Eden's conjecture]] on the Lyapunov dimension
* [[w:Lorenz 96 model|Lorenz 96 model]]
* [[w:List of chaotic maps|List of chaotic maps]]
* [[w:Takens' theorem|Takens' theorem]]

== 脚注 ==
{{Reflist|30em}}

== 参考文献 ==
* {{cite book | last1=Bergé | first1=Pierre | last2=Pomeau | first2=Yves | last3=Vidal | first3=Christian | title=Order within Chaos: Towards a Deterministic Approach to Turbulence | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-84967-4 | year=1984}}
* {{cite journal | last1=Cuomo | first1=Kevin M. | last2=Oppenheim | first2=Alan V. | author2-link=Alan V. Oppenheim | title=Circuit implementation of synchronized chaos with applications to communications | doi=10.1103/PhysRevLett.71.65 | year=1993 | journal=[[Physical Review Letters]] | issn=0031-9007 | volume=71 | issue=1 | pages=65–68|bibcode = 1993PhRvL..71...65C | pmid=10054374}}
* {{cite journal | last1=Gorman | first1=M. | last2=Widmann | first2=P.J. | last3=Robbins | first3=K.A. | title=Nonlinear dynamics of a convection loop: A quantitative comparison of experiment with theory | doi=10.1016/0167-2789(86)90022-9 | year=1986 | journal=Physica D | volume=19 | issue=2 | pages=255–267|bibcode = 1986PhyD...19..255G }}
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* {{cite arXiv |last=Tzenov |first=Stephan |eprint=1406.0979v1 |title=Strange Attractors Characterizing the Osmotic Instability |class=physics.flu-dyn |year=2014 }}
* {{cite journal |last1=Viana |first1=Marcelo |title=What's new on Lorenz strange attractors? |journal=The Mathematical Intelligencer |date=2000 |volume=22 |issue=3 |pages=6–19|doi=10.1007/BF03025276 |s2cid=121427433 }}
* {{cite journal|last1=Lorenz|first1=Edward N.|author1-link=Edward N. Lorenz|title=The statistical prediction of solutions of dynamic equations.|journal=Symposium on Numerical Weather Prediction in Tokyo|year=1960|url=http://eaps4.mit.edu/research/Lorenz/The_Statistical_Prediction_of_Solutions_1962.pdf}}

== 詳細 ==
* {{cite journal
 |author1=G.A. Leonov |author2=N.V. Kuznetsov
 |name-list-style=amp | year = 2015
 | title = On differences and similarities in the analysis of Lorenz, Chen, and Lu systems
 | journal = Applied Mathematics and Computation
 | volume = 256
 | pages = 334&ndash;343
 | url = http://www.ee.cityu.edu.hk/~gchen/pdf/LN2015.pdf
 | doi = 10.1016/j.amc.2014.12.132
 | doi-access = free
 }}
* {{cite journal 
| last1=Pchelintsev | first1=A.N.
| title=On a high-precision method for studying attractors of dynamical systems and systems of explosive type
| journal=Mathematics
| year = 2022 | volume = 10 | issue = 8 | pages = 1207
| doi = 10.3390/math10081207 | arxiv=2206.08195 | url=https://www.mdpi.com/2227-7390/10/8/1207/pdf 
| doi-access=free
}}

== 外部リンク ==
{{Commons category|Lorenz attractors}}
* {{springer|title=Lorenz attractor|id=p/l060890}}
* {{MathWorld|urlname=LorenzAttractor|title=Lorenz attractor}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/LorenzAttractor/ Lorenz attractor] by Rob Morris, [[Wolfram Demonstrations Project]].
* [http://planetmath.org/encyclopedia/LorenzEquation.html Lorenz equation] on planetmath.org
* [https://www.youtube.com/watch?v=J-ca_bqWp4I Synchronized Chaos and Private Communications, with Kevin Cuomo]. The implementation of Lorenz attractor in an electronic circuit.
* [http://toxi.co.uk/lorenz/ Lorenz attractor interactive animation] (you need the Adobe Shockwave plugin)
* [http://amath.colorado.edu/faculty/juanga/3DAttractors.html 3D Attractors: Mac program to visualize and explore the Lorenz attractor in 3 dimensions]
* [https://archive.today/20121211081109/http://frank.harvard.edu/~paulh/misc/lorenz.htm Lorenz Attractor implemented in analog electronic]
* [http://sourceforge.net/projects/lorenz/ Lorenz Attractor interactive animation] (implemented in Ada with GTK+. Sources & executable)
* [https://highfellow.github.com/lorenz-attractor/attractor.html Web based Lorenz Attractor] (implemented in JavaScript/HTML/CSS)
* [https://alpha.iodide.io/notebooks/34/?viewMode=report Interactive web based Lorenz Attractor] made with Iodide
* [http://www.mizuno.org/c/la/index.ja.shtml ローレンツアトラクタを描画する、あるいはそれに類似することをするときのために] （[http://www.mizuno.org/c/la/index.shtml 英語版]）
{{Authority control}}

{{Normdaten}}
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