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[[数学]]において'''一元体'''（いちげんたい、{{lang-en-short|''field with one element''}}）あるいは'''標数 1 の体''' {{lang|en|(''field of characteristic one'')}} とは、「ただひとつの元からなる有限体」と呼んでもおかしくない程に[[有限体]]と類似の性質を持つ数学的対象を示唆する仮想的な呼称である。しばしば、一元体を '''F'''<sub>1</sub> あるいは '''F'''<sub>un</sub><ref group="note">"[[:wikt:un|un]]" はフランス語で "1" の意味の単語であり、また一元体という対象がもつ数学的な豊かさへのわくわくする期待感を英語の[[:wikt:fun|fun]]と掛けたものともなっている。</ref> で表す。通常の[[抽象代数学]]的な意味での「ただひとつの元からなる体」は存在せず、「一元体」の呼称や「'''F'''<sub>1</sub>」といった表示はあくまで示唆的なものでしかないということには留意すべきである。その代わり、'''F'''<sub>1</sub> の概念は、抽象代数学を形作る旧来の材料である「集合と作用」が、もっとほかのより柔軟な数学的対象で置き換わるべきといった方法論を提供するものと考えられている。そういった新しい枠組みにおける理論で一元体を実現しているようなものは未だ存在していないが、[[標数]] 1 の体に類似した対象についてはいくつか知られており、それらの対象もやはり用語を流用して象徴的に一元体 '''F'''<sub>1</sub> と呼ばれている。なお、一元体上の数学は日本の[[黒川信重]]ら一部の数学者によって、[[絶対数学]]と呼ばれている。 '''F'''<sub>1</sub> が旧来の意味の体にならないことは、体が通常[[加法単位元]] 0 と[[乗法単位元]] 1 という二つの元を持つことから明らかである。制限を緩めて、ただひとつの元からなる[[環 (数学)|環]]を考えても、それは 0 = 1 のみからなる[[零環]] {{lang|en|(trivial ring)}} であり、零環の振舞いと有限体の振る舞いは大きく違うものになってしまう。提案されている多くの '''F'''<sub>1</sub> 理論では抽象代数学をすっかり書き換えることが行われており、[[ベクトル空間]]や[[多項式環]]といった旧来の抽象代数学でしばしば扱われる数学的対象は、その抽象化された性質とよく似た性質を持つ新しい理論における対応物で置き換えられている。このような理論によって新しい基礎付けのもと[[可換環論]]や[[代数幾何学]]の展開が可能となる。こういった '''F'''<sub>1</sub> についての理論の決定的な特徴のひとつは、新しい基礎付けのもとで古典的な抽象代数学で扱ったものよりも多くの数学的対象が扱えるようになり、そのなかに標数 1 の体であるかのように振舞う対象があるということである。 '''F'''<sub>1</sub> の数学的研究の可能性がはじめて示唆されたのは1957年、[[ジャック・ティッツ]]による[[射影幾何学]]における対称性と[[単体的複体]]の組合せ論の間の類似性の基礎についての論文 {{Harv|Tits|1957}} においてである。'''F'''<sub>1</sub> は[[非可換幾何学]]や[[リーマン予想]]の解明に関係するものとされている。'''F'''<sub>1</sub> に関する理論は数多く提案されているが、'''F'''<sub>1</sub> としてあるべき性質が全て満たされるような決定版といえるようなものが（その中にあれば）どれなのかは未だにわかっていない。 == 歴史 == 1957年にジャック・ティッツは、[[代数群]]と抽象[[単体的複体]]との関連を記述する[[建物 (数学)|ブリュア-ティッツのビル]]の理論を導入した。仮定の一つに「ビルが ''n''-次元抽象単体的複体で ''k'' < ''n'' ならば、ビルの任意の ''k''-単体は少なくとも三つの ''n''-単体を含まなければならない」という非自明性条件が課せられていた。これは古典的[[射影幾何学]]における「直線上には少なくとも三つの点が存在する」という条件の類似対応であるが、射影幾何の公理のうち先ほどの条件を「直線上の点は二つに限る」というもので置き換えた退化版の幾何学が存在する。この退化版の幾何学のビルの理論における対応物はアパートと呼ばれる。アパートはビルの理論において、ティッツが存在を予想した「退化版の幾何学から通常の射影幾何学に等しいものが構成できる」という理論と同様の役割を果たすものである。ティッツは、この幾何学は「標数 1 の体」上の幾何学であると述べている<ref>Tits, 1957</ref>。この類似対応によれば '''F'''<sub>1</sub> の基本性質のいくつかを記述することができるが、実際に構成することは可能ではなかった。 '''F'''<sub>1</sub> に対する別のアイデアは[[代数的数論]]から見出される。ヴェイユによる[[合同ゼータ関数#有限体上の曲線のリーマン予想|有限体上の代数曲線に対するリーマン予想]]の証明は、有限体 ''k'' 上の代数曲線 ''C'' からはじめて、積 ''C'' ×<sub>''k''</sub> ''C'' をつくり、その対角成分をみるものである。