ヴィット代数のソースを表示

{{簡易区別|二次形式の{{仮リンク|ヴィット環|en|Witt ring}}や{{仮リンク|ヴィットベクトル|en|Witt vector}}の環}}
[[数学]]において、複素'''ヴィット環'''（ヴィット-かん、{{lang-en-short|''Witt algebra''}}; '''ヴィット代数'''）とは、二定点を除く[[リーマン球面]]の全域で正則な有理型ベクトル場全体の成すリー環である。名称は[[エルンスト・ヴィット]]に因む。このリー環は円周上の多項式ベクトル場全体の成すリー環の複素化でもあり、環 '''C'''[''z'', ''z''<sup>&minus;1</sup>] の[[微分 (代数学)|微分]]（あるいは{{仮リンク|導分|en|Derivation (abstract algebra)}}）全体の成すリー環でもある。ヴィット環は[[共形場理論]]の研究において現れる。

有限体上で定義されるいくつかの同様なリー環もやはりヴィット環と呼ばれる。

複素ヴィット環は[[エリ・カルタン]]によって初めて定義され{{harv|Cartan|1909}}、その有限体上の類似物はヴィットによって1930年代に研究された。

== 基底 ==
ヴィット環を円周上のベクトル場のリー環として考えたとき、その基底は整数 ''n'' に対して
: <math>L_n=-z^{n+1} \frac{\partial}{\partial z}</math>
によって与えられる。

2つのベクトル場の[[リー微分|括弧積]]は、基底における積

:<math>[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}</math>

を線型に拡張したもので与えられる。ヴィット環は[[ヴィラソロ代数]]と呼ばれる[[群の拡大|中心拡大]]を持つ。ヴィラソロ代数は共形場理論や弦理論において重要である。

== 有限体上のヴィット環 ==
標数 ''p'' &gt; 0 の体 ''k'' 上のヴィット環は環
: <math>k[z]/(z^p)</math> 
上の微分全体の成すリー環として定義される。ヴィット環は
''L''<sub>''m''</sub> (&minus;1 &le; ''m'' &le; ''p'' &minus; 2) によって張られる。

== 参考文献 ==
*E. Cartan, [http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=ASENS_1909_3_26__93_0 ''Les groupes de transformations continus, infinis, simples.''] Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 26, 93-161 (1909).
* {{SpringerEOM|title=Witt algebra|author=|urlname=Witt_algebra}}

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[[Category:リー環論]]
[[Category:数学に関する記事]]