一般ガウス・ボネの定理のソースを表示

'''一般ガウス・ボネの定理'''（Chern–Gauss–Bonnet theorem，'''チャーン・ガウス・ボネの定理'''とも呼ばれる）は、偶数次元の閉リーマン多様体の[[オイラー数|オイラー特性数]]を曲率から導かれるある多項式の積分として表す定理である。

''M'' を境界のない[[コンパクト空間|コンパクト]]な向き付け可能な 2''n'' 次元[[リーマン多様体]]とし、Ω を[[レヴィ・チヴィタ接続]]の[[曲率形式]]とする。これは、Ω が ''M'' 上の <math>\mathfrak s\mathfrak o(2n)</math> に値を持つ [[微分形式|2-形式]]であることを意味する。そのために、Ω は成分が 2-形式である反対称 2''n'' × 2''n'' 行列であるので、[[可換環]] <math>\wedge^{\hbox{even}}\,T^*M</math> 上の行列である。従って、2n-形式を成分にもつ[[パフィアン]] Pf(Ω) をとることができる。この状況で一般ガウス・ボネの定理は
:<math>\int_M \mbox{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)\ </math>
となる。ここで χ(M) は、''M'' の[[オイラー数]]を表す。この定理は、[[ガウス・ボネの定理]]の高次元化である。
==次元 4での例==
次元 <math>n=4</math> では、コンパクトな向き付けられた多様体に対し、

:<math>\chi(M)=\frac{1}{32\pi^2}\int_M\left(|Rm|^2-4|Rc|^2+R^2\right)d\mu  </math>

を得る。ここに Rm は全[[リーマン曲率テンソル]]で、Rc は[[リッチ曲率|リッチ曲率テンソル]]、R は[[スカラー曲率]]である。

==さらなる一般化==
2次元でのガウス・ボネの定理と同様に、一般次元においても ''M'' が[[多様体|境界を持つ多様体]]のときへ、一般化することができる。

ガウス・ボネの定理は[[特性類]]の理論の特別な状況とみなすことができる。ガウス・ボネの定理における被積分函数は[[オイラー類]]であり、オイラー類は最高次の微分形式であるので、閉形式である。オイラー類の自然性により、リーマン計量を変化させても同一のコホモロジー類のままであることがわかる。したがって、計量を変化させてもオイラー類の積分が一定であり、これが計量によらない微分構造の不変量を定める。

ガウス・ボネの定理のさらなる一般化は、[[アティヤ＝シンガーの指数定理]]である。D をベクトルバンドルの（弱）{{仮リンク|楕円型微分作用素|en|elliptic differential operator}}とする。これは D の[[微分作用素の表象|主表象]]が同型であることを意味する。（強い楕円性は、さらに主表象が[[正定値]]であることを意味する。）D<sup>*</sup> を[[随伴作用素]]とすると、指数は dim(ker(D)) - dim(ker(D<sup>*</sup>)) と定義され、楕円性によりこれは有限となる。指数定理は'''解析的指数'''は楕円型作用素をなめらかに変化させても一定であるという定理である。実際、解析的指数は'''位相的指数'''に等しく、これは特性類により表示される。2次元ガウス・ボネの定理は、位相指数が[[ベッチ数]]で定義され、解析的指数はガウス・ボネの被積分函数で定義される場合として解釈できる。

==関連項目==
*[[チャーン・ヴェイユ準同型]]
*[[陳省身]]
*[[ポントリャーギン類]]

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=Cycon  | first1=Hans
             | last2=Froese | first2=Richard 
             | last3=Kirsch | first3=Werner 
             | last4=Simon  | first4=Barry 
             | title=Schroedinger operators 
             | publisher=[[Springer-Verlag]] 
             | location=Berlin, New York 
             | edition=1st | isbn=3-540-16758-7 | year=1987}} Chapter 12
* {{Citation | last1=Chern | first1=Shiing-Shen
             | title=On the curvatura integra in Riemannian manifold
             | journal=[[Annals of Mathematics]]
             | volume=46|issue=4
             | year=1945 |jstor=1969203
             | pages=674–684 }}
::この文献は、チャーン・ガウス・ボネの定理が多様体が超曲面であることを仮定することなしに証明された初めてのものである。超曲面の場合は、1940年にアレドーファー(Allendoerfer)とヴェイユ(Weil)によりこの結果が示されていて、チャーンの論文に記載がある。

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