一般化されたストークスの定理のソースを表示

{{Calculus|Vector}}
'''一般化されたストークスの定理'''または'''ストークス-カルタンの定理'''<ref>{{Cite book| url=https://www.springer.com/gp/book/9789400745575|title=Physics of Collisional Plasmas – Introduction to {{!}} Michel Moisan {{!}} Springer|language=en}}</ref>とは、[[ベクトル解析]]や[[微分幾何学]]における[[多様体]]上の[[微分形式]]の[[積分]]についての定理であり、ベクトル解析におけるいくつかの定理の単純化および一般化である。これは[[アイザック・ニュートン|ニュートン]]の[[微分積分学の基本定理]]の一般化であり、2次元の線積分を3次元の面積分に関連付ける<ref>"The Man Who Solved the Market", Gregory Zuckerman, Portfolio November 2019, ASIN: B07P1NNTSD</ref>。

一般化されたストークスの定理によると、向き付け可能な多様体 {{math|&Omega;}} の[[境界 (位相空間論)|境界]] {{math|&part;&Omega;}} 上の微分形式 {{math|&omega;}} の積分は {{math|&Omega;}} 全体にわたるその[[外微分]] {{math|d&omega;}} の積分に等しい。すなわち
:<math>\int_{\partial \Omega} \omega = \int_\Omega \mathrm{d}\omega</math>
が成り立つ。

シンボリックに、この積分を積分領域と微分形式の[[内積]] {{math|(&middot;, &middot;)}} のように考えると、
:<math>(\omega, \partial\Omega)=(\mathrm{d}\omega, \Omega)</math>
と書ける。すなわち一般化されたストークスの定理は、領域の境界を取り出す演算子 {{math|&part;}} が外微分 {{math|d}} の[[随伴作用素]]になっていることを主張しているということもできる<ref>{{cite|和書 |editor= |author=本間利久|author2=五十嵐一，川口秀樹  |title=数値電磁力学 |edition= |publisher=森北出版 |year=2002 |isbn=4-627-71641-9  |page=59}}</ref>。

[[ヴィト・ヴォルテラ]]、{{仮リンク|エドゥアール・グルサ|en|Édouard Goursat}}、[[アンリ・ポアンカレ]]によるベクトル解析の定理の一般化に関する初期の研究に続き、一般化されたストークスの定理の現代的な定式化は1945年に[[エリ・カルタン]]によってなされた<ref>{{Cite book|title=Les Systèmes Différentiels Extérieurs et leurs Applications Géométriques| last=Cartan| first=Élie| publisher=Hermann|year=1945| location=Paris}}</ref><ref>{{Cite journal| last=Katz|first=Victor J.| date=1979-01-01| title=The History of Stokes' Theorem| jstor=2690275|journal=Mathematics Magazine| volume=52|issue=3|pages=146–156| doi=10.2307/2690275}}</ref><ref>{{Cite book |title=History of Topology |last=Katz |first=Victor J. |publisher=Elsevier |year=1999 |isbn=9780444823755|editor-last=James |editor-first=I. M. | location=Amsterdam | pages=111–122 | chapter=5. Differential Forms}}</ref>。

