一様収束のソースを表示

[[数学]]の一分野である[[解析学]]において、'''一様収束'''（いちようしゅうそく、{{lang-en-short|uniform convergence}}）とは、[[各点収束]]よりも強い{{仮リンク|関数列の収束|en|Limit of a sequence|label=収束}}概念である。[[関数 (数学)|関数]][[列 (数学)|列]] {{math|(''f{{sub|n}}'')}} が極限関数 {{mvar|f}} に'''一様収束する''' (converge uniformly) とは、{{math|''f{{sub|n}}''(''x'')}} が {{math|''f''(''x'')}} へ収束する速さが {{mvar|x}} に依らないということである。

[[連続関数|連続性]]や[[リーマン積分|リーマン可積分性]]といった性質は、一様収束[[関数の極限|極限]]には引き継がれるが、各点収束極限に引き継がれるとは限らない。これは一様収束の重要性を浮かび上がらせている。
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== History ==
In 1821 [[Augustin Louis Cauchy]]  published a proof that a convergent sum of continuous functions is always continuous, to which [[Niels Henrik Abel]] in 1826 found purported counterexamples in the context of [[Fourier series]], arguing that Cauchy's proof had to be incorrect.  Completely standard notions of convergence did not exist at the time, and Cauchy handled convergence using infinitesimal methods.  When put into the modern language, what Cauchy proved is that a uniformly convergent sequence of continuous functions has a continuous limit. The failure of a merely pointwise-convergent limit of continuous functions to converge to a continuous function illustrates the importance of distinguishing between different types of convergence when handling sequences of functions.<ref>{{cite journal | url = http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086004000916 | doi=10.1016/j.hm.2004.11.010 | volume=32 | title=Exceptions and counterexamples: Understanding Abel's comment on Cauchy's Theorem | journal=Historia Mathematica | pages=453–480}}</ref>

The term uniform convergence was probably first used by [[Christoph Gudermann]], in an 1838 paper on [[elliptic functions]], where he employed the phrase "convergence in a uniform way" when the "mode of convergence" of a series <math>\textstyle{\sum_{n=1}^\infty f_n(x,\phi,\psi)}</math> is independent of the variables <math>\phi</math> and <math>\psi.</math> While he thought it a "remarkable fact" when a series converged in this way, he did not give a formal definition, nor use the property in any of his proofs.<ref>{{Cite book
|title=A history of analysis
|first=Hans Niels
|last=Jahnke
|publisher=AMS Bookstore
|year=2003
|isbn=978-0-8218-2623-2
|chapter=6.7 The Foundation of Analysis in the 19th Century: Weierstrass
|postscript=, [https://books.google.co.jp/books?id=CVRZEXFVsZkC&pg=PA184&redir_esc=y&hl=ja p. 184].
}}</ref>

Later Gudermann's pupil [[Karl Weierstrass]], who attended his course on elliptic functions in 1839–1840, coined the term ''gleichmäßig konvergent'' ({{lang-de|uniformly convergent}}) which he used in his 1841 paper ''Zur Theorie der Potenzreihen'', published in 1894. Independently a similar concept was used by [[Philipp Ludwig von Seidel]]<ref>{{cite book |last=Lakatos |first=Imre |authorlink=Imre Lakatos |title=[[Proofs and Refutations]]|year=1976|publisher=Cambridge University Press |pages=141 |isbn=0-521-21078-X}}</ref> and [[George Gabriel Stokes]] but without having any major impact on further development.{{Citation needed|date=December 2011}} [[G. H. Hardy]] compares the three definitions in his paper "Sir George Stokes and the concept of uniform convergence" and remarks: "Weierstrass's discovery was the earliest, and he alone fully realized its far-reaching importance as one of the fundamental ideas of analysis."

Under the influence of Weierstrass and [[Bernhard Riemann]] this concept and related questions were intensely studied at the end of the 19th century by [[Hermann Hankel]], [[Paul du Bois-Reymond]], [[Ulisse Dini]], [[Cesare Arzelà]] and others.-->

== 定義 ==
{{mvar|S}} を[[集合]]とし、各[[自然数]] {{mvar|n}} に対し {{math|''f{{sub|n}}'' : ''S'' → '''R'''}} を[[実数]]値関数とする。関数列 {{math|(''f{{sub|n}}''){{sub|''n''∈'''N'''}}}} が極限 {{math|''f'': ''S'' → '''R'''}} に'''一様収束'''するとは、任意の {{math|''ε'' > 0}} に対し、ある自然数 {{mvar|N}} が存在して、すべての {{math|''x'' ∈ ''S''}} とすべての {{math|''n'' ≥ ''N''}} に対して {{math2|{{abs|''f{{sub|n}}''(''x'') &minus; ''f''(''x'')}} < ''ε''}} が成り立つことである。

