一様連続のソースを表示

[[ファイル:Definition of Uniform continuity.gif|サムネイル|右|一様連続性の定義のアニメーション。[[ε-δ論法]]における {{mvar|δ}} が<u>点 {{mvar|a}} に依存せず</u>（＝「'''一様に'''」）定められなければならないという点で通常の[[連続関数|連続性]]よりも強い定義である。]]
'''一様連続'''（いちようれんぞく、{{lang-en-short|uniformly continuous}}）とは、[[数学]]における[[関数 (数学)|関数]]の[[連続関数|連続性]]を強めたもので、[[イプシロン-デルタ論法]]によって定式化される。直観的には「[[グラフ (関数)|グラフ]]を横に少しずらしても縦のずれが一様に小さいこと」とも言える<ref>{{Cite web|和書|url=http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~hashimot/oldessays/unfcnt.html |title=橋本 義武 Yoshitake Hashimoto さらに以前の雑文集 |author=橋本義武 |date=1999-04-24 |accessdate=2021-02-07}}</ref>。

大雑把に言って、関数の一様連続性とは、引数 {{mvar|x}} の変化が小さいと関数値 {{math|''f''(''x'')}} の変化も<u>一様に</u>小さいことを指す。このとき、{{math|''f''(''x'')}} の変化の度合いは {{mvar|x}} の変化の度合いにのみ依存し、{{mvar|x}} の値にはよらない。つまり、{{mvar|f}} の定義域で {{math|''x''{{sub|1}}}} と {{math|''x''{{sub|2}}}} が十分に近ければ（{{mvar|x}} の値によらず）、{{math|''f''(''x''{{sub|1}})}} と {{math|''f''(''x''{{sub|2}})}} は近くなることである。

一様連続ならば連続であるが、逆は一般には成り立たない。しかし定義域が[[有界]][[区間 (数学)|閉区間]]であれば、その区間上連続な関数は一様連続であることが知られている（[[ハイネ・カントールの定理]]）。

一様連続性の定義は[[ユークリッド空間]]や、それを一般化した概念である[[距離空間]]において定義される。さらに一般に[[一様空間]]上でも定義可能である。

== 定義 ==
以下では距離空間における定義を述べるが、ユークリッド空間における定義は、以下の ''X'', ''Y'' をそれぞれ '''R'''{{sup|''m''}}, '''R'''{{sup|''n''}} とし、[[距離関数]] {{math2|''d{{sub|X}}'', ''d{{sub|Y}}''}} をそれぞれ '''R'''{{sup|''m''}}, '''R'''{{sup|''n''}} 上の[[ユークリッド距離]]で与えればよい。

;定義
<math>(X,d_X),\,(Y,d_Y)</math> を[[距離空間]]とするとき、関数 <math>f \colon X \to Y</math> が'''一様連続'''であるとは、次を満たすことである：
:<math>{}^{\forall} \varepsilon>0, {}^{\exists} \delta>0\;;\; ({}^{\forall} p,q\in X \;;\; d_X(p,q)<\delta), d_Y(f(p),f(q))<\varepsilon</math>

[[File:Parabola2.svg|thumb|200px|実数上で定義された2次関数 {{math|''f'': ''x'' &mapsto; ''x''{{sup|2}}}} は<u>一様連続ではない</u>。実際、関数の値の変化は、どれほど変数の値の変化が小さくとも、変数が原点から遠ざかればいくらでも大きくなる。]]
;性質
* 関数が連続であるからといって一様連続とは限らない。例えば、二乗する演算 <math>x\in\mathbb{R}\mapsto x^2\in\mathbb{R}</math> や逆数を取る演算 <math>x\in(0,\infty)\mapsto \tfrac{1}{x} \in \mathbb{R}</math> は定義域で連続であるが、一様連続ではない。
* {{math2|''f'' : ''X'' → ''Y'', ''g'' : ''Y'' → ''Z''}} が共に一様連続ならば、その合成写像 {{math2|''g'' ∘ ''f'' : ''X'' → ''Z''}} も一様連続である。

=== 一様空間 ===
[[位相空間]]の間の[[連続写像]]が位相的性質を保つように、一様空間の間の一様的性質を保つ写像は'''一様連続'''写像と呼ばれる。一様連続性は厳密には次のように定義される<ref name="shibata240">『集合と位相空間』柴田敏男著、共立出版。p.240</ref>：

;定義
''f'' を[[一様空間]]''X'' から一様空間''Y'' への写像とする時、''f'' が'''一様連続''' であるとは以下の性質を満たすことをいう：''Y'' の任意の近縁 ''V'' に対し''X'' の適切な近縁''U'' を取れば全ての ''x'', ''y'' ∈''X'' に対し、
: <math>(x,y)\in U \Rightarrow (f(x),f(y))\in V</math>。
特に ''f'' が全単射で ''f'', ''f''{{sup|&minus;1}} がいずれも一様連続であるとき、''f'' は'''一様同型''' であるという。