ストークスの定理のこの現代的な形式は、[[ケルビン卿]]が1850年7月2日付けの手紙で[[ジョージ・ストークス]]に伝えた[[ストークスの定理|古典的な結果]]の一般化である<ref>以下を参照:
* {{cite journal|first=Victor J.|last=Katz |date=May 1979|title=The history of Stokes' theorem|journal=Mathematics Magazine | volume=52 | issue=3|pages=146–156| doi=10.1080/0025570x.1979.11976770}}
* The letter from Thomson to Stokes appears in: {{cite book| url=https://books.google.com/books?id=YrjkOEdC83gC&pg=PA97| title=The Correspondence between Sir George Gabriel Stokes and Sir William Thomson, Baron Kelvin of Largs, Volume 1: 1846–1869| last2=Stokes|first2=George Gabriel| date=1990|publisher=Cambridge University Press| editor-last=Wilson|editor-first=David B.| location=Cambridge, England| pages=96–97| first1=William|last1=Thomson| isbn=9780521328319| author1-link=ウィリアム・トムソン|author2-link=ジョージ・ガブリエル・ストークス}}
* Neither Thomson nor Stokes published a proof of the theorem. The first published proof appeared in 1861 in: {{cite book |url=http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015035826760#page/34/mode/1up|title=Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten | last=Hankel|first=Hermann| date=1861|publisher=Dieterische University Buchdruckerei|location=Göttingen, Germany |pages=34–37|trans-title=On the general theory of the movement of fluids|author-link=ヘルマン・ハンケル}} Hankel doesn't mention the author of the theorem.
* In a footnote, Larmor mentions earlier researchers who had integrated, over a surface, the curl of a vector field. See: {{cite book|url=https://books.google.com/books?id=O28ssiqLT9AC&pg=PA320 | title=Mathematical and Physical Papers by the late Sir George Gabriel Stokes| last=Stokes|first=George Gabriel |date=1905|publisher=University of Cambridge Press |volume=5 |location=Cambridge, England |pages=320–321 |author-link=ジョージ・ガブリエル・ストークス|editor1-first=Joseph|editor1-last=Larmor|editor2-first=John William, Baron Rayleigh|editor2-last=Strutt}}</ref><ref>{{cite book| first=Olivier|last=Darrigol |title=Electrodynamics from Ampère to Einstein| page=146|isbn=0198505930 |location=Oxford, England|date=2000}}</ref><ref name=spivak65>Spivak (1965), p. vii, Preface.</ref>。ストークスはこの定理を1854年の[[スミス賞]]試験の質問として設定し、その結果、彼の名前が付けられた。最初に出版されたのは1861年に[[ヘルマン・ハンケル]]によってである<ref name=spivak65 /><ref>以下を参照：
* The 1854 Smith's Prize Examination is available online at: [http://www.clerkmaxwellfoundation.org/SmithsPrizeExam_Stokes.pdf Clerk Maxwell Foundation]. Maxwell took this examination and tied for first place with [[エドワード・ラウス|Edward John Routh]]. See: {{cite book|first1=James|last1=Clerk Maxwell|author-link=ジェームズ・クラーク・マクスウェル|editor-first=P.&nbsp;M.|editor-last=Harman|title=The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862|location=Cambridge, England|publisher=Cambridge University Press|date=1990|url=https://books.google.com/books?id=zfM8AAAAIAAJ&pg=PA237|page=237, footnote 2|isbn=9780521256254}} See also [[スミス賞|Smith's prize]] or the [http://www.clerkmaxwellfoundation.org/SmithsPrizeSolutions2008_2_14.pdf Clerk Maxwell Foundation].
* {{cite book|first=James|last=Clerk Maxwell|author-link=ジェームズ・クラーク・マクスウェル|title=A Treatise on Electricity and Magnetism|location=Oxford, England|publisher=Clarendon Press|date=1873|volume=1|url=https://books.google.com/books?id=92QSAAAAIAAJ&pg=PA27|pages=25–27}} In a footnote on page 27, Maxwell mentions that Stokes used the theorem as question 8 in the Smith's Prize Examination of 1854.  This footnote appears to have been the cause of the theorem's being known as "Stokes' theorem".</ref>。この古典的なケースは、3次元ユークリッド空間における曲面上のベクトル場 {{math|'''F'''}} の[[回転 (ベクトル解析)|回転]]の[[面積分]]（つまりcurl {{math|'''F'''}} の[[流束]]）を、曲面の境界上の[[ベクトル場]]の[[線積分]]（周回積分）に関連付けている。

ベクトル解析における[[発散定理]]や[[グリーンの定理]]のような[[微分積分学の基本定理]]の古典的な一般化は、微分形式（古典的な定理ごとに異なる）を標準的な方法でベクトル場とみなした場合の、上記の一般的な定理の特殊なケースである。