[[一様ノルム]] <math>\| f \|_\infty = \sup_{x \in S} |f(x)|</math> を考えると、{{mvar|f{{sub|n}}}} が {{mvar|f}} に一様収束することと <math>\lim_{n \to \infty} \| f_n - f \|_\infty = 0</math> は[[同値]]である。

関数列 {{math|(''f{{sub|n}}''){{sub|''n''∈'''N'''}}}} が {{mvar|f}} に'''局所一様収束'''するとは、距離空間 {{mvar|S}} のすべての点 {{mvar|x}} に対して、ある {{math|''r'' > 0}} が存在して、{{math|(''f{{sub|n}}'')}} が {{math|''B''(''x'', ''r'') ∩ ''S''}} 上一様収束することをいう。

=== 注意 ===
上記定義において「ある {{mvar|N}} が存在して」と「すべての {{mvar|x}} に対して」の順序を入れ替えると、列の[[各点収束]] (pointwise convergence) に同値な主張となることに注意しよう。各点収束の概念は次のように定義できる。関数列 {{math|(''f{{sub|n}}'')}} が極限 {{math|''f'' : ''S'' → '''R'''}} に各点収束するとは、
:すべての {{math|''x'' ∈ ''S''}} と全ての {{math|''ε'' > 0}} に対して、ある自然数 {{mvar|N}} が存在して、すべての {{math|''n'' ≥ ''N''}} に対して、{{math|{{abs|''f{{sub|n}}''(''x'') &minus; ''f''(''x'')}} < ''ε''}} が成り立つ
ことをいう。ここで {{mvar|x}} と {{mvar|ε}} の[[普遍量化子]]の順序は重要でないが、{{mvar|x}} の普遍量化子と {{mvar|N}} の[[存在量化子]]の順序は重要である。

一様収束の場合には、{{mvar|N}} は {{mvar|ε}} のみにしか依存してはいけないが、各点収束の場合には、{{mvar|N}} は {{mvar|ε}} と {{mvar|x}} の両方に依存してもよい。したがって一様収束ならば各点収束であることは平易である。逆は以下の例が示すように正しくない。{{mvar|S}} を[[単位区間]] {{math|[0, 1]}} とし、各自然数 {{mvar|n}} に対して {{math|''f{{sub|n}}''(''x'') {{=}} ''x{{sup|n}}''}} と定義する。すると {{math|(''f{{sub|n}}'')}} は、{{math|''x'' < 1}} のとき {{math2|''f''(''x'') {{=}} 0, ''f''(1) {{=}} 1}} によって定義される関数 {{mvar|f}} に各点収束する。この収束は一様ではない。なぜならば、例えば、{{math|''ε'' {{=}} {{sfrac|1|4}}}} に対し、定義で要求されるような {{mvar|N}} は存在しない。{{mvar|n}} について {{math|{{abs|''x{{sup|n}}''}} < ''ε''}} を解くと ''n'' > log ε / log ''x'' となるからである。これは {{mvar|ε}} だけでなく {{mvar|x}} にも依存している。また、{{mvar|x}} に依存しない {{mvar|n}} の上界を見つけることも不可能であることに注意しよう。任意の {{math|''ε'' > 0}} に対し、log ε / log ''x'' は {{mvar|x}} が {{math|1}} に近づくとき限りなく増大するからである。

=== 一般化 ===
一様収束の概念をすぐに関数 {{math|''S'' → ''M''}}, ここで {{math|(''M'', ''d'')}} は[[距離空間]]、に拡張できる。{{math|{{abs|''f{{sub|n}}''(''x'') &minus; ''f''(''x'')}}}} を {{math|''d''(''f{{sub|n}}''(''x''), ''f''(''x''))}} に置き換えればよい。

最も一般的な設定は関数 {{math|''S'' → ''X''}} の[[ネット (数学)|ネット]]の一様収束である。ここで {{mvar|X}} は[[一様空間]]である。ネット {{math|(''f{{sub|α}}'')}} が極限 {{math|''f'' : ''S'' → ''X''}} に''一様収束''するとは、{{mvar|X}} のすべての[[一様空間|近縁 (entourage)]] {{mvar|V}} に対し、ある {{math|''α''{{sub|0}}}} が存在して、全ての {{math|''x'' ∈ ''S''}} とすべての {{math|''α'' ≥ ''α''{{sub|0}}}} に対して、{{math|(''f{{sub|α}}''(''x''), ''f''(''x''))}} が {{mvar|V}} に入っていることをいう。上に述べた定理、連続関数の一様極限は連続、はこの設定においてもなお正しい。

