一様コーシー列のソースを表示

{{出典の明記| date = 2023-03}}
[[数学]]において、ある[[集合]] ''S'' から[[距離空間]] ''M'' への[[函数]][[列 (数学)|列]] <math>\{f_{n}\}</math> が'''一様コーシー'''（いちようコーシー、{{Lang-en-short|uniformly Cauchy}}）であるとは、次が成立することをいう：

* すべての <math>\varepsilon > 0</math> に対して、ある <math>N>0</math> が存在し、<math>m, n > N</math> であるならばすべての <math>x\in S</math> に対して <math>d(f_{n}(x), f_{m}(x)) < \varepsilon</math> が成立する。

また別の表現として、<math>m, n \to \infty</math> に対して <math>d_u (f_{n}, f_{m}) \to 0</math> というものがある。ここで <math>d_u</math> は二つの函数の間の一様距離で、次のように定義される：

:<math>d_{u} (f, g) := \sup_{x \in S} d (f(x), g(x)).</math>

== 収束条件 ==

''S'' から ''M'' への函数列 {''f''<sub>n</sub>} が「各点毎に」コーシーであるとは、各 ''x'' &isin; ''S'' に対して列 {''f''<sub>n</sub>(''x'')} が ''M'' 内の[[コーシー列]]であることをいう。これは一様コーシーよりも弱い条件である。

一般に、列は、各点毎にコーシーであっても各点毎に収束するとは限らず、また一様コーシーであっても一様収束するとは限らない。しかし、距離空間 ''M'' が[[完備距離空間|完備]]であるなら、各点毎にコーシーであるような任意の列は、''S'' から ''M'' へのある函数に各点毎に収束する。また同様に、任意の一様コーシー列はそのような函数に[[一様収束]]する。

一様コーシー性は、''S'' が只の集合ではなく[[位相空間]]であり、''M'' が完備距離空間である場合にも頻繁に用いられる。次の定理が成り立つ：

* ''S'' を位相空間とし、''M'' を完備距離空間とする。このとき、[[連続 (数学)|連続函数]] ''f''<sub>n</sub> : ''S'' &rarr; ''M'' からなる任意の一様コーシー列は、唯一つの連続函数 ''f'' : ''S'' &rarr; ''M'' に一様収束する。

== 一様空間への一般化 ==

ある集合 ''S'' から距離空間 ''U'' への函数列 <math>\{f_{n}\}</math> が'''一様コーシー'''であるとは、次が成り立つことをいう：

* すべての <math>x\in S</math> と任意の[[一様空間|近縁]] <math>\varepsilon</math> に対して、ある <math>N>0</math> が存在し、<math>m, n > N</math> であるなら <math>d(f_{n}(x), f_{m}(x)) < \varepsilon</math> が常に成り立つ。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|収束の様式|en|Modes of convergence (annotated index)}}

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[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]

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