== 導入 ==
微分積分学の第二基本定理によると、区間 {{math|[''a'', ''b'']}} にわたる関数 {{mvar|f}} の積分は、{{mvar|f}} の[[不定積分]] {{mvar|F}} を見つけることによって次式で計算できる。
:<math>\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math>
一般化されたストークスの定理は、次の意味でこの定理を一般化したものである。
* {{mvar|F}} を選択すると {{math|1={{sfrac|d''F''|d''x''}} = ''f''(''x'')}} になる。微分形式の用語では、これは {{math|''f''(''x'') d''x''}} が0形式（つまり関数）{{mvar|F}} の外微分である、つまり {{math|1=d''F'' = ''f'' d''x''}} であることを意味する。一般化されたストークスの定理では {{mvar|F}} は0形式だけでなく、より高い次数の微分形式 {{math|&omega;}} に適用される。
* 閉区間 {{closed-closed|''a'', ''b''}} は境界を持つ1次元多様体の簡単な例である。その境界は2つの点 {{mvar|a}} と {{mvar|b}} の集合である。区間にわたる {{mvar|f}} の積分はより高次元の多様体上の積分の形式に一般化することができる。ただし2つの技術的条件が必要である：多様体は[[向き付け可能性|向き付け可能]]であることと、形式は[[コンパクト台|コンパクトな台]]を持ち積分が明確に定義されること。
* 2つの点 {{mvar|a}} と {{mvar|b}} は閉区間の境界を成す。一般化されたストークスの定理は、境界を持つ向き付けられた多様体 {{mvar|M}} に適用される。{{mvar|M}} の境界 {{math|&part;''M''}} はそれ自身も多様体であり、{{mvar|M}} から自然な向きが誘導される。たとえば、区間の自然な向きは2つの境界点の向きを与える。 直感的には、{{mvar|a}} と {{mvar|b}} は区間の反対側の両端にあるため、{{mvar|a}} は {{mvar|b}} とは反対の方向が誘導される。したがって、2つの境界点 {{math|''a'', ''b''}} で {{mvar|F}} を「積分」すると、差 {{math|''F''(''b'') − ''F''(''a'')}} となる。

さらに簡単に言えば、点を曲線の境界と、つまり1次元多様体の0次元境界と見なすことができる。したがって、0次元境界 {{math|{{mset|''a'', ''b''}}}} での不定積分 {{mvar|F}} を考慮することにより1次元多様体 {{math|[''a'', ''b'']}} 上の積分の値 ({{math|1=''f'' d''x'' = d''F''}}) を求めることができるのと同じように、いくつかの注意事項のもとで微分積分学の基本定理を一般化でき、{{mvar|n}} 次元多様体 {{math|&Omega;}} の {{math|(''n'' - 1)}} 次元境界 {{math|&part;&Omega;}} での不定積分 {{math|&omega;}} を考慮することで{{math|&Omega;}} 上の積分 {{math|d&omega;}} の値を与えることができる。

したがって、基本的な定理は次のように読み替えることができる：
:<math>\int_{[a, b]} f(x)\mathrm{d}x = \int_{[a, b]} \mathrm{d}F = \int_{\{a\}^- \cup \{b\}^+} F = F(b) - F(a).</math>

== 境界のある滑らかな多様体に対しての定式化 ==
{{math|&Omega;}}を向き付けられた[[可微分多様体|滑らかな]]境界を持つ {{mvar|n}} 次元多様体、{{mvar|&alpha;}} を {{math|&Omega;}} 上のコンパクトな台を持つ滑らかな {{mvar|n}} 形式とする。 まず、{{mvar|&alpha;}} が単一の向き付けられた[[位相多様体#座標チャート|座標チャート]] {{math|{{mset|''U'', &phi;}}}} の領域でコンパクトな台を持つと仮定する。 この場合、{{math|&Omega;}} 上の {{mvar|&alpha;}} の積分を、{{mvar|&alpha;}}から {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}への{{仮リンク|引き戻し (微分幾何学)|label=引き戻し|en|Pullback (differential geometry)}}を介して
:<math>\int_\Omega \alpha := \int_{\varphi(U)} (\varphi^{-1})^* \alpha</math>
と定義する。

より一般的に {{math|&Omega;}} 上の {{mvar|&alpha;}} の積分を定義する。{{math|{{mset|''&psi;<sub>i</sub>''}}}} を（一貫して方向付けられた）座標チャートの{{仮リンク|局所有限族|en|locally finite collection}}[[集合の被覆|被覆]] {{math|{{mset|''U<sub>i</sub>'', ''&phi;<sub>i</sub>''}}}} に関連付けられた[[1の分割]]とし、積分を
:<math>\int_\Omega \alpha := \sum_i \int_{U_i} \psi_i \alpha</math>
で定義する。ここで総和の各項は上述のように {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} に引き戻すことによって評価される。この量は[[Well-defined|明確に定義]]されている。つまり座標チャートの選択や1の分割には依存しない。

