ヴェイユ群のソースを表示

{{要改訳}}
{{for||[[ヴェイユ・シャトレ群]]|[[モーデルの定理|モーデル・ヴェイユ群]]|[[ワイル群]] }}
数学において、'''ヴェイユ群'''(Weil group)は、{{harvs|txt|authorlink=André Weil|last=Weil|year=1951}}で導入され、[[類体論]]で使われる[[絶対ガロア群]]の[[局所体]]や[[大域体]]での変形である。そのような体 ''F'' に対して、ヴェイユ群は一般に ''W<sub>F</sub>'' と記される。ガロア群の「有限なレベル」の変形も存在し、''E''/''F'' を[[有限拡大]]としたときの ''E''/''F'' の'''相対ヴェイユ群'''(relative Weil group)が ''W''<sub>''E''/''F''</sub>&nbsp;=&nbsp;''W<sub>F</sub>''/{{SubSup|''W''|''E''|''c''}} である（この記号 ''c'' は[[交換子部分群]]による完備化を意味している。）。

ヴェイユ群について、詳しくは、{{harv|Artin|Tate|2009}} や {{harv|Tate|1979}} や {{harv|Weil|1951}} を参照。
<!--{{for||Weil–Châtelet group|Mordell–Weil group|Weyl group}}
In mathematics, a '''Weil group''', introduced by {{harvs|txt|authorlink=André Weil|last=Weil|year=1951}}, is a modification of the [[absolute Galois group]] of a [[local field|local]] or [[global field]], used in [[class field theory]].  For such a field ''F'', its Weil group is generally denoted ''W<sub>F</sub>''. There also exists "finite level" modifications of the Galois groups: if ''E''/''F'' is a [[finite extension]], then the '''relative Weil group''' of ''E''/''F'' is ''W''<sub>''E''/''F''</sub>&nbsp;=&nbsp;''W<sub>F</sub>''/{{SubSup|''W''|''E''|''c''}} (where the superscript ''c'' denotes the closure of the [[commutator subgroup]]).

For more details about Weil groups see {{harv|Artin|Tate|2009}} or {{harv|Tate|1979}} or {{harv|Weil|1951}}.-->

==類構造におけるヴェイユ群==

基本類 ''u''<sub>''E''/''F''</sub> ∈ ''H''<sup>2</sup>(''E''/''F'', ''A''<sup>''F''</sup>) を持つ{{仮リンク|類構造|en|class formation}}(class formation)に於ける'''ヴェイユ群'''(Weil group)は、変形されたガロア群の一種であり、類体論の様々な定式化に使われ、特に[[ラングランズ・プログラム]]の定式化において使われる。

''E''/''F'' が正規レイヤであれば、''E''/''F'' の（相対）ヴェイユ群 ''W''<sub>''E''/''F''</sub> は、拡大
:1 &rarr; ''A''<sup>''F''</sup> &rarr; ''W''<sub>''E''/''F''</sub> &rarr; Gal(''E''/''F'') &rarr; 1
であり、（中心拡大として第二[[群コホモロジー]](group cohomology)の元と解釈することにより、）''H''<sup>2</sup>(Gal(''E''/''F'') ''A''<sup>''F''</sup>) の中の基本類 ''u''<sub>''E''/''F''</sub> へ対応する。全体の構成のヴェイユ群は、''G'' の開部分群 ''F'' に対して、すべてのレイヤ
''G''/''F'' のヴェイユ群の逆極限として定義される。

類構造 (''G'',&nbsp;''A'') の相互写像は、''A<sup>G</sup>'' からヴェイユ群のアーベル化への同型を導く。
<!--==Weil group of a class formation==

The '''Weil group''' of a [[class formation]] with fundamental classes ''u''<sub>''E''/''F''</sub> ∈ ''H''<sup>2</sup>(''E''/''F'', ''A''<sup>''F''</sup>) is a kind of modified Galois group, used in various formulations of class field theory, and in particular in the [[Langlands program]].

If ''E''/''F'' is a normal layer, then the (relative) Weil group ''W<sub>E''/''F''</sub> of ''E''/''F'' is the  extension
:1 &rarr; ''A''<sup>''F''</sup> &rarr; ''W<sub>E''/''F''</sub> &rarr; Gal(''E''/''F'') &rarr; 1
corresponding (using the interpretation of elements in the second [[group cohomology]] as central extensions) to the fundamental class ''u''<sub>''E''/''F''</sub> in ''H''<sup>2</sup>(Gal(''E''/''F''), ''A''<sup>''F''</sup>). The Weil group of the whole formation is defined to be the inverse limit of the Weil groups of all the layers
''G''/''F'', for ''F'' an open subgroup of ''G''.