もし整数全体の成す集合 '''Z''' を何らかの体の上の代数曲線とみなすことができるならば、ヴェイユの方法で[[リーマン予想]]も証明できることになる。整数環 '''Z''' は[[クルル次元|一次元]]であり、曲線と呼べそうな気がしてくるが、実際には '''Z''' はどのような体上の[[体上の多元環|多元環]]にもならない。'''F'''<sub>1</sub> が満たすであろうと考えられている性質の一つは '''Z''' が'''F'''<sub>1</sub> 上の多元環となるというものである。そうすれば積 '''Z''' ×<sub>'''F'''<sub>1</sub></sub> '''Z''' を構成することができて '''Z''' に対するリーマン予想が有限体上の代数曲線に対するヴェイユの方法で証明することが望めるはずである。 さらに別な角度から、[[ディオファントス方程式]]を[[複素幾何学]]の道具立てを使って研究する[[アラケロフ幾何学]]に由来する '''F'''<sub>1</sub> のアイデアがある。この理論には、有限体と複素数との間の複雑な比較対応が含まれる。ここでの '''F'''<sub>1</sub> の存在は記述的な理由で有用である。 1993年に[[ユーリ・マニン]]は[[リーマンゼータ函数|ゼータ函数]]についての講義シリーズで、彼の '''F'''<sub>1</sub> 上の代数幾何学の展開を提示している<ref>Manin, 1995</ref>。マニンの示唆するところによれば、'''F'''<sub>1</sub> 上の代数多様体に付随するゼータ函数は非常に単純な記述を持ち、'''F'''<sub>1</sub> の[[K理論|グロタンディーク群]]は[[球のホモトピー群]]に関係があるだろうというのである。これに示唆を受けて何人かの数学者たちが '''F'''<sub>1</sub> に注意を向けることとなり、2000年に Zhu は '''F'''<sub>1</sub> として '''F'''<sub>2</sub> で和について 1 + 1 = 1(≠ 0) で置き換えたものを提案した<ref>Lescot, 2009</ref>。あるいは Deitmar は、'''F'''<sub>1</sub> は環の構造から加法を忘れて乗法について注目したもの（吸収元 0 付きの[[モノイド]]）として得られるべきものであると示唆している<ref>Deitmar, 2005</ref>。Toën と Vaquié は相対スキームに関するハキムの定理を構築し、対称モノイド圏を用いて '''F'''<sub>1</sub> を定義した<ref>Toën and Vaquié, 2005</ref>。ほかにも、Durov は可換代数的[[モナド (圏論)|モナド]]として<ref>Durov, 2008</ref>、また、Soulé は複素数体上の多元環とある種の環の圏からの函手を用いて<ref name="Soule1999">Soulé, 1999</ref>、Borger は有限体や整数環から[[descent (圏論)|descent]]を用いて<ref>Borger, 2009</ref>、'''F'''<sub>1</sub> を構成している。 近いところでは、[[アラン・コンヌ]]とその共同研究者たちが '''F'''<sub>1</sub> を[[非可換幾何学]]に結び付けている<ref>Connes, Consani, and Marcoli, 2009</ref>。 == 性質 == '''F'''<sub>1</sub> は以下のような性質をもつものであると信じられている。 * 任意の[[有限集合]]は '''F'''<sub>1</sub> 上の[[アフィン空間]]であり、また '''F'''<sub>1</sub> 上の[[射影空間]]でもある。 * 任意の[[基点付き集合]]は '''F'''<sub>1</sub> 上の[[ベクトル空間]]である<ref>[http://sbseminar.wordpress.com/2007/08/14/the-field-with-one-element Noah Snyder, The field with one element, Secret Blogging Seminar, 14 August 2007.]</ref>。 * 有限体 '''F'''<sub>''q''</sub> は '''F'''<sub>1</sub> の[[量子群| ''q''-量子化]]である。 * [[ワイル群]]は '''F'''<sub>1</sub> 上の単純代数群である。 *: 単純代数群に対する[[ディンキン図形]]が与えられたとき、その[[ワイル群]]<ref>[https://math.ucr.edu/home/baez/week187.html This Week's Finds in Mathematical Physics, Week 187]</ref>は '''F'''<sub>1</sub> 上の単純代数群である。 * Spec '''Z''' は '''F'''<sub>1</sub> 上の曲線である。 * 任意の群は '''F'''<sub>1</sub> 上の[[ホップ代数]]である。もっと一般に、代数的対象の図式として定義されるいかなる対象も、集合の圏において '''F'''<sub>1</sub>-類似物をもつ。 * 集合上の[[群作用|群 ''G'' の作用]]は '''F'''<sub>1</sub> 上の群の射影表現であり、これにより ''G'' は[[群ホップ代数]] '''F'''<sub>1</sub>[''G''] となる。 * '''F'''<sub>1</sub> 上の代数多様体は[[トーリック多様体]]であり、任意のトーリック多様体は '''F'''<sub>1</sub> 上の代数多様体を決定する<ref>Deitmar, 2006</ref>。 * '''F'''<sub>1</sub> 上の '''P'''<sup>''N''</sup> のゼータ函数は<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em"><math>\zeta(s) = s(s - 1)\cdots(s - N)</math></div>である<ref name="Soule1999"/>。 * '''F'''<sub>1</sub> の ''m''-次の ''K''-群 ''K''('''F'''<sub>1</sub>) は[[球スペクトル]]の ''m''-次[[安定ホモトピー群]]でなければならない<ref name="Soule1999"/>。 == ''q''-類似の ''q'' = 1 への特殊化 == [[集合]]上のさまざまな構造の[[q-類似]]が '''F'''<sub>''q''</sub> 上の射影空間の構造として得られ、''q'' = 1 へ特殊化することでもとの構造が '''F'''<sub>1</sub> 上の射影空間の構造として計算される。 ; 集合は射影空間である。: [[有限体]] ''F''<sub>''q''</sub> 上の (''n'' − 1)-次元[[射影空間]] '''P'''('''F'''<sub>''q''<sup>''n''</sup></sub>) = '''P'''<sub>''q''<sup>''n''−1</sup></sub> の元の個数は、[[q整数|''q''-整数]]<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em"><math>[n]_q := \frac{q^n-1}{q-1}=1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}</math></div>で与えられる<ref>[https://math.ucr.edu/home/baez/week183.html This Week's Finds in Mathematical Physics, Week 183, ''q''-arithmetic]</ref>。''q'' = 1 とすれば [''n'']<sub>''q''</sub> = ''n'' となる。 : この ''q''-整数の ''q''-冪和への展開は、射影空間の{{仮リンク|シューベルト胞|en|Schubert cell}}分解に対応する。 ; [[旗 (線型代数学)|旗]]の置換 : ''n'' 個の元からなる集合上の置換の総数は ''n!'' 個であり、<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em"><math>[n]_q! := [1]_q [2]_q \cdots [n]_q</math></div>を[[q階乗| ''q''-階乗]]とすれば、'''F'''<sub>''q''<sup>''n''</sup></sub> における極大旗の総数は [''n'']<sub>''q''</sub>! である。実際、集合上の置換は[[フィルター付き集合]]と考えることができ、旗はフィルター付きベクトル空間とかんがえることができる。たとえば、置換 (0, 1, 2) は {0} ⊂ {0, 1} ⊂ {0, 1 , 2} なるフィルター付けに対応する。 ; 部分集合は部分空間である: [[二項係数]] ''n''!/(''m''!(''n'' − ''m'')!) は ''n''-元集合の ''m''-元部分集合の総数を与え、[[q二項係数|''q''-二項係数]] [''n'']<sub>''q''</sub>!/([''m'']<sub>''q''</sub>![''n'' − ''m'']<sub>''q''</sub>!) は '''F'''<sub>''q''</sub> 上の ''n''-次元ベクトル空間における ''m''-次元部分空間の総数を与える。 : ''q''-二項係数の ''q''-冪の和への展開は、[[グラスマン多様体]]の[[シューベルト胞]]分解に対応する。 == 体の拡大 == 一元体の[[体の拡大|拡大体]]は、[[1の冪根]]の成す群として、あるいはもっと精密に（幾何構造をも考え合わせた）[[1の冪根からなる群スキーム]]として定義することができる。1 の ''n''-乗根全体の成す群 μ<sub>''n''</sub> は位数 ''n'' の巡回群に（自然でない）同型をもち、この同型は[[1の原始冪根]]の選び方に依存する<ref>Mikhail Kapranov, linked at The F_un folklore</ref>。一元体 '''F'''<sub>1</sub> の ''n''-次拡大体は :<math>\mathbb{F}_{1^n} = \mu_n</math> で与えられる。したがって、体 '''F'''<sub>1<sup>''n''</sup></sub> 上の ''d''-次元ベクトル空間とは、位数 ''dn'' の基点付き有限集合で 1 の冪根が自由に作用するものである。 この観点で[[有限体]] '''F'''<sub>''q''</sub> は ''q'' − 1 を割り切る任意の自然数 ''n'' に対する '''F'''<sub>1<sup>''n''</sup></sub> 上の ''d'' = (''q'' − 1)/''n'' 次元の多元環とみなせる。