ワイルスカラーのソースを表示

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{{仮リンク|ニューマン・ペンローズ形式|en|Newman–Penrose_formalism}}の[[一般相対性理論]]において、'''ワイルスカラー''' ('''Weyl scalars''') とは、4次元[[時空]]のワイルテンソルの10個の独立成分から計算される5つの複素[[スカラー (物理学)|スカラー]]  <math>\{\Psi_0, \Psi_1, \Psi_2,\Psi_3, \Psi_4\}</math> を指す。

== 定義 ==
複素ヌル四つ組 <math>\{l^a, n^a, m^a, \bar{m}^a\}</math> に対して、規約 <math>\{(-,+,+,+); l^a n_a=-1\,,m^a \bar{m}_a=1\}</math>を用いると、ワイル-NP スカラーは次のように定義される<ref name="refNP1"/><ref name="refNP2"/><ref name="refNP3"/>。
: <math>\Psi_0 :=  C_{\alpha\beta\gamma\delta} l^\alpha m^\beta l^\gamma m^\delta\ , </math>
: <math>\Psi_1 := C_{\alpha\beta\gamma\delta} l^\alpha n^\beta l^\gamma m^\delta\ , </math>
: <math>\Psi_2 := C_{\alpha\beta\gamma\delta} l^\alpha m^\beta \bar{m}^\gamma n^\delta\ , </math>
: <math>\Psi_3 := C_{\alpha\beta\gamma\delta} l^\alpha n^\beta \bar{m}^\gamma n^\delta\ , </math>
: <math>\Psi_4 := C_{\alpha\beta\gamma\delta} n^\alpha \bar{m}^\beta n^\gamma \bar{m}^\delta\ . </math>
注意: 規約<math>\{(+,-,-,-); l^a n_a=1\,,m^a \bar{m}_a=-1\}</math>を用いた場合、 <math>\Psi_i</math> の定義は正負を反転した値<ref name=Newman1962/><ref name=Newman1963/><ref name="NP3"/><ref name="O'Donnell2003"/>、 <math>\Psi_i\mapsto-\Psi_i</math> となる。

== 別々の導出 ==
上述の定義に従うと、ワイル-NPスカラーを計算する前に関連する四つ組を縮約して定義される{{仮リンク|ワイルテンソル|en|Weyl_tensor}}をみつけることができる。 この方法はしかし、{{仮リンク|ニューマン・ペンローズ形式|en|Newman–Penrose_formalism}}の考え方を完全に反映したものではない。それとは違い、まず{{仮リンク|label=スピン係数|ニューマン・ペンローズ形式#12個のスピン係数|en|Newman–Penrose_formalism#Twelve_spin_coefficients}}を計算した上で五つのワイル-NPスカラーを次の{{仮リンク|label=ニューマン・ペンローズ方程式|ニューマン・ペンローズ形式#ニューマン・ペンローズ方程式|en|Newman–Penrose_formalism#NP_field_equations}}から導出することができる。
: <math>\Psi_0=D\sigma-\delta\kappa-(\rho+\bar{\rho})\sigma-(3\varepsilon-\bar{\varepsilon})\sigma+(\tau-\bar{\pi}+\bar{\alpha}+3\beta)\kappa\,,</math>
: <math>\Psi_1=D\beta-\delta\varepsilon-(\alpha+\pi)\sigma-(\bar{\rho}-\bar{\varepsilon})\beta+(\mu+\gamma)\kappa+(\bar{\alpha}-\bar{\pi})\varepsilon\,,</math>
: <math>\Psi_2=\bar{\delta}\tau-\Delta\rho-(\rho\bar{\mu}+\sigma\lambda)+(\bar{\beta}-\alpha-\bar{\tau})\tau+(\gamma+\bar{\gamma})\rho+\nu\kappa-2\Lambda\,,</math>
: <math>\Psi_3=\bar{\delta}\gamma-\Delta\alpha+(\rho+\varepsilon)\nu-(\tau+\beta)\lambda+(\bar{\gamma}-\bar{\mu})\alpha+(\bar{\beta}-\bar{\tau})\gamma\,.</math>
: <math>\Psi_4=\delta\nu-\Delta\lambda-(\mu+\bar{\mu})\lambda-(3\gamma-\bar{\gamma})\lambda+(3\alpha+\bar{\beta}+\pi-\bar{\tau})\nu\,.</math>
ここで <math>\Lambda</math> （<math>\Psi_2</math> の導出に使われる）はニューマン・ペンローズの曲率スカラー  <math>\Lambda:=\frac{R}{24}</math> で、時空の計量 <math>g_{ab}</math>から直接計算できる。

