ワイトマンの公理系のソースを表示

{{要改訳}}
[[物理学]]において、'''ワイトマンの公理系'''(Wightman axioms)（'''ガーディング・ワイトマンの公理系'''(Gårding–Wightman axioms)ともいう<ref>{{cite web |url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hilbert_problems |title=Hilbert's sixth problem.|last1= |first1= |last2= |first2= |date= |website= Encyclopedia of Mathematics |publisher= |accessdate= 14 July 2014}})</ref><ref>{{cite web| url=http://www.sydsvenskan.se/familj/minnesord/lars-garding/ |title=Lars Gårding - Sydsvenskan |publisher=Sydsvenskan.se |date= |accessdate= 14 July 2014}}</ref>）とは[[場の量子論]]を数学的に厳密に定式化する試みの一つである。[[アーサー・ワイトマン]](Arthur Wightman)は、1950年代初期には既にこの公理系を定式化していたが、実際に出版されたのは{{仮リンク|ハーグ・ルエル散乱理論|en|Haag-Ruelle scattering theory}}がその重要性を認めた後、1964年のことである。

ワイトマンの公理系は[[構成的場の理論]]の文脈で議論され、場の理論の厳密な扱いの基礎と、摂動的な手法の厳密な基礎を提供することを意図している。[[ミレニアム問題]]のひとつ（[[ヤン-ミルズ方程式と質量ギャップ問題]]）には、ヤン-ミルズ理論においてワイトマン公理系を確立することが含まれている。
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In [[physics]] the '''Wightman axioms''' (also called  '''Gårding–Wightman axioms'''<ref>{{cite web |url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hilbert_problems |title=Hilbert's sixth problem.|last1= |first1= |last2= |first2= |date= |website= Encyclopedia of Mathematics |publisher= |accessdate= 14 July 2014}})</ref><ref>{{cite web| url=http://www.sydsvenskan.se/familj/minnesord/lars-garding/ |title=Lars Gårding - Sydsvenskan |publisher=Sydsvenskan.se |date= |accessdate= 14 July 2014}}</ref>) are an attempt at a mathematically rigorous formulation of [[quantum field theory]]. [[Arthur Wightman]] formulated the axioms in the early 1950s but they were first published only in 1964, after [[Haag-Ruelle scattering theory]] affirmed their significance.

The axioms exist in the context of [[constructive quantum field theory]], and they are meant to provide a basis for rigorous treatment of quantum fields, and strict foundation for the perturbative methods used. One of the [[Millennium Prize Problems|Millennium Problems]] is to realize the [[Yang-Mills existence and mass gap|Wightman axioms in the case of Yang-Mills fields]].-->

==理論的根拠==
ワイトマンの公理系の出発点となるアイデアの一つは、[[ポアンカレ群]]の[[ユニタリ表現]]をなす[[ヒルベルト空間]]の存在である。これにより、（ローレンツ・ブーストと対応して）エネルギー、運動量、角運動量、重心の概念が確立される。

また、{{仮リンク|4次元運動量|en|four-momentum}}のスペクトルを正エネルギー側の[[光円錐]]（とその境界）に限定するという安定性条件がある。しかし、これは{{仮リンク|局所性原理|en|Principle of locality}}を満たすには不十分である。このためワイトマンの公理は、共変な{{仮リンク|ポアンカレ群の表現|en|representations of the Poincaré group}}をなす'''量子場'''と呼ばれる位置依存作用素を導入する。

場の量子論は紫外発散の問題があるので、時空のある点における場の値は[[well-defined|うまく定義できない]]。これを回避するためにワイトマンの公理では、[[シュワルツ超函数#テスト函数と超函数|テスト函数]]の上に「なすりつける」(smearing over a test function)ことで<ref group="訳注">[[ディラックのデルタ関数]]のように、ある点で無限大になる関数もある領域に渡って積分すると特異性が緩和され有限になる場合がある。このように、発散量を直接扱う代わりに、その積分を考えること。</ref>、[[自由場]]でさえ発生する紫外発散の問題を取り扱う考え方を導入した。公理系は[[非有界作用素]]を扱うので、作用素の定義域を指定する必要がある。
<!---
One basic idea of the Wightman axioms is that there is a [[Hilbert space]] upon which the [[Poincaré group]] acts [[unitary representation|unitarily]]. In this way, the concepts of energy, momentum, angular momentum and center of mass (corresponding to boosts) are implemented.