このことは、有限体 '''F'''<sub>''q''</sub> の単元群（これは 0 ではない ''q'' − 1 個の元からなる）が位数 ''q'' − 1 の巡回群であり、''q'' − 1 を割り切る位数をもつ巡回群に（冪指数を上げるものとして）自由に作用すること、および零元 0 が体の基点をあたえるという事実に対応する。 同様に実数体 '''R''' は '''F'''<sub>1<sup>2</sup></sub> 上の無限次元多元環である（これは実数体は 1 の冪根のうち ±1 を含むがほかは含まないことに対応する）。また、複素数体 '''C''' は（任意の 1 の冪根を含む）任意の自然数 ''n'' に対する '''F'''<sub>1<sup>''n''</sup></sub> 上のやはり無限次元の多元環である（これは複素数体が 1 の任意の冪根を含むことに対応する）。 このような見方では、体が 1 の冪根を含むことのみに依存する現象は '''F'''<sub>1</sub> の性質から来ているものとみなすことができる。たとえば、複素数値[[離散フーリエ変換]]や関連する '''Z'''/''n'''''Z'''-値[[数論的変換]]など。 == 関連項目 == * {{仮リンク|一元半群|en|Semigroup with one element}} == 注記 == {{reflist|group=note}} == 参考文献 == {{reflist}} == 関連文献 == * {{ Citation | last1 = Borger | first1 = James | title = Λ-rings and the field with one element | year = 2009 | url = http://de.arxiv.org/abs/0906.3146 }} * {{ Citation | last1 = Connes | first1 = Alain | author-link = Alain Connes | last2 = Consani | first2 = Caterina | last3 = Marcolli | first3 = Matilde | title = Fun with '''F'''<sub>1</sub> | journal = Journal of Number Theory | year = 2009 | url = https://arxiv.org/abs/0806.2401 }} * {{ Citation | last1 = Deitmar | first1 = Anton | chapter = Schemes over '''F'''<sub>1</sub> | book = Number Fields and Function Fields: Two Parallel Worlds | editor-last = van der Geer | editor-first = G. | editor2-last = Moonen | editor2-first = B. | editor3-last = Schoof | editor3-first = R. | series = Progress in Mathematics | volume = 239 | year = 2005 }} * {{ Citation | last1 = Deitmar | first1 = Anton | title = '''F'''<sub>1</sub>-schemes and toric varieties | year = 2006 | url = https://arxiv.org/abs/math/0608179 }} * {{ Citation | last1 = Durov | first1 = Nikolai | title = New Approach to Arakelov Geometry | year = 2008 | url = https://arxiv.org/abs/0704.2030 }} * {{ Citation | last1 = Lescot | first1 = Paul | title = Algebre absolue | year = 2009 | url = http://www.univ-rouen.fr/LMRS/Persopage/Lescot/algabsodef.pdf }} * {{ Citation | title = Algebraic groups over the field with one element | first = Oliver | last = Lorscheid | year = 2009 | url = https://arxiv.org/abs/0907.3824 }} * {{ Citation | last1 = Manin | first1 = Yuri | author-link = Yuri Manin | title = Lectures on zeta functions and motives (according to Deninger and Kurokawa) | journal = Astérisque | volume = 228 | issue = 4 | year = 1995 | pages = 121–163 }} * {{ Citation | last1 = López Peña | first1 = Javier | last2 = Lorscheid | first2 = Oliver | title = Mapping '''F'''<sub>1</sub>-land: An overview of geometries over the field with one element | year = 2009 | url = https://arxiv.org/abs/0909.0069 }} <!