ワイエルシュトラス関数のソースを表示

{{otheruses||ワイエルシュトラスのペー関数|ヴァイエルシュトラスの楕円函数}}
{{脚注の不足|date=2012年12月}}
[[Image:WeierstrassFunction.svg|300px|right|thumb|ワイエルシュトラス関数(区間 [&minus;2,&nbsp;2])。 この関数は[[フラクタル]]挙動を示す: スケールを変えると似た構造が現れる(赤色の円)自己相似性をもつ。]]
'''ワイエルシュトラス関数'''（ワイエルシュトラスかんすう、{{lang-en-short|Weierstrass function}}）は、1872年に[[カール・ワイエルシュトラス]]により提示された実数関数で、[[連続 (数学)|連続関数]]であるにもかかわらず至るところ[[微分]]不可能な関数である。{{仮リンク|病的な (数学)#病的な関数|label=病的な関数|en|Pathological (mathematics)|preserve=1}}の例として取り上げられることがある。

「[[孤立点]]を除くと連続関数は微分可能である」という認識を変えた出版された初めての例として、ワイエルシュトラス関数は歴史的に重要である。

== ワイエルシュトラス関数 ==
=== 定義 ===
ワイエルシュトラスのオリジナル論文において、この関数は次のように定義される。
:<math>w(x)= \sum_{n=0} ^\infty a^n \cos(b^n \pi x).</math>
ここで、0 &lt; ''a'' &lt; 1, ''b'' は正の奇数整数。また、
:<math>ab > 1+\frac{3}{2} \pi.</math>
この定義は、微分不可能であることの証明とともに、1872年7月18日に[[プロイセン科学アカデミー]] (Königliche Akademie der Wissenschaften) へ提出された。

=== ハウスドルフ次元 ===
[[ハウスドルフ次元]]は次のとおりとなる<ref>{{Cite journal |author=Hunt, Brian |date=1998-03
 |url=https://doi.org/10.1090/S0002-9939-98-04387-1 |title=The Hausdorff dimension of graphs of Weierstrass functions |journal=Proceedings of the American mathematical society |volume=126 |issue=3 |pages=791-800 |doi=10.1090/S0002-9939-98-04387-1}}</ref>。
:<math>D_{H} = 2 + \frac{\log{a}}{\log{b}}</math>

=== スケール不変性 ===
ワイエルシュトラス関数では和を''n'' &ge; 0 についてのみとるため厳密にはスケール不変とはならない。
:<math>\begin{align}
w(bx) &= b^{-1} \sum_{n=0} ^\infty b^{n+1} \cos{(b^{n+1} \pi x)} \\
      &= b^{-1} \sum_{n=-1} ^\infty b^{n+1} \cos{(b^{n+1} \pi x)} - b^{-1} b^{0} \cos(b^{0} \pi x) \\
      &= b^{-1} \left[ w(x) - \cos \pi x \right] \\
      &\neq b^{-1} w(x)
\end{align}</math>

したがって、厳密な意味での自己相似性をもたない。

=== リプシッツ連続性 ===
ワイエルシュトラス関数の[[リプシッツ定数]]は無限大である。

== ワイエルシュトラス・マンデルブロ関数 ==
[[ブノワ・マンデルブロ]]は、ワイエルシュトラス関数を一般化した次のワイエルシュトラス・マンデルブロ関数
(英:Weierstrass-Mandelbrot function)を提示<ref>[http://www.jstor.org/pss/2397195 On the Weierstrass-Mandelbrot Fractal Function], Berry, M. V.; Lewis, Z. V., Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, Volume 370, Issue 1743, pp. 459-484</ref>した。

=== 定義 ===
:<math>W(t)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(1-e^{i \gamma^n t})e^{i\phi_n}}{\gamma^{(2-D)n}}</math>,
ここで、 1 &lt; ''D'' &lt; 2, ''γ'' &gt; 1 である。

これは、''φ'' = 0として実部をとるとワイエルシュトラス関数となる。
:<math>
\operatorname{Re} W(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1-\cos(\gamma^{n} t)}{\gamma^{(2-D) n}}
</math>

=== フラクタル次元 ===
ハウスドルフ次元は ''D'' と考えられているが厳密な証明はなされていない。

=== スケール不特定の条件下でのみスケール不変となる。 ===
:
ただし、''φ<sub>n</sub>'' = ''μn''、不変となるものを[[離散的スケール不変性]](DSI, Discrete Scale Invariance)という。
=== 統計的性質 ===
* アンサンブル平均はゼロ <math> \langle W(t + \tau) - W(t)\rangle_e = 0 </math>
* 分散は''γ''についてのみスケール不変となる。
:<math>\begin{align}
V(\tau) &= \langle W(t + \tau) - W(t)\rangle_e = 2 \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1 - \cos(\gamma^{n}\tau)}{\gamma^{(4-2D)n}}, \\
V(\gamma \tau) &= \gamma^{4-2D} V(\tau)
\end{align}</math>

=== パワースペクトル ===
パワースペクトルはおおよそ次の近似式で表すことができる。
:<math>S(\omega) \approx \frac{1}{\omega^{5-2D}\log{\gamma}}</math>

すなわち、''D'' → 2 のとき[[1/fゆらぎ]]に近づく。

== ワイエルシュトラス・マンデルブロ関数の一般化 ==
ワイエルシュトラス・マンデルブロ関数(WMF)は、次のようにさらに一般化することができる<ref>
[https://books.google.co.jp/books?id=DpEuKy8IsWwC&lpg=PP1&dq=C.+Tricot,+Courbes+et+Dimension+Fractale&pg=PA186&redir_esc=y&hl=ja#v=onepage&q=mandelbrot&f=false Courbes et Dimension Fractale], C. Tricot, Springer,1993
</ref>。
:<math>W_{g}(t)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \lambda^{-nH} (g(0) - g(\lambda^{n} t)) e^{i\phi_n}</math>,
ここで、''H'' &lt; 1、''g'' (''t'') は ''t'' = 0 で微分可能な周期関数。

== 脚注 ==
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
(英語)
* B.R. Gelbaum and J.M.H. Olmstead, Counterexamples in Analysis, Holden Day Publisher (June 1964).
* Karl Weierstrass, Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen, Collected works; English translation: On continuous functions of a real argument that do not have a well-defined differential quotient, in: G.A. Edgar, Classics on Fractals, Addison-Wesley Publishing Company, 1993, 3-9.
* G.H. Hardy, Weierstrass's nondifferentiable function, Trans. Amer. Math. Soc., 17(1916), 301-325.
* K. Falconer, The Geometry of Fractal Sets, Oxford (1984).
(日本語)
* {{cite journal|和書|author=小柴洋一 |date=2001-04 |url=https://hdl.handle.net/2433/64842 |title=Weierstrass論文「至る所微分不可能である連続関数の例」について (数学史の研究) |journal=数理解析研究所講究録 |ISSN=1880-2818 |publisher=京都大学数理解析研究所 |volume=1195 |pages=62-66 |hdl=2433/64842 |CRID=1050001202174672768}}

== 関連項目 ==
{{Div col}}
*[[カントール関数]]
*[[コッホ曲線]]
*[[リーマン関数]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Weierstrass function|urlname=WeierstrassFunction}}

{{病的な関数の一覧}}

{{DEFAULTSORT:わいえるしゆとらすかんすう}}
[[Category:フラクタル]]
[[Category:フラクタル曲線]]
[[Category:カール・ワイエルシュトラス]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]