ヴォルテラ積分方程式のソースを表示

[[数学]]における'''ヴォルテラ積分方程式'''（ヴォルテラせきぶんほうていしき、{{lang-en-short|''Volterra integral equation''}}）とは、[[積分方程式]]の一つの特別な形である。その形状により第一種と第二種に分かれる。

線型の第一種ヴォルテラ積分方程式は

:<math> f(t) = \int_a^t K(t,s)\,x(s)\,ds</math>

で与えられる。ここで ''&fnof;'' は与えられた関数であり、''x'' は求めるべき未知関数である。線型の第二種ヴォルテラ積分方程式は

:<math> x(t) = f(t) + \int_a^t K(t,s)x(s)\,ds </math>

で与えられる。

[[作用素論]]および[[フレドホルム理論]]において、上式と対応する方程式は[[ヴォルテラ作用素]]と呼ばれる。

線型のヴォルテラ積分方程式が

:<math> x(t) = f(t) + \int_{t_0}^t K(t-s)x(s)\,ds. </math>

で与えられるなら、それは[[畳み込み]]方程式である。この時、積分の中の関数 <math> K </math> は'''核'''と呼ばれる。このような方程式は、[[ラプラス変換]]の手法を用いることにより解析することが出来る。

ヴォルテラ積分方程式は[[ヴィト・ヴォルテラ]]により導入され、[[エミール・ピカール]]の指導のもと、{{仮リンク|トライアン・ラレスク|en|Traian Lalescu}}の1908年の学位論文「''Sur les équations de Volterra''」において研究された。ラレスクはその後、1911年に積分方程式に関する初の著書を執筆した。

ヴォルテラ積分方程式は、人口学や、粘弾性物質の研究、保険数学に現れる再生方程式などへと応用されている。

==参考文献==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
*Traian Lalescu, ''Introduction à la théorie des équations intégrales. Avec une préface de É. Picard'', [[Paris]]: [[Hermann (publishing house)|A. Hermann et Fils]], 1912. VII + 152 pp.
*{{MathWorld|title=Volterra Integral Equation of the First Kind
|urlname=VolterraIntegralEquationoftheFirstKind}}
*{{MathWorld|title=Volterra Integral Equation of the Second Kind
|urlname=VolterraIntegralEquationoftheSecondKind}}
*[http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ie.htm Integral Equations: Exact Solutions] at EqWorld: The World of Mathematical Equations
*{{Cite book | last1=Press | first1=WH | last2=Teukolsky | first2=SA | last3=Vetterling | first3=WT | last4=Flannery | first4=BP | year=2007 | title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing | edition=3rd | publisher=Cambridge University Press |  publication-place=New York | isbn=978-0-521-88068-8 | chapter=Section 19.2. Volterra Equations | chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=992}}

{{DEFAULTSORT:うおるてらせきふんほうていしき}}

{{integral}}
[[Category:解析学]]
[[Category:関数解析学]]
[[Category:積分方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]