=== 超実数の設定における定義 ===
一様収束は[[超実数]]の設定において簡易化された定義を持つ。関数列 {{mvar|f{{sub|n}}}} が {{mvar|f}} に一様収束するとは、{{math|''f''{{sup|*}}}} の定義域のすべての {{mvar|x}} と、すべての無限大超自然数 {{mvar|n}} に対して、{{math|{{SubSup|''f''|''n''|*}}}} が {{math|''f''{{sup|*}}}} に無限に近いことをいう（一様連続性の類似の定義は{{仮リンク|microcontinuity|en|microcontinuity}}を参照）。
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== Examples ==
Given a [[topological space]] ''X'', we can equip the space of [[bounded function|bounded]] [[real number|real]] or [[complex number|complex]]-valued functions over ''X'' with the [[uniform norm]] topology. Then uniform convergence simply means [[Limit of a sequence|convergence]] in the [[uniform norm]] topology.

The sequence  <math> f_n:[0,1]\rightarrow [0,1] </math> with <math> f_n(x):=x^n </math> converges pointwise but not uniformly:

: <math>\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x) = \begin{cases} 0, & x \in [0,1) \\ 1, & x=1. \end{cases} </math>

In this example one can easily see that pointwise convergence does not preserve differentiability or continuity. While each function of the sequence is smooth, that is to say that for all ''n'', <math>f_n\in C^{\infty}([0,1])</math>, the limit <math>\lim_{n\rightarrow \infty}f_n</math> is not even continuous.

=== Exponential function ===
The series expansion of the [[exponential function]] can be shown to be uniformly convergent on any bounded subset S of <math>\mathbb{C}</math> using the [[Weierstrass M-test]].

Here is the series:
::<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}.</math>

Any bounded subset is a subset of some disc <math>D_R</math> of radius R, centered on the origin in the [[complex plane]]. The Weierstrass M-test requires us to find an upper bound <math>M_n</math> on the terms of the series, with <math>M_n</math> independent of the position in the disc:
::<math>\left| \frac{z^n}{n!}\right|\le M_n     , \forall z\in D_R.</math>
This is trivial:
::<math>\left| \frac{z^n}{n!}\right| \le \frac{\left| z\right|^n}{n!} \le \frac{R^n}{n!}</math>
::<math>\Rightarrow M_n=\frac{R^n}{n!}.</math>

If <math>\sum_{n=0}^{\infty}M_n</math> is convergent, then the M-test asserts that the original series is uniformly convergent.

The [[ratio test]] can be used here:
::<math>\lim_{n \to \infty}\frac{M_{n+1}}{M_n}=\lim_{n \to \infty}\frac{R^{n+1}}{R^n}\frac{n!}{(n+1)!}=\lim_{n \to \infty}\frac{R}{n+1}=0</math>
which means the series over <math>M_n</math> is convergent.
Thus the original series converges uniformly for all <math>z\in D_R</math>, and since <math>S\subset D_R</math>, the series is also uniformly convergent on S.
-->

== 性質 ==
* すべての一様収束列は[[広義一様収束|コンパクト収束]]である。
* すべての局所一様収束列は[[コンパクト一様収束|コンパクト収束]]である。
* [[局所コンパクト空間]]に対して局所一様収束とコンパクト収束は同値である。
* 距離空間上の連続関数の列は、終域の距離空間が完備であれば、一様収束であることと[[一様コーシー列]]であることは同値である。

== 応用 ==
=== 連続性 ===
[[画像:Drini nonuniformconvergence SVG.svg|350px|thumb|定理における一様収束の代わりに各点収束を仮定した強い主張に対する反例。連続な緑色の関数 <math>\sin^n(x)</math> は非連続な赤色の関数に収束する。これは収束が一様でないときにしか起こり得ない。]]
もし {{mvar|S}} が実数における[[区間 (数学)|区間]]（より一般に[[位相空間]]）ならば、[[関数 (数学)|関数]] {{mvar|f{{sub|n}}}} や {{mvar|f}} の[[連続性]]を考えることができる。次は一様収束に関する重要な結果である。
: '''定理''' 区間 {{mvar|S}} 上の連続関数列 {{mvar|f{{sub|n}}}} が関数 {{mvar|f}} に一様収束するならば、関数 {{mvar|f}} も {{mvar|S}} 上で連続である。 
この定理の証明は "<math>\epsilon/3</math> trick" の典型例である：目的の不等式 (<math><\epsilon</math>) を証明するために、連続性や一様収束の定義から3つの不等式 (<math><\epsilon/3</math>) を導き、それらを[[三角不等式]]により組合せることで、求める不等式を得る。