There is also a stability assumption which restricts the spectrum of the [[four-momentum]] to the positive [[light cone]] (and its boundary). However, this isn't enough to implement [[Principle of locality|locality]]. For that, the Wightman axioms have position dependent operators called '''''quantum fields''''' which form covariant [[representations of the Poincaré group]].

Since quantum field theory suffers from ultraviolet problems, the value of a field at a point is not well-defined. To get around this, the Wightman axioms introduce the idea of smearing over a [[test function]] to tame the UV divergences which arise even in a [[free field theory]]. Because the axioms are dealing with [[unbounded operator]]s, the domains of the operators have to be specified.
.-->

ワイトマン公理系は、空間的(spacelike)に分離された場の間に可換性または反可換性を課すことにより、理論の因果構造を制限する。

また公理系は、[[真空状態|真空]]と呼ばれる[[ポアンカレ不変]]な状態が存在すること、それが一意的であることを要求する。さらに、公理系は真空が「サイクリック」であることを仮定する。言い換えると、「なすりつけた(smeared)」場の演算子が生成する多項式環の元を真空に作用させると一般には真空とは異なる状態ベクトルが得られるが、このようにして得られるベクトルを全て集めた集合が全ヒルベルト空間の稠密な部分集合をなすと仮定する。

最後に、素朴な因果律の制限が課される。すなわち、「なすりつけた」場の任意の多項式は、台(support)の[[因果的閉包]]が[[ミンコフスキー空間]]全体となるようなテスト関数になすりつけた場の多項式によって、（[[弱位相]]の意味で）任意の精度で近似できると仮定する。
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The Wightman axioms restrict the causal structure of the theory by imposing either commutativity or anticommutativity between spacelike separated fields. 

They also postulate the existence of a Poincaré-invariant state called the [[vacuum state|vacuum]] and demand it is unique. Moreover, the axioms assume that the vacuum is "cyclic", i.e., that the set of all vectors which can be obtained by evaluating at the vacuum state elements of the polynomial algebra generated by the smeared field operators is a dense subset of the whole Hilbert space. 

Lastly, there is the primitive causality restriction which states that any polynomial in the smeared fields can be arbitrarily accurately approximated (i.e. is the limit of operators in the [[weak topology]]) by polynomials over fields smeared over test functions with support in 
any open subspace of [[Minkowski space]] whose [[causal closure]] is the whole Minkowski space itself.

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==公理系==
<!---==Axioms==-->
===W0 （相対論的量子力学の前提）===
[[量子力学]]は、[[ジョン・フォン・ノイマン|フォン・ノイマン]]に従い記述される。特に、[[量子状態#純粋状態|純粋状態]]は、光線により与えられる、つまり、ある[[可分空間|可分]]な複素[[ヒルベルト空間]]の1-次元の部分空間である。次には、ヒルベルト空間のベクトル Ψ と Φ の[[ドット積|スカラー積]]は、<math>\langle\Psi,\Phi\rangle</math> と書き、Ψ のノルムは <math>\lVert\Psi\rVert</math> で表す。純粋状態 [Ψ] と [Φ] の間の遷移確率は、非ゼロなベクトル表現 Ψ と Φ により定義できるので、次の式が成り立つ。
:<math>P([\Psi],[\Phi]) = \frac{|\langle \Psi,\Phi\rangle|^2}{\lVert\Psi\rVert^2 \lVert\Phi\rVert^2}</math>
遷移確率は、どのような表現ベクトル Ψ と Φ を選ぶかとは独立である。
<!---===W0 (assumptions of relativistic quantum mechanics)===
[[Quantum mechanics]] is described according to [[von Neumann]]; in particular, the [[pure state]]s are given by the rays, i.e. the one-dimensional subspaces, of some [[separable space|separable]] complex [[Hilbert space]]. In the following, the [[scalar product]] of Hilbert space vectors Ψ and Φ will be denoted by <math>\langle\Psi,\Phi\rangle</math>, and the norm of Ψ will be denoted by <math>\lVert\Psi\rVert</math>. The transition probability between two pure states [Ψ] and [Φ] can be defined in terms of non-zero vector representatives Ψ and Φ to be
:<math>P([\Psi],[\Phi]) = \frac{|\langle \Psi,\Phi\rangle|^2}{\lVert\Psi\rVert^2 \lVert\Phi\rVert^2}</math>
and is independent of which representative vectors, Ψ and Φ, are chosen.-->

