ヴィノグラードフの定理のソースを表示

[[ファイル:Виноградов Иван Матвеевич.jpg|サムネイル|イヴァン・ヴィノグラードフ]]
'''ヴィノグラードフの定理'''（{{lang-en-short|Vinogradov's theorem}}）とは、「十分大きな任意の[[奇数]]が{{math|3}}つの[[素数]]の和として表すことができる」ことを[[論理包含|含意]]する[[加法的整数論]]における結果である。これは「{{math|5}}より大きな任意の奇数が{{math|3}}つの素数の和として表すことができる」という[[弱いゴールドバッハ予想]]の弱い形である。定理の名前は、1930年代にこれを証明した{{仮リンク|イヴァン・ヴィノグラードフ|ru|Виноградов, Иван Матвеевич}}(Ivan Matveyevich Vinogradov, Иван Матвеевич Виноградов)にちなむ。ヴィノグラードフの定理の完全な主張は、奇数の3つの素数の和による表し方の数の{{仮リンク|漸近解析|label=漸近境界|en|Asymptotic analysis}}(asymptotic bounds)を与える。

==定理の主張==
{{mvar|A}} を正の実数とすると、
:<math>r(N)={1\over 2}G(N)N^2+O\left(N^2\log^{-A}N\right),</math>
が成り立つ。ここで、<math>\Lambda</math> を[[フォン・マンゴルト関数]]とすると
:<math>r(N)=\sum_{k_1+k_2+k_3=N}\Lambda(k_1)\Lambda(k_2)\Lambda(k_3)</math>
であり、
:<math>G(N)=\left(\prod_{p\mid N}\left(1-{1\over{\left(p-1\right)}^2}\right)\right)\left(\prod_{p\nmid N}\left(1+{1\over{\left(p-1\right)}^3}\right)\right)</math>
である。

==帰結==
{{mvar|N}} が奇数であれば、{{math|''G''(''N'')}} はおよそ {{math|1}} であり、したがって十分大きな {{mvar|N}} に対して <math>N^2 \ll r(N)</math> である。ある特定の素数による {{math|''r''(''N'')}} への寄与は <math>O\left(N^{3\over 2}\log^2N\right)</math> であることを示すことにより、
:<math>N^2\log^{-3}N\ll</math>（ {{mvar|N}} の3つの素数の和による表し方の数）
であることが分かる。特にこれは十分大きな任意の奇数は{{math|3}}つの素数の和により表されることを意味し、有限個の例外を除いて[[弱いゴルドバッハ予想]]が成立することを意味している。

==証明の戦略==
定理の証明は、[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|ハーディ]]-[[ジョン・エデンサー・リトルウッド|リトルウッド]]の{{仮リンク|ハーディ・リトルウッドの円周法|en|Hardy–Littlewood circle method|label=円周法}}(Hardy–Littlewood circle method)を使う。{{仮リンク|指数和|en|exponential sum}}を
:<math>S(\alpha)=\sum_{n=1}^N\Lambda(n)e(\alpha n)</math>
とすると、
:<math>S(\alpha)^3 = \sum_{n_1, n_2, n_3\leq N}\Lambda(n_1)\Lambda(n_2)\Lambda(n_3)e(\alpha(n_1+n_2+n_3))
 = \sum_{n\leq 3N} \tilde{r}(n)e(\alpha n)</math>
を得る。ここで <math>\tilde{r}</math> は <math>N</math> 以下である素数のべきに限定した表現の数を表す。すると、
:<math> r(N) = \int_0^1 S(\alpha)^3 e(-\alpha N)\;d\alpha</math>
となる。<math>\alpha</math> が有理数 <math>\tfrac{p}{q}</math> であれば、<math>S(\alpha)</math> は <math>q</math> を法とした剰余類の中の素数の分布によって与えられる。従って、[[ジーゲル・ウォルフィッツの定理]]を使うと、小さな分母の有理数の近傍で、上記の整数の分布を計算することができる。そのような有理数に近い実数の集合は、通常、'''優弧'''(major arcs)と呼ばれる複数の区間を形成し、その補集合は'''劣弧'''(minor arcs)と呼ばれる。優弧区間は整数を支配することがわかるので、定理を証明するためには、劣弧に含まれる <math>\alpha</math> に対する <math>S(\alpha)</math> の上限を求める必要がある。この見積もりが証明の最も難しいところである。

[[一般化されたリーマン予想]]を前提とすると、優弧で使った議論を劣弧へ拡張することができる。これは1923年にハーディとリトルウッドによってなされた。1937年、ヴィノグラードフは、 <math>|S(\alpha)|</math> の無条件での上限を与えた。彼の主張は、結果の項が複雑な方法で簡約整理されて得られる、単純なふるい法から始まる。1977年、{{仮リンク|ボブ・ヴォーン|en|Bob Vaughan}}(R. C. Vaughan)は、後日、{{仮リンク|ヴォーンの恒等式|en|Vaughan's identity}}(Vaughan's identity)として知られる恒等式に基づく、非常に簡素化された結果を発見した。彼は、<math>\left|\alpha-\frac{a}{q}\right|<\frac{1}{q^2}</math> であれば、
:<math> |S(\alpha)|\ll \left(\frac{N}{\sqrt{q}} + N^{4/5}+\sqrt{Nq}\right)\log^4 N</math>
となることを証明した。ジーゲル・ウォルフィッツの定理を使うと、 <math>\log N</math> のべきの違いを区別せず <math>q</math> を扱うことができ、[[ディリクレのディオファントス近似定理|ディリクレの近似定理]]を使うと、劣弧上で <math>|S(\alpha)|\ll\frac{N}{\log^A N}</math> を得ることができる。したがって、劣弧の区間の境界は、
:<math>\frac{CN}{\log^A N}\int_0^1|S(\alpha)|^2\;d\alpha \ll \frac{N^2}{\log^{A-1} N}</math>,
により制限され、これが定理の誤差項（補助項）を与える。

==参考文献==
* {{cite book | author=I.M. Vinogradov | authorlink=Ivan Matveyevich Vinogradov | others=Translated by Anne Davenport, [[Klaus Roth|K.F. Roth]] | title=The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers | publisher=Interscience | location=New York | year=1954 }}
* {{cite book | title=Additive Number Theory: the Classical Bases  | volume=164 | series=Graduate Texts in Mathematics | author=Melvyn B. Nathanson | publisher=Springer-Verlag | year=1996 | isbn=0-387-94656-X }}  Chapter 8.

== 脚注 ==
<references/>

==外部リンク==
*{{MathWorld|urlname=VinogradovsTheorem|title=Vinogradov's Theorem}}

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[[Category:数論の定理]]
[[Category:解析的整数論]]
[[Category:加法的整数論]]
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