連続関数列の各点収束極限は連続とは限らないので（右図）、この定理は重要である。

より精密にはこの定理は、[[一様連続]]関数列の一様収束極限は一様連続であると述べている。[[局所コンパクト空間]]において連続性は局所一様連続性と同値なので、連続関数列の一様収束極限は連続である。

=== 微分 ===
区間 {{mvar|S}} 上の関数列 {{mvar|f{{sub|n}}}} が[[微分可能]]で関数 {{mvar|f}} に収束するとき、{{mvar|f}} の導関数を関数列 {{mvar|f{{sub|n}}}} の導関数の極限として得たい。ところが、これは一般には不可能である。たとえ収束が一様であったとしても、極限関数は微分可能とは限らない。さらに微分可能であったとしても、極限関数の微分が関数列の微分の極限と一致するとも限らない。例えば <math>f_n (x) = \tfrac{1}{n} \sin(nx)</math> は一様極限が {{math|0}} であるが、その微分は {{math|0}} に収束しない。関数列の極限と関数列の微分の極限の関係を保証するには、関数列の微分の一様収束に加えて、 少なくとも一点での収束が必要となる。厳密な主張は次のようになる<ref>Rudin, Walter. ''Principles of Mathematical Analysis'' Third edition. 1976. McGraw-Hill International editions.</ref>。
: '''定理''' 区間 {{math|[''a'', ''b'']}} 上で微分可能な関数列 {{mvar|f{{sub|n}}}} に対し、区間 {{math|[''a'', ''b'']}} 上のある点 {{math|''x''{{sub|0}}}} において {{math|''f{{sub|n}}''(''x''{{sub|0}})}} は収束し、関数列 {{math|(''f{{sub|n}}''&prime;)}} は区間 {{math|[''a'', ''b'']}} 上で一様収束すると仮定する。このとき関数列 {{mvar|f{{sub|n}}}} は関数 {{mvar|f}} に一様収束し、{{math|''x'' ∈ [''a'', ''b'']}} に対して <math>f'(x) = \lim_{n \to \infty} {f_n}'(x)</math> が成り立つ。

=== 積分 ===
微分の場合と同様に、積分と極限の交換をしたいことがある。[[リーマン積分]]に対しては、一様収束を仮定すればよい：
: '''定理''' [[コンパクト空間|コンパクト]]な区間 {{mvar|I}} 上で定義されたリーマン可積分関数列 {{mvar|f{{sub|n}}}} が極限 {{mvar|f}} に一様収束するならば、{{mvar|f}} もリーマン可積分であり <math>\textstyle \int_I f(x) \, dx = \lim\limits_{n \to \infty} \int_I f_n(x) \, dx</math> が成り立つ。
系として、特にコンパクトな区間 {{mvar|I}} 上で定義されたリーマン可積分関数列 {{mvar|f{{sub|n}}}} に対して、[[部分和]]が級数 <math>\textstyle f = \sum\limits_{n=1}^\infty f_n</math> に一様収束しているならば <math>\textstyle \int_I f(x) \, dx = \sum\limits_{n=1}^\infty \int_I f_n(x) \, dx</math> と項別積分できる。
<!-- %% 未訳出部分。後半は英語版の最新版では既に除去されている（から、別にわざわざ訳さなくともよいかも）。
Much stronger theorems in this respect, which require not much more than pointwise convergence, can be obtained if one abandons the Riemann integral and uses the [[Lebesgue integration|Lebesgue integral]] instead.

: If <math>\scriptstyle S</math> is a [[compact space|compact]] interval (or in general a compact topological space), and <math>\scriptstyle (f_n)</math> is a [[monotonic|monotone increasing]] sequence (meaning <math>\scriptstyle f_n(x) \leq f_{n+1}(x)</math> for all ''n'' and ''x'') of ''continuous'' functions with a pointwise limit <math>\scriptstyle f</math> which is also continuous, then the convergence is necessarily uniform ([[Dini's theorem]]). Uniform convergence is also guaranteed if <math>\scriptstyle S</math> is a compact interval and <math>\scriptstyle(f_n)</math> is an [[equicontinuity|equicontinuous]] sequence that converges pointwise.-->