一般化されたストークスの定理は次のようになる。
{{math theorem|note=ストークス・カルタン|math_statement={{math|&omega;}} を、滑らかな境界付き {{mvar|n}} 次元多様体 {{math|&Omega;}}上の、コンパクトな台を持つ滑らかな {{math|(''n''-1)}} 形式であるとする。{{math|&part;&Omega;}} を {{math|&Omega;}} から誘導された向きを持つ {{math|&Omega;}} の境界とする。<math>i:\partial \Omega\hookrightarrow \Omega</math> は[[包含写像]]とする。このとき、
:<math display="block">\int_\Omega \mathrm{d}\omega = \int_{\partial \Omega} i^*\omega.</math>}}

包含写像による微分形式の引き戻しは単純にその領域への制限：<math>i^*\omega=\omega|_{\partial\Omega}</math> であるため、通常 <math display="inline">\int_{\partial\Omega} i^*\omega</math> は <math display="inline">\int_{\partial\Omega} \omega</math> と省略される。ここで {{math|d}} は外微分であり、多様体の構造のみを使用して定義される。{{math|(''n''-1)}} 次元多様体 {{math|&part;&Omega;}} が境界を持たないことを強調するために右辺は <math display="inline">\oint_{\partial\Omega} \omega</math> と書かれることもある<ref group=note>数学者にとってこの事実は既知であるため、周回積分の円の記号は冗長とされしばしば省略される。しかし、[[熱力学]]では<math>\oint_W\mathrm{d}_\text{total}U</math>がよく現れる（ここで全微分を外微分と混同しないこと）に注意する。積分経路 {{mvar|W}} は高次元多様体上の1次元の閉曲線である。つまり、熱力学での応用では、{{mvar|U}} はサンプルの温度 {{math|1=''&alpha;''<sub>1</sub> := ''T''}} 、体積 {{math|1=''&alpha;''<sub>2</sub> := ''V''}}、および電気分極 {{math|1=''&alpha;''<sub>3</sub> := ''P''}} の関数であり、
<math display="block">\mathrm{d}_\text{total}U = \sum_{i=1}^3 \frac{\partial U}{\partial\alpha_i}\mathrm{d}\alpha_i</math>
であり、円の記号は必要である。たとえば 「積分」仮定の異なる「微分」結果を考慮する場合
:<math>\oint_W \mathrm{d}_\text{total}U \stackrel{!}{=} 0</math> </ref>（この事実はストークスの定理を含意する。これは、与えられた滑らかな {{mvar|n}} 次元多様体 {{math|&Omega;}} に対して定理を2回適用すると、任意の {{math|(''n''-2)}} 形式 {{mvar|&omega;}} に対して <math display="inline">\int_{\partial(\partial \Omega)}\omega=\int_\Omega \mathrm{d}(\mathrm{d}\omega)=0</math>となり、これは {{math|1=&part;(&part;&Omega;) = &empty;}} を意味するからである）。応用において、右辺は''積分''法則を定式化するためによく使用され、左辺は等価な''微分''法則の定式化につながる。

この定理は、{{math|&Omega;}} がより大きな多様体（多くの場合 {{math|'''R'''{{sup|''k''}}}}）に埋め込まれた、向き付けられた部分多様体の上で {{mvar|&omega;}} が定義されている状況でよく使用される。

== トポロジーの準備; 鎖を介した積分 ==
{{mvar|M}} を滑らかな多様体とする。{{mvar|M}} の（滑らかな）特異 {{mvar|k}} -[[単体 (数学)|シンプレックス]]は、{{math|'''R'''{{sup|''k''}}}} の標準単体から {{mvar|M}} への滑らかな写像で定義される。{{mvar|M}} の特異 {{mvar|k}} {{仮リンク|鎖 (代数トポロジー)|label=鎖|en|chain (algebraic topology)}}の群 {{math|''C''<sub>''k''</sub>(''M'', '''Z''')}} は、{{mvar|M}} の特異な {{mvar|k}} 単体の集合上の[[自由アーベル群]]として定義される。これらの群は、境界写像 {{math|&part;}} とともに[[鎖複体]]を定義する。対応するホモロジー（または[[コホモロジー]]）群は、通常の[[特異ホモロジー]]群  {{math|''H''<sub>''k''</sub>(''M'', '''Z''')}}（または特異コホモロジー群 {{math|''H''<sup>''k''</sup>(''M'', '''Z''')}}）と同型であり、{{mvar|M}} の滑らかな単体ではなく連続な単体を使用して定義される。