== 物理的解釈 ==
セケレシュ (1965)<ref name=Szekeres1965/> は大きな距離における別々のワイルスカラーに対し解釈を与えた。
: <math>\Psi_2</math> は「クーロン」項で、源の重力単極子を表わす。
: <math>\Psi_1</math> & <math>\Psi_3</math> はそれぞれ外向きと内向きの「縦」放射項である。
: <math>\Psi_0</math> & <math>\Psi_4</math> はそれぞれ外向きと内向きの「横」放射項である。<br>
一般の、放射を持つ漸近平坦な時空（{{仮リンク|ペトロフ分類|en|Petrov classification}} I) の場合、<math>\Psi_1</math> & <math>\Psi_3</math> はヌル四つ組を適切に選ぶことによりゼロに変換することができる。したがって、これらをゲージ量と見ることもできる。

特に重要なのはワイルスカラー <math>\Psi_4</math> である。外向きの[[重力波 (相対論)|重力波]]放射は（漸近平坦な時空においては）次のように記述できることが示せる。
: <math>\Psi_4 = \frac{1}{2}\left( \ddot{h}_{\hat{\theta} \hat{\theta}} - \ddot{h}_{\hat{\phi} \hat{\phi}} \right) + i \ddot{h}_{\hat{\theta}\hat{\phi}} = -\ddot{h}_+ + i \ddot{h}_\times\ .</math>
ここで、 <math>h_+</math> および <math>h_\times</math> それぞれ重力波の偏極における「 +モード」と「×モード」であり、二重ドットは二階時間微分を表わす。

しかし、上述の解釈が成り立たなくなるような例も知られている<ref name=Hofmann2013/>。それは、円筒対称性を持つ[[アインシュタイン方程式]]の真空厳密解の場合である。たとえば、静的な（無限に長い）円筒は、「クーロン」的ワイル要素 <math>\Psi_2</math> から期待される重力場だけでなく、非零の「横波」成分 <math>\Psi_0</math> および <math>\Psi_4</math> を持つことがある。さらに、純粋に外向きの{{仮リンク|アインシュタイン・ローゼン波|en|Einstein-Rosen_metric}}が非零の「内向き横波」成分 <math>\Psi_0</math> を持つことも知られている。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|ニューマン・ペンローズ形式#ワイルNPスカラーとリッチNPスカラー|label=ワイルNPスカラーとリッチNPスカラー|en|Newman–Penrose_formalism#Weyl-NP_and_Ricci-NP_scalars}}

== 出典 ==
{{reflist|refs=
<ref name=refNP1>Jeremy Bransom Griffiths, Jiri Podolsky. ''Exact Space-Times in Einstein's General Relativity''. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Chapter 2.</ref>
<ref name=refNP2>Valeri P Frolov, Igor D Novikov. ''Black Hole Physics: Basic Concepts and New Developments''. Berlin: Springer, 1998. Appendix E.</ref>
<ref name=refNP3>Abhay Ashtekar, Stephen Fairhurst, Badri Krishnan. ''Isolated horizons: Hamiltonian evolution and the first law''. Physical Review D, 2000, '''62'''(10): 104025. Appendix B. [https://arxiv.org/abs/gr-qc/0005083 gr-qc/0005083]</ref>
<ref name=Newman1962>Ezra T Newman, Roger Penrose. ''An Approach to Gravitational Radiation by a Method of Spin Coefficients''. Journal of Mathematical Physics, 1962, '''3'''(3): 566-768.</ref>
<ref name=Newman1963>Ezra T Newman, Roger Penrose. ''Errata: An Approach to Gravitational Radiation by a Method of Spin Coefficients''.  Journal of Mathematical Physics, 1963, '''4'''(7): 998.</ref>
<ref name=NP3>Subrahmanyan Chandrasekhar. ''The Mathematical Theory of Black Holes''. Chicago: University of Chicago Press, 1983.</ref>
<ref name="O'Donnell2003">Peter O'Donnell. ''Introduction to 2-Spinors in General Relativity''. Singapore: World Scientific, 2003.</ref>
<ref name=Szekeres1965>{{cite journal | author= P. Szekeres | title=The Gravitational Compass | journal=Journal of Mathematical Physics | year=1965 | volume=6 | issue=9 | pages=1387–1391 | doi=10.1063/1.1704788 |bibcode = 1965JMP.....6.1387S }}.</ref>
<ref name=Hofmann2013>{{cite journal|last1=Hofmann|first1=Stefan|last2=Niedermann|first2=Florian|last3=Schneider|first3=Robert|title=Interpretation of the Weyl tensor|journal=Phys.Rev.|date=2013|volume=D88|page=064047|doi=10.1103/PhysRevD.88.064047|arxiv = 1308.0010 |bibcode = 2013PhRvD..88f4047H }}</ref>
}}

{{デフォルトソート:わいるすから}}
[[Category:一般相対性理論]]
[[Category:エポニム]]