ヴォルテラ作用素のソースを表示

[[数学]]の[[関数解析学]]および[[作用素論]]の分野における'''ヴォルテラ作用素'''（ヴォルテラさようそ、{{Lang-en-short|Volterra operator}}）とは、[[ヴィト・ヴォルテラ]]の名にちなむ、[[不定積分]]としての作用素のことを言う。区間 (0,1) 上の複素数値[[自乗可積分函数]]の空間 ''L''<sup>2</sup>(0,1) の上の[[有界線型作用素]]と見なされるもので、[[ヴォルテラ積分方程式]]と関係している。

== 定義 ==
ヴォルテラ作用素は、例えば関数 ''f''(''s'')&nbsp;∈&nbsp;''L''<sup>2</sup>(0,1) と値 ''t''&nbsp;∈&nbsp;(0,1) に対して、

:<math>V(f)(t) = \int_0^t{f(s)\, ds}</math>

のように定義される。

== 性質 ==
* ''V'' はヒルベルト空間の間の有界線型作用素であり、その[[エルミート共役]]は
::<math>V^*(f)(t) = \int_t^1{f(s)\, ds}</math>
:である。
* ''V'' は[[ヒルベルト＝シュミット作用素]]であり、したがって[[コンパクト作用素|コンパクト]]である<ref name='stackexchange_indefinite-integrators'>{{cite web|title=Spectrum of Indefinite Integral Operators (From stackexchange.com)|url=http://math.stackexchange.com/questions/151425/spectrum-of-indefinite-integral-operators|accessdate=2013-02-18}}</ref>。
* ''V'' には[[固有値]]が存在しないため、[[コンパクト作用素のスペクトル理論]]により、その[[スペクトル (関数解析学)|スペクトル]]は σ(''V'') = {0} となる<ref name='stackexchange_indefinite-integrators' />。
* ''V'' は{{仮リンク|冪零作用素|label=準冪零作用素|en|nilpotent operator}}（すなわち、[[スペクトル半径]] ''ρ''(''V'') がゼロ）であるが、[[冪零]]ではない。
* ''V'' の[[作用素ノルム]]はちょうど ||''V''|| = <sup>2</sup>⁄<sub>π</sub> となる<ref name='stackexchange_indefinite-integrators' />。

==参考文献==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:うおるてらさようそ}}
[[Category:作用素論]]
[[Category:数学に関する記事]]