一様凸空間のソースを表示

[[数学]]において'''一様凸空間'''（いちようとつくうかん、{{Lang-en-short|uniformly convex space}}）あるいは一様円形空間（uniformly rotund space）は、[[回帰的空間|回帰的]][[バナッハ空間]]の代表的な例である。一様凸性の概念は、1936年に{{仮リンク|ジェームス・A・クラークソン|en|James A. Clarkson}}によって初めて導入された。

== 定義 ==
'''一様凸空間'''とは、すべての <math>0<\varepsilon \leq 2</math> に対して、ある <math>\delta>0</math> が存在し、<math>\|x\| = 1</math>, <math>\|y\| = 1</math> を満たす二つの任意のベクトルに対して

:<math>\|x-y\|\geq\varepsilon</math>

ならば

:<math>\left\|\frac{x+y}{2}\right\|\leq 1-\delta</math>

が成立するような[[ノルム線型空間|ノルムベクトル空間]]のことをいう。直感的に、[[単位球]]の内側の線分の中心が、その線分が短すぎない限り、単位球のより内側に存在することをいう。

== 性質 ==
* {{仮リンク|ミルマン＝ペティスの定理|en|Milman–Pettis theorem}}によると、すべての一様凸[[バナッハ空間]]は[[回帰的空間|回帰的]]であるが、その逆は真ではない。
* <math> \{f_n\}_{n=1}^{\infty} </math> が一様凸バナッハ空間において <math> f </math> に弱収束する列で <math> \|f_n\| \to \|f\|</math> を満たすなら、<math> f_n </math> は <math> f </math> に強収束する: <math> \|f_n - f\| \to 0. </math>
* バナッハ空間 <math> X </math> が一様凸であるための必要十分条件は、その双対 <math> X^* </math> が{{仮リンク|一様滑らかな空間|label=一様滑らか|en|uniformly smooth space}}であることである。
* すべての一様凸空間は[[狭義凸空間|狭義凸]]である。

== 例 ==
* すべてのヒルベルト空間は一様凸である。
* 一様凸バナッハ空間のすべての閉部分空間は一様凸である。
* {{仮リンク|ハンナーの不等式|en|Hanner's inequality}}によると、[[Lp空間|L<sup>''p''</sup> 空間]]（<math>1<p<\infty</math>）は一様凸である。
* <math>L^\infty</math> は一様凸ではない。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|凸度と凸特性数|en|Modulus and characteristic of convexity}}
* [[凸函数]]
* {{仮リンク|一様に滑らかな空間|en|Uniformly smooth space}}

== 参考文献 ==
* {{Cite journal|first=J. A.|last=Clarkson|title=Uniformly convex spaces|journal=Trans. Amer. Math. Soc.|volume=40|year=1936|pages=396–414|doi=10.2307/1989630|jstor=1989630|issue=3|publisher=American Mathematical Society|postscript=<!--None-->}}.
* {{Cite journal|first=O.|last=Hanner|authorlink=:en:Olof Hanner|title=On the uniform convexity of <math>L^p</math> and  <math>l^p</math>|journal=Ark. Mat.|volume=3|year=1956|pages=239–244|postscript=<!--None-->|doi=10.1007/BF02589410}}.

*{{cite book
|author=Beauzamy, Bernard
|title=Introduction to Banach Spaces and their Geometry
|year=1985 |origyear=1982
|edition=Second revised
|publisher=North-Holland
|isbn=0-444-86416-4
}}
* {{cite journal
|doi=10.1007/BF02762802
|author=[[:en:Per Enflo|Per Enflo]]
|title=Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm
|journal=Israel Journal of Mathematics
|volume=13
|issue=3–4
|year=1972
|pages=281–288}}
* [[:en:Joram Lindenstrauss|Lindenstrauss, Joram]] and Benyamini, Yoav. ''Geometric nonlinear functional analysis'' Colloquium publications, 48. American Mathematical Society.

{{DEFAULTSORT:いちようとつくうかん}}
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[[Category:バナッハ空間]]
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