対称性の理論は、ウィグナーに従い記述される。このことは、1939年の有名な[[ユージン・ウィグナー]](Eugene Paul Wigner)による論文によって、相対論的な粒子の記述に成功したということが素晴らしい点である。[[ウィグナーの分類]](Wigner's classification)を参照のこと。ウィグナーは、状態間の遷移確率が[[特殊相対論]]の変換により関連付けられたすべての観測者に同じであることを仮定した。さらに一般的に彼は、任意の 2つの光線の間の遷移確率の不変性のことばで、群 G の下で不変な理論を表現するステートメントを考えた。ステートメントは、群作用が光線の集合、つまり射影空間に作用していることを前提としている。(a,L) を[[ポアンカレ群]]（非等質なローレンツ群）の元としよう。すると、a は実ローレンツ[[4元ベクトル]](four-vector)で時空の原点の変換 x ↦ x − a を表している。ここに x はミンコフスキー空間 M<sup>4</sup> の点であり、L は[[ローレンツ変換]]であり、すべてのベクトル (ct,x) のローレンツ距離 c²t² − x⋅x を保存する4-次元時空の線型変換として定義することができる。すると、すべてのヒルベルト空間の中の光線 Ψ とすべての群の元 (a,L) に対し、光線の変換が Ψ(a,L) で与えられ、遷移確率が次の変換の下で不変であれば、理論はポアンカレ群の下に不変である。

:<math>\left\langle \Psi(a,L),\Phi(a,L) \right\rangle = \left\langle\Psi,\Phi\right\rangle</math>

ウィグナーの第一定理は、これらの条件の下、ヒルベルト空間の変換は、線型かまたは半線型作用素となる（もし、ヒルベルト空間の変換が[[ユニタリ作用素|ユニタリ]]かもしくは反ユニタリな作用素というよりもノルムを保存するならば）。光線の射影空間の上の対称作用素は、基礎となっているヒルベルト空間へ「持ちあげる」(lift)することができる。これは各々の群の元 (a, L) ができるので、ヒルベルト空間上のユニタリもしくは反ユニタリ作用素 U(a, L) の族を得て、(a,L) により変換された光線 Ψ は、U(a, L) ψ を意味する光線と同じである。単位元と連結な群の元だけに注目すると、反ユニタリな場合は起きない。
<!---The theory of symmetry is described according to Wigner. This is to take advantage of the successful description of relativistic particles by [[Eugene Paul Wigner]] in his famous paper of 1939. See [[Wigner's classification]]. Wigner postulated that for the transition probability between states to be the same to all observers related by a transformation of [[special relativity]]. More generally, he considered the statement that a theory be invariant under a group ''G'' to be expressed in terms of the invariance of the transition probability between any two rays. The statement postulates that the group acts on the set of rays, that is, on projective space. Let (''a'',''L'') be an element of the [[Poincaré group]] (the inhomogeneous Lorentz group). Thus, ''a '' is a real Lorentz [[four-vector]] representing the change of space-time origin ''x'' ↦ ''x'' − ''a''  where ''x'' is in the Minkowski space ''M''<sup>4</sup> and ''L'' is a [[Lorentz transformation]], which can be defined as a linear transformation of four-dimensional space-time which preserves the Lorentz distance c²t² − ''x''⋅''x'' of every vector (''ct'',''x''). Then the theory is invariant under the Poincaré group if for every ray Ψ of the Hilbert space and every group element (''a'',''L'') is given a transformed ray Ψ(''a'',''L'') and the transition probability is unchanged by the transformation:

:<math>\left\langle \Psi(a,L),\Phi(a,L) \right\rangle = \left\langle\Psi,\Phi\right\rangle</math>

The first theorem of Wigner says that under these conditions, the transformation on the Hilbert space are either linear or anti-linear operators (if moreover they preserve the norm than [[unitary operator|unitary]] or antiunitary operators); the symmetry operator on the projective space of rays can be ''lifted'' to the underlying Hilbert space. This being done for each group element (''a'', ''L''), we get a family of unitary or antiunitary operators ''U''(''a'', ''L'') on our Hilbert space, such that the ray Ψ transformed by (''a'', ''L'') is the same as the ray containing ''U''(''a'', ''L'') ψ. If we restrict attention to elements of the group connected to the identity, then the anti-unitary case does not occur.-->