=== 解析性 ===
[[複素平面]]の[[領域 (解析学)|領域]] {{mvar|S}} 上で定義された[[解析関数]]列の一様収束極限もまた {{mvar|S}} 上で解析的である。実数における区間上で定義された解析関数列の一様収束極限は微分可能とさえ限らないので、これは複素関数は実関数よりも良い振る舞いをすることを示している。

=== 級数 ===
{{節stub|date=2019-07-14}}<!--
=== To series ===
We say that <math>\textstyle\sum_{n=1}^\infty f_n</math> converges:

i) pointwise on E if and only if the sequence ''s''<sub>''n''</sub> converges where ''s''<sub>''n''</sub>(x) is the sequence of partial sums.

ii) uniformly on E if and only if ''s''<sub>''n''</sub>(x) converges uniformly as n goes to infinity.

iii) absolutely on E if and only if <math>\textstyle\sum_{n=1}^\infty |f_n|</math> converges for each x in E.

With this definition comes the following result:
Theorem: Let ''x''<sub>0</sub> be contained in the set E and for each  ''f''<sub>''n''</sub> is continuous at  ''x''{{sub|0}}. If f = <math>\textstyle\sum_{n=1}^\infty f_n </math> converges uniformly on E then f  is continuous at ''x''{{sub|0}} in E. 
Suppose that E = {{closed-closed|a, b}} and each ''f''<sub>''n''</sub> is integrable on {{closed-closed|a, b}}. If  <math>\textstyle\sum_{n=1}^\infty f_n </math> converges uniformly on  {{closed-closed|a, b}} then f is integrable on  {{closed-closed|a, b}}  and the series of integrals of  ''f{{sub|n}}'' is equal to integral of the series of ''f{{sub|n}}''. This is known as term by term integration.-->

== 概一様収束 ==
関数の定義域が[[測度空間]] {{mvar|E}} であれば、関連概念である'''概一様収束''' (almost uniform convergence) が定義できる。関数列 {{math|(''f{{sub|n}}'')}} が {{mvar|E}} 上概一様収束するとは、すべての {{math|''δ'' > 0}} に対して、測度が {{mvar|δ}} よりも小さい可測集合 {{mvar|E{{sub|δ}}}} が存在して、関数列 {{math|(''f{{sub|n}}'')}} が {{math|''E'' &minus; ''E{{sub|δ}}''}} 上一様収束することである。言い換えれば、概一様収束は、補集合上関数列が一様収束になるようないくらでも小さい測度の集合が存在することを意味する。

列の概一様収束は、名前から誤って予想されるかもしれないが、列が[[ほとんどいたるところ]]一様収束することを意味するわけではないことに注意する。

{{仮リンク|エゴロフの定理|en|Egorov's theorem}}は測度有限の空間上{{仮リンク|各点収束#ほとんどいたるところ収束|en|Pointwise convergence#Almost everywhere convergence|label=ほとんどいたるところ収束する|preserve=1}}関数列は同じ集合上概一様収束もすることを保証する。

概一様収束ならば{{仮リンク|ほとんどいたるところ収束|en|almost everywhere convergence}}および[[測度収束]]である。

== 関連項目 ==
*{{仮リンク|Modes of convergence (annotated index)|en|Modes of convergence (annotated index)}}
*[[ディニの定理]]

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* [[Konrad Knopp]], <cite>Theory and Application of Infinite Series</cite>; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
* [[G. H. Hardy]], <cite>Sir George Stokes and the concept of uniform convergence</cite>; [[Proceedings of the Cambridge Philosophical Society]], '''19''', pp.&nbsp;148–156 (1918)
* [[Bourbaki]]; <cite>Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5–10 (Paperback)</cite>; ISBN 0-387-19374-X
* [[Walter Rudin]], <cite>Principles of Mathematical Analysis</cite>, 3rd ed., McGraw–Hill, 1976.
* [[Gerald Folland]], Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.
*[[William Wade]], <cite> An Introduction to Analysis </cite>, 3rd ed., Pearson, 2005

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM|title=Uniform convergence|urlname=Uniform_convergence}}
* {{planetmath reference|id=3700|title=Uniform convergence}}
* {{planetmath reference|id=6209|title=Limit point of function}}
* {{planetmath reference|id=4986|title=Converges uniformly}}
* {{planetmath reference|id=2311|title=Convergent series}}
* [http://amath.colorado.edu/courses/5350/2002fall/uniform.html Graphic examples of uniform convergence of Fourier series] from the University of Colorado

{{DEFAULTSORT:いちようしゆうそく}}
[[Category:微分積分学]]
[[Category:級数]]
[[Category:関数空間の位相]]
[[Category:収束]]
[[Category:数学に関する記事]]