The reciprocity map of the class formation (''G'',&nbsp;''A'') induces an isomorphism from ''A<sup>G</sup>'' to the abelianization of the Weil group.-->

==アルキメデス的局所体のヴェイユ群==

アルキメデス的局所体に対し、ヴェイユ群は容易に記述される。'''C''' に対しては、ヴェイユ群は非零である複素数の群 '''C'''<sup>&times;</sup> であり、'''R''' に対しては、非零の複素数の群によるオーダー 2のガロア群の非分岐拡大であり、非零の四元数群の部分群 '''C'''<sup>&times;</sup> ∪ ''j'' '''C'''<sup>&times;</sup> と同一視できる。
<!--==Weil group of an archimedean local field==

For archimedean local fields the Weil group is easy to describe: for '''C''' it is the group '''C'''<sup>&times;</sup> of non-zero complex numbers, and for '''R''' it is a non-split extension of the Galois group of order 2 by the group of non-zero complex numbers, and can be identified with the subgroup '''C'''<sup>&times;</sup> ∪ ''j'' '''C'''<sup>&times;</sup> of the non-zero quaternions.-->

==有限体のヴェイユ群==

有限体に対するヴェイユ群は、[[巡回群|無限巡回群]]である。非常に重要な生成子は[[フロベニウス自己準同型|フロベニウス自己同型]]である。{{仮リンク|数論的フロベニウス|en|arithmetic Frobenius}}(arithmetic Frobenius)のようなある記法では、（フロベニウスか、あるいはその逆として）生成しの固定部分をトレースすることができる。
<!--==Weil group of a finite field==

For finite fields the Weil group is [[infinite cyclic]]. A distinguished generator is provided by the [[Frobenius automorphism]]. Certain conventions on terminology, such as [[arithmetic Frobenius]], trace back to the fixing here of a generator (as the Frobenius or its inverse).-->

==局所体のヴェイユ群==

標数 ''p''&nbsp;>&nbsp;0 の局所体のヴェイユ群は、定数体（すべての有限部分体の合併）上のフロベニウス自己同型の羃として作用する元の絶対ガロア群の部分群である。

''p''-進体のヴェイユ群は、絶対ガロア群の稠密な部分群であり、剰余体のガロア群の像がフロベニウス自己同型の整数羃であるような元すべてで構成される。

さらに、これらの場合、ヴェイユ群は部分空間のトポロジーをもたず、より良いトポロジーを持つ。このトポロジーは部分空間のトポロジーを惰性部分群により与え、ヴェイユ群の開部分群であるとすることにより定義される（結果としてのトポロジーは、{{仮リンク|局所射有限群|label=局所的に射有限|en|locally profinite group}}(locally profinite)である）。
<!--==Weil group of a local field==

For a local field of characteristic ''p''&nbsp;>&nbsp;0, the Weil group is the subgroup of the absolute Galois group of elements that act as a power of the Frobenius automorphism on the constant field (the union of all finite subfields).

For ''p''-adic fields the Weil group is a dense subgroup of the absolute Galois group, and consists of all elements whose image in the Galois group of the residue field is an integral power of the Frobenius automorphism.

More specifically, in these cases, the Weil group does not have the subspace topology, but rather a finer topology. This topology is defined by giving the inertia subgroup its subspace topology and imposing that it be an open subgroup of the Weil group. (The resulting topology is "[[locally profinite group|locally profinite]]".)-->

==函数体のヴェイユ群==

標数 ''p''>0 の大域体（函数体）のヴェイユ群は、（すべての有限部分体の合併である）定数体上のフロベニウス自己同型の羃として作用する元の絶対ガロア群の部分群である。
<!--==Weil group of a function field==

For  global fields of characteristic ''p''>0 (function fields), the Weil group is the subgroup of the absolute Galois group of elements that act as a power of the Frobenius automorphism on the constant field (the union of all finite subfields).-->

==数体のヴェイユ群==

数体の場合は、拡大を構成するコサイクルを使うことなしにヴェイユ群を「自然に」構成する方法は知られていない。ヴェイユ群からガロア群への写像は全射で、その核はヴェイユ群の同一視される連結成分であるが、非常に複雑である。
<!--==Weil group of a number field==

For number fields there is no known "natural" construction of the Weil group without using cocycles to construct the extension. The map from the Weil group to the Galois group is surjective, and its kernel is the connected component of the identity of the Weil group, which is quite complicated.-->

==ヴェイユ・ドリーニュ群==

非アルキメデス的局所体の ''K'' の'''ヴェイユ・ドリーニュ群スキーム'''(Weil–Deligne group scheme)（あるいは、簡単に'''ヴェイユ・ドリーニュ群'''(Weil–Deligne group)） ''W''′<sub>''K''</sub> は、1 次元加法群スキーム ''G''<sub>''a''</sub> によるヴェイユ群 ''W<sub>K</sub>'' の拡大として、{{harvtxt|Deligne|1973|loc=8.3.6}} により導入された。この拡大では、ヴェイユ群は、加法群の上で
:<math> \displaystyle wxw^{-1} = \|w\|x</math>
として作用する。ここに ''w'' は ''a''→''a''<sup>''q''<sup>||''w''||</sup></sup> として位数 ''q'' の剰余体上に作用する。