(a, L) と (b, M) を 2つのポアンカレ変換として、(a, L).(b,M) で群の積を表すとすると、物理的解釈から、U(a, L)[U(b, M)]ψ を含む光線は（任意のΨに対し）、U((a, L). (b, M))ψ を含む光線であるはずであることが分かる（群作用の結合性）。光線からヒルベルト空間へ戻ると、これらの2つのベクトルはフェーズが異なっているかもしれず（また、ユニタリ作用素を選ぶのでノルムの中にないかもしれない）、2つの群の元 (a, L) と (b, M) である、つまり、群の表現ではなくて、{{仮リンク|射影表現|en|projective representation}}である。これらのフェーズは各々の U(a) を再定義することにより、例えばスピンが 1/2 の粒子に対し、いつもキャンセルできるとは限らない。ウィグナーは（ポアンカレ群に対し？）得ることのできる最良のものは、
:<math>U(a,L)U(b,M)= \pm U((a,L).(b,M))</math> 

である、つまり、フェーズは <math>\pi </math> の倍数である。整数スピンの粒子（パイオン、光子、重力子など）に対し、さらなるフェーズ変換により +/− 符号を取り去ることができるが、半整数のスピンの表現に対しては、そのようなことはできないので、2π の角度で軸の周りを回るように、符号は不連続に変換する。しかし、{{仮リンク|ポアンカレ群の表現|label=ポアンカレ群の被覆の表現|en|representation of the Poincaré group}}を構成することができ、'''不均一な'''(inhomogeneous) SL(2,'''C''') と呼ばれている。これは元 (a, A) を持っていて、前にみたように、a は4元ベクトルであるが、今度は A が単位行列式を持つ複素 2 × 2 行列である。ここで得た[[ユニタリ作用素]]を U(a, A) と表し、これらが連続でユニタリで正しい表現を与え、そこでは U(a,A) の集まりが不均一な SL(2,'''C''') の群法則に従う。
<!---Let (''a'', ''L'') and (''b'', ''M'') be two Poincaré transformations, and let us denote their group product by (''a'', ''L'').(''b'',''M''); from the physical interpretation we see that the ray containing ''U''(''a'', ''L'')[''U''(''b'', ''M'')]ψ must (for any psi) be the ray containing ''U''((''a'', ''L''). (''b'', ''M''))ψ (associativity of the group operation). Going back from the rays to the Hilbert space, these two vectors may differ by a phase (and not in norm because we choose unitary operators), which can depend on the two group elements (''a'', ''L'') and (''b'', ''M''), i.e. we don't have a representation of a group but rather a [[projective representation]]. These phase can't always be cancelled by redefining each U(a), example for particles of spin ½. Wigner showed that the best one can get (for Poincare group?) is 
:<math>U(a,L)U(b,M)= \pm U((a,L).(b,M))</math> 

i.e. the phase is a multiple of <math>\pi </math>. For particles of integer spin (pions, photons, gravitons...) one can remove the +/− sign by further phase changes, but for representations of half-odd-spin, we cannot, and the sign changes discontinuously as we go round any axis by an angle of 2π. We can, however, construct a [[representation of the Poincaré group|representation of the covering group of the Poincare group]], called the ''inhomogeneous SL(2,'''C''')''; this has elements (''a'', ''A'') where as before, a is a four-vector, but now A is a complex 2 × 2 matrix with unit determinant. We denote the [[unitary operator]]s we get by ''U''(''a'', ''A''), and these give us a continuous, unitary and true representation in that the collection of ''U''(''a'',''A'') obey the group law of the inhomogeneous SL(2,'''C''').-->

2π による回転の下で符号が変わるので、スピンが 1/2, 3/2 などのように変換する[[エルミート作用素]]は[[観測可能量]]ではありえない。このことは'''一価性[[超選択則]]'''（[[:en:superselection]]を参照）を示していて、スピン 0, 1, 2 ...の状態と、スピン 1/2, 3/2 ...との間のフェーズは、観測可能ではない。この規則は、状態ベクトルのすべてのフェーズの非観測可能性に追加される。観測可能量と状態 |v) に関連して、整数スピン部分空間である[[ポアンカレ群]]の表現 U(a, L) と奇数の半分である部分空間上の不均一な SL(2,'''C''') の表現 U(a, A) があり、次の解釈がに従い作用している。

U(a, L)|v) に対応する[[統計的アンサンブル|アンサンブル]]は、座標 x に関して |v) に対応するサンサンブルが、奇数の部分空間と解釈できることとちょうど同じ方法で解釈される。

時空の変換の群は[[可換]]で、従って、作用素は同時に対角化される。これらの群の生成子は、4つの[[自己共役作用素]] <math>P_0,P_j</math>, j = 1, 2, 3, を与え、これらの作用素は等質な群の下で、エネルギー運動量 4-ベクトルと呼ばれる 4ベクトルとして変換する。