一方、外微分 {{math|d}} を接続写像として持つ微分形式は、[[ド・ラームコホモロジー]]群 {{math|''H''{{su|b=dR|p=''k''}}(''M'', '''R''')}} を定義する余鎖複体を形成する。

微分 {{mvar|k}} 形式は、{{math|'''R'''{{sup|''k''}}}} に引き戻すことにより、自然な方法で {{mvar|k}} 単体上で積分できる。 線形性を使って拡張すると、鎖をまたいで積分できる。これにより、{{mvar|k}} 形式の空間から特異な余鎖の {{mvar|k}} 番目の群 {{math|''C<sup>k</sup>''(''M'', '''Z''')}} 、{{math|''C<sub>k</sub>''(''M'', '''Z''')}}上の線形汎関数への線形写像が得られる。 言い換えれば、{{mvar|k}} 形式 {{mvar|&omega;}} は {{mvar|k}} 鎖上で
:<math>I(\omega)(c) = \oint_c \omega</math>
で汎関数を定義する。一般化されたストークスの定理によれば、これはド・ラームコホモロジーから実係数の特異ホモロジーへの鎖写像である。外微分 {{math|d}} は微分形式の {{math|&part;}} の''双対''のように振る舞う。これにより、ド・ラームコホモロジーから特異ホモロジーへの準同型が得られる。
微分形式のレベルでは、これは

# 閉形式、つまり {{math | 1=d''&omega;'' = 0}} は''境界''にわたる積分、つまり多様体にわたる {{math|&part;{{sum|b=''c''}}''M<sub>c</sub>''}}、でゼロとなる
# 完全形式、つまり {{math|1=''&omega;'' = d''&sigma;''}} は、サイクル全体にわたる積分、つまり境界の合計が空集合になる場合：{{math|1={{sum|b=''c''}}''M<sub>c</sub>'' = &empty;}}、でゼロとなる
を意味する。

[[ド・ラームコホモロジー|ド・ラームの定理]]は、この準同型が実際には[[同型写像|同型]]であることを示している。したがって、上記の1と2の逆が成り立つ。言い換えると、{{math|{{mset|''c<sub>i</sub>''}}}} が {{mvar|k}} 番目のホモロジー群を生成するサイクルである場合、対応する実数 {{math|{{mset|''a''{{sub|''i''}}}}}} に対して閉形式 {{mvar|&omega;}} が存在し
:<math>\oint_{c_i}\omega={a_i}</math>
となる。この形式は一意で完全形式である。
滑らかな多様体上の一般化されたストークスの定理は、滑らかな多様体の鎖上のストークスの定理から導き出すことができ、その逆も可能である<ref>{{Cite book|title=Manifolds, Tensors, and Forms|last=Renteln|first=Paul|publisher=Cambridge University Press|year=2014| isbn=9781107324893|location=Cambridge, UK|pages=158–175}}</ref>。正式に述べると、後者は次のように述べている<ref>{{Cite book | title=Introduction to Smooth Manifolds|last=Lee|first=John M.|publisher=Springer|year=2013|isbn=9781441999818|location=New York |pages=481}}</ref>。
{{math theorem|note=鎖に対するストークスの定理|math_statement={{mvar|c}} を滑らかな多様体 {{mvar|M}} の滑らかな {{mvar|k}} 鎖、{{mvar|&omega;}} を {{mvar|M}} 上の滑らかな {{math|(''k''-1)}} 形式であるとする。この時次が成り立つ：
:<math>\int_{\partial c}\omega = \int_c \mathrm{d}\omega.</math>}}

== 根本原理 ==
[[Image:Stokes patch.svg|200px|left]]
位相幾何学的な議論を単純化するために、{{math|1=''d'' = 2}} 次元の例を検討することによって根本的な原理を調べてみる。本質的な考え方は左の図で理解できる。この図は、多様体の向き付けられたタイリングで、内部経路が反対向きに横切っていることを示している。したがって、経路積分へのそれらの寄与はペアの経路ごとに互いに打ち消し合い、結果として境界からの寄与のみが残る。したがって、十分に細かいタイリング（また単体でも同様）に対するストークスの定理を証明するだけで十分である。これは通常は難しいことではない。
{{Clear}}

