ヴォイタ予想のソースを表示

{{要改訳|date=2015-10-10}}
数学では、'''ヴォイタ予想'''(Vojta's conjecture)は、{{仮リンク|ポール・ヴォイタ|en|Paul Vojta}}(Paul Vojta)1987により導入された、[[代数体]]上の[[代数多様体]]の点の高さについての予想である。予想は、[[ディオファントス近似]]と[[複素解析]]の[[ネヴァンリンナ理論]](Nevanlinna theory)（値分布論）の間の類似を動機としていた。ヴォイタ予想は、多くのディオファントス近似論やディオファントス方程式、数論幾何、ロジックの予想を含んでいる。

==予想の記述==
<math>F</math> を数体とし、<math>X/F</math> 非特異代数多様体、<math>D</math> を <math>X</math> 上の悪くとも正規交叉を持つ有効な[[因子]]、<math>H</math> を <math>X</math> の上の豊富な因子、<math>K_X</math> を <math>X</math> の標準因子とする。<math>h_H</math> と <math>h_{K_X}</math> をヴェイユの[[高さ函数]]を選び、<math>F</math> 上の各々の[[絶対値]] <math>v</math> に対し、局所高さ函数を <math>\lambda_{D,v}</math> とする。<math>F</math> の絶対値 <math>S</math> の有限集合を固定し、<math>\epsilon>0</math> とすると、上記の選択に依存しない定数  <math>C</math> と空でないザリスキー開集合 <math>U\subseteq X</math> が存在し、全ての <math>P\in U(F)</math> に対し、
::<math> \sum_{v\in S} \lambda_{D,v}(P) + h_{K_X}(P) \le \epsilon h_H(P) + C</math>
を満たす。

== 例 ==
:１、 <math>X=\mathbb{P}^N</math> とすると、<math>K_X\sim -(N+1)H</math> であるので、ヴォイタ予想からは、すべての<math>P\in U(F)</math> に対し、
::<math> \sum_{v\in S} \lambda_{D,v}(P) \le (N+1+\epsilon) h_H(P) + C</math>
:であることが分かる。
:２、 <math>X</math> を、例えば、[[K3曲面]]や[[カラビ・ヤウ多様体]]のような自明な標準バンドルを持つ多様体とすると、ヴォイタ予想は、<math>D</math> を有効な豊富な正規交叉の因子とすると、アフィン多様体 <math>X\setminus D</math> 上の <math>S</math>-整な点は、ザリスキー稠密ではないことを予言する。
:３、 <math>X</math> を[[一般型曲面|一般型]]の多様体、つまり、<math>K_X</math> が <math>X</math> のある空ではないザリスキー開集合上で豊富であるとすると、<math>S=\emptyset</math> に対し、ヴォイタ予想は、<math>X(F)</math> は <math>X</math> 上のザリスキー稠密でないことを予言する。この一般型多様体の命題は、{{仮リンク|ボンビエリ・ラング予想|en|Bombieri-Lang conjecture}}(Bombieri-Lang conjecture)である。

==一般化==
<math>P</math> が <math>X(\overline{F})</math> の上で変化するような一般化が存在し、体の拡大 <math>F(P)/F</math> の判別式とは独立な上限を持つ項が加わる。

非アルキメデス的な局所的高さ <math>\lambda_{D,v}</math> が消去された局所的高さと置き換わる一般化が存在する。この高さでは、多重度を無視することが可能である。これらのヴォイタ予想には、[[ABC予想]]の自然な高次元類似をもたらすバージョンもある。

==参考文献==
*{{Citation | last1=Vojta | first1=Paul | title=Diophantine approximations and value distribution theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-17551-3 | doi=10.1007/BFb0072989 | id={{MR|883451}} | year=1987 | volume=1239}}

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