ワイトマンの公理のゼロ番目の第二の部分は、表現 U(a, A) がスペクトル条件である、エネルギー運動量の同時スペクトルは、次の前方円錐の中に含まれているという条件を満たす。前方円錐という条件は、

:<math>P_0\geq 0</math>............... <math>P_0^2 - P_jP_j\geq 0.</math>

ということで、第三の公理は、状態の一意性で、ヒルベルト空間の中の光線により表現されることで、この公理はポアンカレ群の作用の下に不変である。これを真空と呼ぶ。
<!---Because of the sign-change under rotations by 2π, [[Hermitian operator]]s transforming as spin 1/2, 3/2 etc., cannot be [[observable]]s. This shows up as the ''univalence [[superselection]] rule'': phases between states of spin 0, 1, 2 etc. and those of spin 1/2, 3/2 etc., are not observable. This rule is in addition to the non-observability of the overall phase of a state vector.
Concerning the observables, and states |''v''), we get a representation ''U''(''a'', ''L'') of [[Poincaré group]], on integer spin subspaces, and ''U''(''a'', ''A'') of the inhomogeneous SL(2,'''C''') on half-odd-integer subspaces, which acts according to the following interpretation:

An [[statistical ensemble|ensemble]] corresponding to ''U''(''a'', ''L'')|''v'') is to be interpreted with respect to the coordinates <math>x^\prime=L^{-1}(x-a)</math> in exactly the same way as an ensemble corresponding to |''v'') is interpreted with respect to the coordinates ''x''; and similarly for the odd subspaces.

The group of space-time translations is [[commutative]], and so the operators can be simultaneously diagonalised. The generators of these groups give us four [[self-adjoint operator]]s, <math>P_0,P_j</math>, ''j'' = 1, 2, 3, which transform under the homogeneous group as a four-vector, called the energy-momentum four-vector.

The second part of the zeroth axiom of Wightman is that the representation ''U''(''a'', ''A'') fulfills the spectral condition - that the simultaneous spectrum of energy-momentum is contained in the forward cone:

:<math>P_0\geq 0</math>............... <math>P_0^2 - P_jP_j\geq 0.</math>

The third part of the axiom is that there is a unique state, represented by a ray in the Hilbert space, which is invariant under the action of the Poincaré group. It is called a vacuum.-->

===W1 (場の定義域と連続性についての前提)===
各々のテスト函数 f について、作用素 <math>A_1(f),\ldots ,A_n(f)</math> の集合が存在して、この集合は、たがいに共役(adjoint)で、真空を含むヒルベルト状態空間の稠密な部分集合上で定義される。場 A は作用素に値を持つ[[シュワルツ超函数|（おとなしい）分布]]である。ヒルベルト状態空間は、真空の上に作用する場の多項式によってはられる（サイクリック条件）。
<!---===W1 (assumptions on the domain and continuity of the field)===
For each test function ''f'', there exists a set of operators <math>A_1(f),\ldots ,A_n(f)</math> which, together with their adjoints, are defined on a dense subset of the Hilbert state space, containing the vacuum. The fields ''A'' are operator-valued [[Distribution (mathematics)|tempered distributions]]. The Hilbert state space is spanned by the field polynomials acting on the vacuum (cyclicity condition).-->

===W2 (場の変換法則)===
場は[[ポアンカレ群]]の作用の下に共変であり、スピンが整数でなければ、作用は[[ローレンツ群]]もしくは SL(2,'''C''') のある表現 S に従い次のように変換する。
:<math>U(a,L)^{\dagger}A(x)U(a,L)=S(L)A(L^{-1}(x-a)).</math>
<!---===W2 (transformation law of the field)===
The fields are covariant under the action of [[Poincaré group]], and they transform according to some representation S of the [[Lorentz group]], or SL(2,'''C''') if the spin is not integer:

:<math>U(a,L)^{\dagger}A(x)U(a,L)=S(L)A(L^{-1}(x-a)).</math>-->

===W3 (局所可換性とマイクロスコピックな因果関係)===
2つの場の台(support)が空間的(space-like)に分かれていると、2つの場は可換かまたは反可換となる。

真空の循環性(cyclicity)と一意性はしばしば分け考えられる。また漸近完備性の性質も存在し、- ヒルベルト状態空間は漸近空間 <math>H^{in}</math> と <math>H^{out}</math> によりはられる。漸近空間は、(粒子の）衝突の[[S-行列]]に現れる。場の理論のもう一つの重要な性質に{{仮リンク|質量ギャップ|en|mass gap}}があり、このことは公理系に要請されない - 質量ギャップとは、エネルギー運動量スペクトルがゼロとある正の数値の間のギャップを持っているという性質である。
<!---===W3 (local commutativity or microscopic causality)===
If the supports of two fields are [[space-like]] separated, then the fields either commute or anticommute.

