ヴィーンの放射法則のソースを表示

{{混同|ウィーンの変位則}}
[[Image:RWP-comparison.svg|thumb|300px|温度 8 mK の[[黒体]]のヴィーン、[[プランクの法則|プランク]]、[[レイリー・ジーンズの法則|レイリー]]の3式の比較]]
'''ヴィーンの放射法則'''（ヴィーンのほうしゃほうそく、{{Lang-en|Wien's radiation law}}）、あるいは'''ヴィーンの公式'''、'''ヴィーンの分布式'''とは、熱輻射により[[黒体]]から放出される[[電磁波]]の[[スペクトル]]を与える理論式である。
この法則は1896年に[[ヴィルヘルム・ヴィーン]]によって導かれた<ref name="mehra">[[#mehra|Mehra and Rechenberg "The Historical Development of Quantum Theory"]]</ref><ref name="bowley">[[#bowley|Bowley and Sánchez "Introductory Statistical Mechanics"]]</ref>。短波長（高周波数）領域における近似式であり、'''ヴィーン近似'''とも呼ばれる。
長波長（低周波数）領域では実験とずれが生じて記述できないが<ref name="bowley"/>、全ての波長領域で正しく記述されるようにプランクの法則の形に修正された。英語の発音に基づくウィーンのカナ表記、呼称も用いられる。

== 内容 ==
ヴィーンの放射法則によれば、[[熱力学温度]] {{mvar|T}} の熱平衡にある黒体の輻射による[[波長]] {{mvar|&lambda;}} で表した[[放射発散度]]のスペクトルは
{{Indent|
<math>R_\lambda(\lambda,T) =\frac{c_1}{\lambda^5}\, \mathrm{e}^{-c_2/\lambda T}</math>
}}
で与えられる<ref name="bowley"/>。ここで係数 {{math|''c''{{sub|1}},''c''{{sub|2}}}} はそれぞれ第一放射定数、第二放射定数と呼ばれる。
波長 {{mvar|&lambda;}} と[[周波数]] {{mvar|&nu;}} の関係 {{math|1=''&nu;''=''c''/''&lambda;''}}（{{mvar|c}} は[[光速度]]）と
{{Indent|
<math>\int_0^\infty R_\lambda(\lambda,T)\, d\lambda =\int_0^\infty R_\nu(\nu,T)\, d\nu</math>
}}
を用いれば、周波数 {{mvar|&nu;}} で表したスペクトルは
{{Indent|
<math>R_\nu(\nu,T) =\frac{c_1\nu^3}{c^4}\, \mathrm{e}^{-(c_2/c)\nu/T}</math>
}}
となる<ref name="rybicki">[[#rybicki|Rybicki and Lightman "Radiative Processes in Astrophysics"]]</ref>。

[[分光放射輝度]]で表せば、波長で表したスペクトルは
{{Indent|
<math>L_\lambda(\lambda,T) =\frac{1}{\pi} R(\lambda,T) =\frac{c_{1L}}{\lambda^5}\, \mathrm{e}^{-c_2/\lambda T}</math>
}}
となり、周波数で表したスペクトルは
{{Indent|
<math>L_\nu(\nu,T) =\frac{c_{1L}\nu^3}{c^4}\, \mathrm{e}^{-(c_2/c)\nu/T}</math>
}}
となる。

== 性質 ==
ヴィーンの放射法則による分光発散度は
{{Indent|
<math>R(\lambda,T) =\frac{1}{\lambda^5} f(\lambda T)</math>
}}
の形をしている。
長波長（低周波数）領域におけるスペクトルの精度の高い近似を与える理論式として、[[ジョン・ウィリアム・ストラット (第3代レイリー男爵)|レイリー卿]]による[[レイリー・ジーンズの法則]]が用いられる<ref name="bowley"/><ref name="rybicki"/>。
レイリーの公式は {{math|1=''f''(''x'')=''&alpha;x''}} の場合として含まれている。

分光発散度を波長で偏微分すると
{{Indent|
<math>\frac{\partial R}{\partial\lambda}
 =\frac{T}{\lambda^5} f'(\lambda T) -\frac{5}{\lambda^6} f(\lambda T)
 =\frac{1}{\lambda^6} \{ (\lambda T)\, f'(\lambda T) -5f(\lambda T) \}</math>
}}
となる。分光発散度を最大となる波長 {{math|''&lambda;''{{sub|max}}}} は関数 {{math|''xf{{'}}''(''x'') − 5''f''(''x'')}} の適当な零点 {{math|1=''x''=''b''}} によって
{{Indent|
<math>\lambda_\text{max} =\frac{b}{T}</math>
}}
と表される。
ヴィーンの公式では {{math|1=''b''=''c''{{sub|2}}/5}} となって[[ヴィーンの変位則]]を説明することができる。
しかし、レイリーの公式では {{math|''x''&gt;0}} において零点を持たず、ヴィーンの変位則を説明できない。