''K'' 上の GL<sub>''n''</sub> の{{仮リンク|局所ラングランズ対応|en|local Langlands correspondence}}(local Langlands correspondence)は、GL<sub>''n''</sub>(''K'') の許容既約表現の同型類と ''K'' のヴェイユ・ドリーニュ群のある ''n'' 次元表現の間に自然な全単射が存在することを言っている（現在は証明されている）。

ヴェイユ・ドリーニュ群は、その表現を通して示されることがよくある。その場合は、ヴェイユ・ドリーニュ群は、''W<sub>K</sub>''&nbsp;×&nbsp;''SL''(2,'''C''') や ''W<sub>K</sub>''&nbsp;×&nbsp;''SU''(2,'''R''')、あるいは、その代わりに簡単に ''W<sub>K</sub>'' の[[ヴェイユ・ドリーニュ表現]](Weil–Deligne representation)として使うことがある。<ref>{{harvnb|Rohrlich|1994}}</ref>

アルキメデス的な場合は、ヴェイユ・ドリーニュ群はヴェイユ群として簡単に定義される。
<!--==Weil–Deligne group==

The '''Weil–Deligne group scheme''' (or simply '''Weil–Deligne group''') ''W''′<sub>''K''</sub> of a non-archimedean local field, ''K'', is an extension of the Weil group ''W<sub>K</sub>'' by a one-dimensional additive group scheme ''G''<sub>''a''</sub>,  introduced by {{harvtxt|Deligne|1973|loc=8.3.6}}. In this extension the Weil group acts on the 
additive group by 
:<math> \displaystyle wxw^{-1} = ||w||x</math>
where ''w'' acts on the residue field of order ''q'' as ''a''→''a''<sup>''q''<sup>||''w''||</sup></sup>.

The [[local Langlands correspondence]] for GL<sub>''n''</sub> over ''K'' (now proved) states that there is a natural bijection between isomorphism classes of irreducible admissible representations of GL<sub>''n''</sub>(''K'') and certain ''n''-dimensional representations of the Weil–Deligne group of ''K''.

The Weil–Deligne group often shows up through its representations. In such cases, the Weil–Deligne group is sometimes taken to be ''W<sub>K</sub>''&nbsp;×&nbsp;''SL''(2,'''C''') or ''W<sub>K</sub>''&nbsp;×&nbsp;''SU''(2,'''R'''), or is simply done away with and [[Weil–Deligne representation]]s of ''W<sub>K</sub>'' are used instead.<ref>{{harvnb|Rohrlich|1994}}</ref>

In the archimedean case, the Weil–Deligne group is simply defined to be Weil group.-->

==関連項目==
*{{仮リンク|ラングランズ群|en|Langlands group}}(Langlands group)
*{{仮リンク|シャファレビッチ・ヴェイユの定理|en|Shafarevich–Weil theorem}}(Shafarevich–Weil theorem)

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

==参考文献==
*{{Citation | last1=Artin | first1=Emil | author1-link=Emil Artin | last2=Tate | first2=John | author2-link=John Tate | title=Class field theory | origyear=1952 | url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=chel-366-h | publisher=AMS Chelsea Publishing, Providence, RI | isbn=978-0-8218-4426-7 | mr=0223335 | year=2009}}
*{{Citation | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=Pierre Deligne | title=Modular functions of one variable, II (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, Antwerp, 1972) | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture notes in mathematics | doi=10.1007/978-3-540-37855-6_7 | mr=0349635 | year=1973 | volume=349 | chapter=Les constantes des équations fonctionnelles des fonctions L | pages=501–597}}
*{{Citation
| last=Kottwitz
| first=Robert
| title=Stable trace formula: cuspidal tempered terms
| year=1984
| journal=Duke Mathematical Journal 
| volume=51
| issue=3
| pages=611–650
| doi=10.1215/S0012-7094-84-05129-9
| mr=0757954
}}
*{{Citation
| last=Rohrlich
| first=David
| contribution=Elliptic curves and the Weil–Deligne group
| title=Elliptic curves and related topics
| editor-last=Kisilevsky
| editor-first=Hershey
| editor2-last=Murty
| editor2-first=M. Ram
| year=1994
| isbn=978-0-8218-6994-9
| volume=4
| series=CRM Proceedings and Lecture Notes
| publisher=[[American Mathematical Society]]
}}
*{{citation|last=Tate|first= J. |chapter=Number theoretic background |url=http://www.ams.org/online_bks/pspum332/ |title=Automorphic forms, representations, and L-functions Part 2, |pages= 3–26|series=Proc. Sympos. Pure Math.|volume= XXXIII|publisher= Amer. Math. Soc.|publication-place= Providence, R.I.|year=1979|isbn=0-8218-1435-4}}
* {{Citation | last1=Weil | first1=André | author1-link = André Weil | title=Sur la theorie du corps de classes (On class field theory) | year=1951 | journal=Journal of the Mathematical Society of Japan | issn=0025-5645 | volume=3 | pages=1–35 | doi=10.2969/jmsj/00310001}}, reprinted in volume I of his collected papers, ISBN 0-387-90330-5

{{DEFAULTSORT:うえいゆくん}}
[[Category:類体論]]
[[Category:数学に関する記事]]