Cyclicity of a vacuum, and uniqueness of a vacuum are sometimes considered separately. Also, there is property of asymptotic completeness - that Hilbert state space is spanned by the asymptotic spaces <math>H^{in}</math> and <math>H^{out}</math>, appearing in the collision [[S matrix]]. The other important property of field theory is [[mass gap]] which is not required by the axioms - that energy-momentum spectrum has a gap between zero and some positive number.-->

==公理系の結果==
これらの公理系からは、次のような一般的な定理が従う。
* '''[[CPT対称性]]''' — パリティ、粒子-反粒子、時間反転の下に一般的な対称性がある。（これらの対称性は、単独では存在しないことが判明している。）
* '''[[スピン角運動量|スピン]]と統計の関係''' — 半整数スピンに従い変換する場は、反交換関係で交換し、一方、整数スピンに従う場は交換関係で交換する（公理 W3）。この定理の詳細はテクニカルによくわかっている。このことは{{仮リンク|クライン変換|en|Klein transformation}}(Klein transformation)を使い、張り合わせることができる。[[パラ統計]]を参照。また、ゴーストについては、{{仮リンク|BRST量子化|label=BRST|en|BRST quantization}}も参照。
* '''[[超光速通信|光の速さを超える通信]]の不可能性''' - 2人の観測者が（空間的(spacelike)に）離れあうとすると、一人の観察者の作用（観測もハミルトニアンも両方変わることを意味する）は、もう一人の観察者の観測統計へ影響しない。<ref>{{cite |last1=Eberhard |first1=Phillippe H. |last2=Ross |first2=Ronald R.|title=Quantum field theory cannot provide faster than light communication |year= 1989 | journal=Foundations of Physics Letters | volume=2 | issue=2}}</ref>
<!---From these axioms, certain general theorems follow: 
* [[PCT theorem]] — there is general symmetry under change of parity, particle-antiparticle reversal and time inversion (none of these symmetries alone exists in nature, as it turns out)
* Connection between [[spin (physics)|spin]] and statistic — fields which transform according to half integer spin anticommute, while those with integer spin commute (axiom W3) There are actually technical fine details to this theorem. This can be patched up using [[Klein transformation]]s. See [[parastatistics]]. See also the ghosts in [[BRST formalism|BRST]].
* The impossibility of [[superluminal communication]] - if two observers are spacelike separated, then the actions of one observer (including both measurements and changes to the Hamiltonian) do not affect the measurement statistics of the other observer.<ref>{{cite |last1=Eberhard |first1=Phillippe H. |last2=Ross |first2=Ronald R.|title=Quantum field theory cannot provide faster than light communication |year= 1989 | journal=Foundations of Physics Letters | volume=2 | issue=2}}</ref>-->

[[アーサー・ワイトマン]](Arthur Wightman)は、[[:en:Vacuum expectation value|真空期待値]]の分布が、公理系に従う性質の一連の集まりを満たすとき、場の理論を再構成するに充分であることを示した。 — {{仮リンク|ワイトマンの再構成定理|en|Wightman reconstruction theorem}}は、[[真空状態]]の存在（を示す）ことも含んでいるが、しかし、彼は真空の一意性を持つような真空の存在の条件を発見はしなかった。{{仮リンク|クラスタ分解定理|label=クラスタの性質|en|cluster decomposition theorem}}とも呼ばれるこの条件は、{{仮リンク|レス・ジョスト|en|Res Jost}}(Res Jost)、{{仮リンク|クラウス・ヘップ|en|Klaus Hepp}}(Klaus Hepp)、{{仮リンク|ダビッド・ルエル|en|David Ruelle}}(David Ruelle)、{{仮リンク|オスマー・シュタイマン|en|Othmar Steinmann}}(Othmar Steinmann)により、後日発見された。
<!---[[Arthur Wightman]] showed that the [[vacuum expectation value]] distributions, satisfying certain set of properties which follow from the axioms, are sufficient to reconstruct the field theory — [[Wightman reconstruction theorem]], including the existence of a [[vacuum state]]; he did not find the condition on the vacuum expectation values guaranteeing the uniqueness of the vacuum; this condition, the [[cluster decomposition theorem|cluster property]], was found later by [[Res Jost]], [[Klaus Hepp]], [[David Ruelle]] and [[Othmar Steinmann]].-->