分光発散度を波長 {{mvar|&lambda;}} で積分した放射発散度は
{{Indent|
<math>R(T) =\int_0^\infty R(\lambda,T)\, d\lambda
 =\int_0^\infty \frac{1}{\lambda^5} f(\lambda T)\, d\lambda
 =T^4 \int_0^\infty \frac{1}{x^5} f(x)\, dx</math>
}}
となる。
ヴィーンの公式では積分が収束し、[[シュテファン＝ボルツマンの法則]]と整合する。
しかし、レイリーの公式では積分が収束せず、放射発散度が無限大になってしまう。

長波長の極限 {{math|{{mvar|&lambda;}}&rarr;&infin;}} ではヴィーンの公式では
{{Indent|
<math>R(\lambda,T) \sim \frac{1}{\lambda^5}</math>
}}
となる。長波長領域で精度の高い近似であるレイリーの公式では {{math|{{mvar|R}}&sim;1/{{mvar|&lambda;}}{{sup|4}}}} であり、これと整合しない。ヴィーンの公式は長波長領域では実験を正しく記述できていない。

== プランクによる修正 ==
ヴィーンの法則は熱輻射のスペクトルを完全に説明する法則として提案されたものであったが、長波長（低周波数）領域のスペクトルで実験を正しく記述することができなかった。その後まもなく[[マックス・プランク]]により[[プランクの法則]]の形で修正された。プランクの法則は全ての波長領域で実験を正しく記述することができた。ヴィーンの法則はプランクの法則の極限として導かれる。

プランクの法則によれば、温度 {{mvar|T}} の熱平衡における分光放射輝度は
:<math>L(\nu,T)=\frac{2h\nu^3}{c^2}\frac{1}{\mathrm{e}^{h\nu/kT}-1}</math>
で与えられる<ref name="rybicki"/>。ここで {{mvar|h}} は[[プランク定数]]、{{mvar|k}} は[[ボルツマン定数]]である。

プランクの式において {{math|''h&nu;''/''kT''&#8811;1}} で近似すれば
:<math>\frac{1}{\mathrm{e}^{h\nu/kT}-1}\sim\mathrm{e}^{-h\nu/kT}</math>
となり、ヴィーンの式が導かれる<ref name="rybicki"/>。二つの係数は
:<math>c_1=2\pi hc^2=</math> {{val|3.741771852|end=...|e=-16|u=W&sdot;m<sup>2</sup>}}
:<math>c_{1L}=2hc^2=</math> {{val|1.191042972|end=...|e=-16|u=W&sdot;m<sup>2</sup>&sdot;sr{{sup-|1}}}}
:<math>c_2=\frac{hc}{k}=</math> {{val|1.438776877|end=...|e=-2|u=m&sdot;K}}
として他の物理定数と理論的に関係付けられる。値は全て2018[[科学技術データ委員会|CODATA]]推奨値である<ref>{{Cite web|url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?c11strc|title=first radiation constant|publisher=[[アメリカ国立標準技術研究所|NIST]]|accessdate=2022-03-06}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?c1l|title=first radiation constant for spectral radiance|publisher=[[アメリカ国立標準技術研究所|NIST]]|accessdate=2022-03-06}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?c22ndrc|title=second radiation constant|publisher=[[アメリカ国立標準技術研究所|NIST]]|accessdate=2022-03-06}}</ref>。

== 出典 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
 |author= 朝永振一郎
 |authorlink= 朝永振一郎
 |title= 量子力学１
 |publisher=みすず書房
 |edition=第2版
 |year=1969
 |isbn=4-622-02551-5
 |ref=tomonaga
}}
* {{Cite book
 |author=J. Mehra, H. Rechenberg
 |title=The Historical Development of Quantum Theory
 |publisher=Springer-Verlag
 |volume=1
 |chapter=1
 |year=1982
 |location=New York
 |isbn=0-387-90642-8
 |ref=mehra
}}
* {{Cite book
 |author=R. Bowley, M. Sánchez
 |title=Introductory Statistical Mechanics
 |publisher=Clarendon Press
 |edition=2nd
 |year=1999
 |location=Oxford
 |isbn=0-19-850576-0
 |ref=bowley
}}
* {{Cite book 
 |author=G. B. Rybicki, A. P. Lightman
 |title=Radiative Processes in Astrophysics
 |publisher=John Wiley & Sons
 |year=1979
 |location=New York
 |isbn=0-471-82759-2
 |ref=rybicki
}}

== 関連項目 ==
* [[キルヒホッフの法則 (放射エネルギー)|キルヒホッフの法則]]
* [[プランクの法則]]
* [[ヴィーンの変位則]]
* [[レイリー・ジーンズの法則]]
* [[シュテファン＝ボルツマンの法則]]
* [[佐久間＝服部方程式]]

{{DEFAULTSORT:ういんのほうしやほうそく}}
[[Category:統計力学]]
[[Category:熱放射]]
[[Category:自然科学の法則]]
[[Category:物理学のエポニム]]