任意の一様連続写像は、一様性から誘導される位相に関して、必ず連続である<ref name="shibata240"/>。

一様空間と一様連続写像の全体は1つの[[圏 (数学)|圏]]を成す。一様空間の間の同型射は一様同型と呼ばれる。<!--

''d'' を、一様空間 ''X'' の準距離とすると、''d'' が積一様系に関し ''X'' × ''X'' において一様連続となるためには、
: ''r'' ＞ 0 ⇒ {(''x'',''y'') ∈ ''X'' × ''X'' | ''d''(''x'',''y'')) ＜ ''r''} ∈ ''V''
が必要十分である。-->

== コンパクト空間における一様連続性 ==
{{See also|ハイネ・カントールの定理}}
{{math theorem|1=
''f'': ''X'' → ''Y'' を[[コンパクト空間|コンパクト]]な一様空間 ''X'' から一様空間 ''Y'' への写像とする。このとき''f'' が連続なら一様連続である。
}}
定理で ''X'' も ''Y'' も[[距離空間]]である場合の証明は[[コンパクト空間]]の項目に記載されている。

一般の場合の証明は以下のとおりである。（証明中で使われている用語や記号の説明は[[一様空間]]の項目を参照。）なお基本的なアイデアは距離空間の場合の証明と同一である。

近縁''V''∈''Y'' × ''Y'' を任意に固定する。
すると一様空間の性質より、以下の性質を満たす近縁<math>\tilde{V}</math>が存在する：

: 任意の''y''{{sub|1}}, ''y''{{sub|2}}, ''y''{{sub|3}} ∈ ''Y'' に対し、<math>(y_1,y_2), (y_2,y_3) \in \tilde{V} \Rightarrow (y_1,y_3)\in V</math> ...(1)

一様空間''Y'' 上の位相の定義より、<math>\tilde{V}[f(x)]\cap\tilde{V}^{-1}[f(x)]</math>は''Y'' の開集合なので、''f'' の連続性により、任意の''x'' ∈ ''X''に対し''x'' のある近傍Wが存在し、<math>f(W)\subset \tilde{V}[f(x)]\cap\tilde{V}^{-1}[f(x)]</math>が成立する。
一様空間''X'' 上の位相の定義より、(''x'' に依存した)''X'' のある近縁<math>U_x</math>が存在し、<math>U_x[x] \subset W</math> が成立する。したがって

: <math>f(U_x[x]) \subset f(\tilde{V}[f(y)]\cap\tilde{V}^{-1}[f(x)])</math> ...(2)

が成立する。

再び一様空間の性質より、各''x'' ∈''X'' に対し以下の性質を満たす近縁<math>\tilde{U}_x</math>が存在する：

: 任意の''w'' <sub>1</sub>、''w'' <sub>2</sub>、''w'' <sub>3</sub>∈''X'' に対し、<math>(w_1,w_2), (w_2,w_3) \in \tilde{V} \Rightarrow (w_1,w_3)\in V</math> ...(3)

<math>\{\tilde{U}_x[x]\}_{x\in X}</math>は明らかに''X'' を被覆するので、''X'' のコンパクト性より、

: 有限部分族<math>\{\tilde{U}_{x_i}[x_i]\}_{i=1,\ldots,n}</math>で''X'' を被覆するものがある...(4)

一様空間の定義より有限個の近縁のUNIONは近縁なので、

: <math>W\underset{\mathrm{def}}{=}\bigcap_{i=1,\ldots,n} \tilde{U}_{x_i}</math>

は''X'' の近縁である。この近縁''W'' が性質

: <math>f(W)\subset V</math> ...(*)

を満たしていれば、''V'' の任意性により''f'' の一様連続性が言える。

そこで最後に(*)を示す。
任意に<math>(z,w)\in W</math> を選び固定する。(4)より、<math> w\in \tilde{U}_{x_j}[x_j]</math>を満たす''j'' が存在する。すなわち<math> (w,x_j)\in \tilde{U}_{x_j}</math>。

''W'' の定義より<math> (z,w)\in \tilde{U}_{x_j}</math>を満たすので(3)より<math> (z,x_j)\in U_{x_j}</math>、すなわち<math> z\in U_{x_j}[x_j]</math>が成立する。

以上で<math>z\in U_{x_j}[x_j]</math>、<math>w\in \tilde{U}_{x_j}[x_j]\subset U_{x_j}[x_j]</math>
が示されたので、(2)より<math>f(z), f(w)\in \tilde{V}[f(x_j)]\cap\tilde{V}^{-1}[f(x_j )]</math>。したがって(1)より<math>(f(z), f(w))\in V</math>。すなわち(*)が示され、その結果として''f'' の一様連続性が示された。□

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2016年2月|section=1}}
* ジョン・L.ケリー、児玉之宏訳 (1979)、位相空間、吉岡書店、ISBN 978-4-8427-0131-8

{{DEFAULTSORT:いちようれんそく}}
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[[Category:連続写像]]
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