もし理論が{{仮リンク|質量ギャップ|en|mass gap}}を持つ、つまり、0 とゼロよりも大きなある定数の間に質量が存在しないとすると、[[:en:Vacuum expectation value|真空期待値]]の分布は、漸近的に広い領域で（質量とは）独立となる。

{{仮リンク|ハーグの定理|en|Haag's theorem}}(Haag's theorem)は、相互作用の素描が存在せず、ヒルベルト空間として相互作用しない粒子の[[フォック空間]]を使うことができないことを言っている。このことは、ある時刻で真空へ作用している場の多項式を通してヒルベルト空間を特定できるはずであるということを意味している。
<!---If the theory has a [[mass gap]], i.e. there are no masses between 0 and some constant greater than zero, then [[Vacuum expectation value|vacuum expectation]] distributions are asymptotically independent in distant regions.

[[Haag's theorem]] says that there can be no interaction picture — that we cannot use the [[Fock space]] of noninteracting particles as a Hilbert space — in the sense that we would identify Hilbert spaces via field polynomials acting on a vacuum at a certain time.-->

==場の理論の他のフレームワークや概念との関係==
ワイトマンのフレームワークは、有限温度の状態のように無限個のエネルギー状態をカバーしてはいない。

{{仮リンク|局所場の理論|en|local quantum field theory}}とは異なり、ワイトマンの公理系は、空間的(space-like)に分離した場の間に可換または反可換を導入することで、明確には理論の因果関係を限定していない。代わりに、定理として因果構造を導出している。ワイトマンの公理系の一般化を 4 以外の次元で考えると、この（反）可換性は低い次元では[[エニオン]]や{{仮リンク|結び目統計|en|braid statistics}}(braid statistics)を棄却する。

ワイトマンの真空状態の一意性の前提は、[[自発的対称性の破れ]]の場合にワイトマンの公理系が不適切とするわけではない。なぜならば、いつでも{{仮リンク|超選択則セクター|label=スーパーセレクションセクター|en|superselection sector}}に限定することが可能だからである。

ワイトマン公理系によって要求される真空の巡回性は、真空のスーパーセレクションセクターを記述しているだけであることを意味する。繰り返すが、一般性を大きく失うことはない。しかしながら、この前提は、ソリトンのような有限のエネルギー状態を残さない。有限のエネルギー状態は、テスト函数によって操作された場の多項式によって生成することができない。なぜならば、少なくとも場の理論の観点からは、ソリトンは無限遠点でのトポロジカルな境界条件を意味する大域的な構造だからである。
<!---==Relation to other frameworks and concepts in quantum field theory==
The Wightman framework does not cover infinite energy states like finite temperature states. 

Unlike [[local quantum field theory]], the Wightman axioms restrict the causal structure of the theory explicitly by imposing either commutativity or anticommutativity between spacelike separated fields, instead of deriving the causal structure as a theorem. If one considers a generalization of the Wightman axioms to dimensions other than 4, this (anti)commutativity postulate rules out [[anyon]]s and [[braid statistics]] in lower dimensions.

The Wightman postulate of a unique vacuum state doesn't necessarily make the Wightman axioms inappropriate for the case of [[spontaneous symmetry breaking]] because we can always restrict ourselves to a [[superselection sector]].

The cyclicity of the vacuum demanded by the Wightman axioms means that they describe only the superselection sector of the vacuum; again, that is not a great loss of generality. However, this assumption does leave out finite energy states like solitons which can't be generated by a polynomial of fields smeared by test functions because a soliton, at least from a field theoretic perspective, is a global structure involving topological boundary conditions at infinity.-->

ワイトマンのフレームワークは、[[有効場理論]]をカバーしていない。なぜならば、テスト函数の台(support)がどのように小さくできるかの極限を持たない。すなわち、{{仮リンク|カットオフ (物理学)|label=カットオフ|en|cutoff (physics)}}(cutoff (physics))スケールが存在しない。

ワイトマンのフレームワークは、{{仮リンク|量子ゲージ理論|label=ゲージ理論|en|quantum gauge theory}}もカバーしていない。アーベルゲージ理論の範囲でさえ、伝統的なアプローチは、不定計量を持つヒルベルト空間（本来、ヒルベルト空間は正定値計量であることが正しいのではあるが、にもかかわらず、物理学者はこれをヒルベルト空間と呼んでいる。）から出発し、物理状態と物理的作用素は[[コホモロジー]]に属している。これは明らかにワイトマンのフレームワークのどこでもカバーしていない。（しかし、シュウィンガー、(Schwinger)、クリスト(Christ)、レー(Lee)、グリボフ(Gribov)、ツヴァンジガー(Zwanziger)、ヴァン・バール(Van Baal)らにより、クーロンゲージでのゲージ理論の正準量子化は、通常のヒルベルト空間でも可能であり、このことが公理体系の応用の中へ入る可能性のではないかということを示した。）

