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'''ヴェブレン階層'''（ヴェブレンかいそう）とは、ヴェブレン関数の値からなる超限次元の[[行列]]であり、フェファーマン・シュッテの順序数 (&Gamma;<sub>0</sub>) より小さい[[順序数]]を表現する一般的な方法である。
任意の &Gamma;<sub>0</sub> より小さい順序数は、0 と[[加法|和]]とヴェブレン関数の組み合わせによって、有限に記述される。
[[オズワルド・ヴェブレン]]が1908年の論文にて紹介した<ref>{{citation|title= Continuous Increasing Functions of Finite and Transfinite Ordinals |first=Oswald |last=Veblen |journal= Transactions of the American Mathematical Society|volume= 9|issue= 3|year= 1908|pages=280–292 |doi= 10.2307/1988605|jstor=1988605}}</ref>。

==ヴェブレン階層とヴェブレン関数==
'''[[オズワルド・ヴェブレン|ヴェブレン]]関数''' φ は、[[可算]]な[[順序数]]の上に定義される二[[変数 (数学)|変数]][[関数 (数学)|関数]]で、最小の非可算な順序数を '''&Omega;''' で表すとき、ヴェブレン関数の値からなる '''&Omega;''' &times; '''&Omega;''' の超限次元の行列を特に'''ヴェブレン階層'''と呼ぶ。
ヴェブレン階層の &alpha; 行目、&beta; 列目の値を φ<sub>α</sub>(β) と書く。
ここでは、概略的な説明にとどめる。

まず、ヴェブレン階層の 0 行目に additive principal な順序数を[[整列集合|小さいものから順番に]]置く。
（すなわち、 φ<sub>0</sub>(α) = ω<sup>α</sup>）
次に、1 行目には、 φ<sub>0</sub>(α) = α をみたすような &alpha; を小さいものから順番に置く。
これらの順序数 φ<sub>1</sub>(α) を、特に &epsilon;<sub>&alpha; </sub> と書く。
例えば、 &epsilon;<sub>0</sub> は、<math>\omega^\alpha=\alpha</math> となる最小の順序数 <math>\alpha</math>で、直感的には<math>\omega^{\omega^{\omega^{\dots}}}</math> の値である。
ただし、ε<sub>0</sub><sup>ω</sup> = ε<sub>0</sub> ではないことに注意せねばならない。
従来の羃の表記よりは、右上から左下にかけて小さく書かれている方が、意味的には正しい。
&epsilon;<sub>1</sub> は、&epsilon;<sub>0</sub> より大きく ω<sup>α</sup> = α であるような最小の数 α で、 <math>\varepsilon_0+1,\ \omega^{\varepsilon_0+1},\ \omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}</math> の極限として与えられる。
一般に、[[極限順序数と後続順序数|後続順序数]] &alpha; + 1 に対して、ヴェブレン階層の &alpha;+1 列目は φ<sub>α</sub>(β) = β となるような &beta; が順番に置かれ、[[極限順序数と後続順序数|極限順序数]] &lambda; に対しては、それより上のすべての行に現れる順序数が順番に置かれる。

このように構成されたヴェブレン階層の値は、次のように比較することができる：
次のいずれかが成り立つ場合、 φ<sub>α</sub>(β) < φ<sub>γ</sub>(δ)。
* &alpha; = &gamma; かつ &beta; &lt; &delta;  
* &alpha; &lt; &gamma; かつ β < φ<sub>γ</sub>(δ)
* &alpha; &gt; &gamma; かつ φ<sub>α</sub>(β) < δ

== フェファーマン・シュッテの順序数 ==
'''[[ソロモン・フェファーマン|フェファーマン]]・[[クルト・シュッテ|シュッテ]]の順序数'''とは、&Gamma;<sub>0</sub> と書かれ、φ<sub>α</sub>(0) = α をみたすような最小の順序数 α のことである。任意の &Gamma;<sub>0</sub> より小さい順序数は、0 と和とヴェブレン関数の組み合わせによって、有限に記述される。

== 脚注 ==
<references />

== 関連項目 ==
* [[順序数]]
* [[極限順序数]]
* [[超限順序数]]
* [[最小の超限順序数]] {{math|ω}}
* [[エプシロン・ノート]] {{math|ε{{sub|0}}}} <math>\quad\psi\left(0\right)</math>
* {{math|ζ{{sub|0}}}} <math>\quad\psi\left(\Omega\right)</math>
* {{仮リンク|フェファーマン・シュッテの順序数|en|Feferman–Schütte ordinal}}（Feferman–Schütte ordinal）{{math|Γ{{sub|0}}}} <math>\quad\Gamma_0</math><math>\quad\vartheta\left(\Omega\right)</math><math>\quad\psi\left(\Omega^\Omega\right)</math>
* [[多変数ヴェブレン階層]]
** (有限)多変数に拡張されたヴェブレン階層
** 超限変数に拡張されたヴェブレン階層
* [[アッカーマン順序数]]（[[:en:Ackermann ordinal|Ackermann ordinal]]）{{math|''θ''(Ω{{sup|2}})}} <math>\quad\vartheta\left(\Omega^2\right)</math><math>\quad\psi\left(\Omega^{\Omega^2}\right)</math>
* [[小ヴェブレン順序数]]（[[:en:Small Veblen ordinal|small Veblen ordinal]]）{{math|''θ''(Ω{{sup|ω}})}} <math>\quad\vartheta\left(\Omega^{\omega}\right)</math><math>\quad\psi\left(\Omega^{\Omega^\omega}\right)</math>
* [[大ヴェブレン順序数]]（[[:en:Large Veblen ordinal|large Veblen ordinal]]）{{math|''θ''(Ω{{sup|Ω}})}} <math>\quad\vartheta\left(\Omega^{\Omega}\right)</math><math>\quad\psi\left(\Omega^{\Omega^\Omega}\right)</math>
* [[順序数崩壊関数]]（[[:en:Ordinal collapsing function|ordinal collapsing function]]）
* [[最小の非可算順序数]] {{math|Ω}}
* {{仮リンク|バッハマン・ハワード順序数|en|Bachmann–Howard ordinal}} <math>\quad\psi\left( \varepsilon_{\Omega+1} \right)</math>
* {{仮リンク|ブーフホルツのψ関数|en|Buchholz psi functions}} （[[ブーフホルツのプサイ関数]]）

== 外部リンク ==
* [https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%96%E3%83%AC%E3%83%B3%E9%96%A2%E6%95%B0 ヴェブレン関数 | 巨大数研究 Wiki | Fandom]

{{DEFAULTSORT:うえふれんかいそう}}
[[Category:順序構造]]
[[Category:数理論理学的階層]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]