--* {{ Citation | last1 = Soulé | first1 = Christoph | title = On the field with one element (exposé à l'Arbeitstagung, Bonn, June 1999) | publisher = Preprint IHES | year = 1999 | url = http://www.ihes.fr/%7Esoule/f1-soule.pdf }}--> * {{ Citation | last1 = Soulé | first1 = Christoph | title = Les variétés sur le corps à un élément | year = 2008 | url = https://arxiv.org/abs/math/0304444v1 | language = French }} * {{ Citation | last1 = Tits | first1 = Jacques | chapter = Sur les analogues algébriques des groupes semi-simples complexes | title = Colloque d’algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 au 22 décembre 1956, Centre Belge de Recherches Mathématiques Établissements Ceuterick, Louvain | publisher = Librairie Gauthier-Villars | place = Paris | year = 1957 | pages = 261–289 }} * {{ Citation | last1 = Toën | first1 = Bertrand | last2 = Vaquié | first2 = Michel | title = Au dessous de Spec '''Z''' | url = http://arXiv.org/pdf/math/0509684v4 | year = 2005 }} == 外部リンク == *John Baez's This Week's Finds in Mathematical Physics: [https://math.ucr.edu/home/baez/week259.html Week 259] *[http://golem.ph.utexas.edu/category/2007/04/the_field_with_one_element.html The Field With One Element] at the ''n''-category cafe *[https://sbseminar.wordpress.com/2007/08/14/the-field-with-one-element/ The Field With One Element] at Secret Blogging Seminar *[http://www.neverendingbooks.org/index.php/looking-for-f_un.html Looking for F<sub>un</sub>] and [http://www.neverendingbooks.org/index.php/the-f_un-folklore.html The F<sub>un</sub> folklore], Lieven le Bruyn. *[http://www.ihes.fr/IHES/Scientifique/soule/ Conference at IHES on algebraic geometry over <math>\mathbf{F}_1</math>] *Vanderbilt conference on [http://www.math.vanderbilt.edu/~ncgoa/workshop2008.html Noncommutative Geometry and Geometry over the Field with One Element] ([http://www.math.vanderbilt.edu/~ncgoa/schedule_workshop08.pdf Schedule]) * [https://noncommutativegeometry.blogspot.com/2008/05/ncg-and-fun.html NCG and F_un], by [[Alain Connes]] and K. Consani: summary of talks and slides {{DEFAULTSORT:いちけんたい}} [[Category:代数幾何学]] [[Category:非可換幾何学]] [[Category:有限体]] [[Category:数学に関する記事]]
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