ワイトマンの公理系は、{{仮リンク|ボーチャーズ代数|en|Borchers algebra}}(Borchers algebra)上の{{仮リンク|ワイトマン汎函数|en|Wightman functional}}(Wightman functional)と呼ばれる状態のことばで再構成することができ、テスト函数の空間の上のテンソル代数に等価となる。
<!---The Wightman framework does not cover [[effective field theory|effective field theories]] because there is no limit as to how small the support of a test function can be. I.e., there is no [[cutoff (physics)]] scale.

The Wightman framework also does not cover [[quantum gauge theory|gauge theories]]. Even in Abelian gauge theories conventional approaches start off with a "Hilbert space" with an indefinite norm (hence not truly a Hilbert space, which requires a positive-definite norm, but physicists call it a Hilbert space nonetheless) and the physical states and physical operators belong to a [[cohomology]]. This obviously is not covered anywhere in the Wightman framework. (However as shown by Schwinger, Christ and Lee, Gribov, Zwanziger, Van Baal, etc., canonical quantization of gauge theories in Coulomb gauge is possible with an ordinary Hilbert space, and this might be the way to make them fall under the applicability of the axiom systematics.)

The Wightman axioms can be rephrased in terms of a state called a [[Wightman functional]] on a [[Borchers algebra]] equal to  the tensor algebra of a space of test functions.-->

==公理系を満たす理論の存在==
ワイトマンの公理系を次元を 4 以外へ一般化することもできる。次元が 2 と 3 では、公理系を満たす相互作用をもつ（自由ではない）理論が構成された。

現在のところ、ワイトマンの公理系が次元 4 で相互作用を持つ理論を満足するという証明は存在しない。特に、素粒子物理の[[標準モデル]]は数学的に厳密な基礎を持ち合わせていない。ワイトマンの公理系が質量ギャップの要求を加えた[[ゲージ理論]]を満たすことができることが証明することが、[[ヤン-ミルズ方程式と質量ギャップ問題]]であるとも言うことができる。
<!---==Existence of theories which satisfy the axioms==
One can generalize the Wightman axioms to dimensions other than 4. In dimension 2 and 3, interacting (i.e. non-free) theories which satisfy the axioms have been constructed.

Currently, there is no proof that the Wightman axioms can be satisfied for interacting theories in dimension 4. In particular, the [[Standard model]] of particle physics has no mathematically rigorous foundations. There is a [[Yang-Mills existence and mass gap|million dollar prize]] for a proof that the Wightman axioms can be satisfied for [[gauge theories]], with the additional requirement of a mass gap.-->

===オスターワルダー・シュラーダーの再構成定理===
あるテクニカルな前提の下で、[[ユークリッド空間|ユークリッド]]的な場の量子論が[[ウィック回転]]させるとワイトマンの場の量子論になることが示されている。{{仮リンク|オスターワルダー・シュラーダーの定理|en|Osterwalder-Schrader theorem}}(Osterwalder-Schrader theorem)を参照。この定理は、ワイトマンの公理系を満たす 2 と 3 次元の相互作用のある理論の再構成のキーとなるツールである。
<!---===Osterwalder-Schrader reconstruction theorem===
Under certain technical assumptions, it has been shown that a [[Euclidean space|Euclidean]] QFT can be [[Wick rotation|Wick-rotated]] into a Wightman QFT. See [[Osterwalder-Schrader theorem]]. This theorem is the key tool for the constructions of interacting theories in dimension 2 and 3 which satisfy the Wightman axioms.-->


== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Reflist|group=訳注}}
=== 出典 ===
{{reflist|30em}}

==関連項目==
* {{仮リンク|局所量子力学|en|Local quantum physics}}
* {{仮リンク|ハーグ・カストラーの公理系|en|Haag-Kastler axioms}}

==参考文献==
*[[Ray Streater|R. F. Streater]] and [[Arthur Wightman|A. S. Wightman]], ''PCT, Spin and Statistics and All That'', Princeton University Press, Landmarks in Mathematics and Physics, 2000.
*[[Res Jost|R. Jost]], ''The general theory of quantized fields'', Amer. Math. Soc., 1965.

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[[Category:場の量子論]]