== 古典的なベクトル解析の例 ==
{{math|''&gamma;'': [''a'', ''b''] → '''R'''<sup>2</sup>}} を[[区分的]]に滑らかな[[ジョルダン曲線]]とする。[[ジョルダン曲線定理]]によれば、{{math|&gamma;}} は {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} を2つの部分、つまり[[コンパクト空間|コンパクト]]な部分と非コンパクトな部分に分割する。{{math|''D''}} を {{math|&gamma;}} で囲まれたコンパクトな部分とし、{{math|''&psi;'': ''D'' → '''R'''<sup>3</sup>}} を滑らかな関数、{{math|1=''S'' := ''&psi;''(''D'')}} とする。{{math|&Gamma;}} を {{math|1=&Gamma;(''t'') = ''&psi;''(''&gamma;''(''t''))}}で定義される空間曲線<ref name=cgamma group=note>{{mvar|&gamma;}}と{{math|&Gamma;}}はどちらも閉曲線だが、{{math|&Gamma;}}は必ずしも[[ジョルダン曲線]]とは限らない。</ref>とし、{{math|'''F'''}} を {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} の滑らかなベクトル場とすると、次が成り立つ：<ref name="Jame">{{cite book |last=Stewart |first=James |url={{Google books |plainurl=yes |id=btIhvKZCkTsC |page=786 }} |title=Essential Calculus: Early Transcendentals |publisher=Cole |year=2010}}</ref><ref name="bath">This proof is based on the Lecture Notes given by Prof. Robert Scheichl ([[University of Bath]], U.K) [http://www.maths.bath.ac.uk/~masrs/ma20010/], please refer the [http://www.maths.bath.ac.uk/~masrs/ma20010/stokesproofs.pdf]</ref><ref name="proofwik">{{cite web |title=This proof is also same to the proof shown in |url=http://www.proofwiki.org/wiki/Classical_Stokes'_Theorem |access-date=2022-05-09}}</ref>
:<math>\oint_\Gamma \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{\Gamma}  = \iint_S \nabla\times\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}.</math>

この古典的なステートメントは一般的な定式化に対して、1形式をベクトル場と、2形式をその回転とみなした場合の特殊なケースである。
:<math>\begin{pmatrix}
F_x \\
F_y \\
F_z \\
\end{pmatrix}\cdot \mathrm{d}\Gamma \to F_x \mathrm{d}x + F_y \mathrm{d}y + F_z \mathrm{d}z,</math>
:<math>\begin{align}
&\nabla \times \begin{pmatrix}F_x \\ F_y \\ F_z\end{pmatrix} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} =
\begin{pmatrix}
\partial_y F_z - \partial_z F_y  \\
\partial_z F_x - \partial_x F_z \\
\partial_x F_y - \partial_y F_x  \\
\end{pmatrix} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} \\
&\to \mathrm{d}(F_x \mathrm{d}x + F_y \mathrm{d}y + F_z \mathrm{d}z) =  (\partial_y F_z - \partial_z F_y)\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z + (\partial_z F_x -\partial_x F_z)\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x + (\partial_x F_y - \partial_y F_x)\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y.\end{align}</math>

== ラフな集合への一般化 ==
[[Image:Green's-theorem-simple-region.svg|thumb|upright|180px|区分的に滑らかな境界を持つ領域（ここでは {{math|&Omega;}} ではなく {{mvar|D}}）。これは角のある多様体であるため、その境界は滑らかな多様体ではない。]]
上記の定式化は {{math|&Omega;}} が境界をもつ滑らかな多様体である場合であり、多くの応用では十分ではない。たとえば、右図のように積分領域が2つの {{mvar|x}} 座標と2つの関数のグラフの間の平面領域として定義されている場合、領域に角があることがある。このような場合、角の点は {{math|&Omega;}} が境界をもつ滑らかな多様体ではないことを意味し、上記のストークスの定理は適用できない。にもかかわらず、ストークスの定理の結論がまだ真であることを確認することは可能である。これは、{{math|&Omega;}} とその境界が小さな点の集合（測度0の集合）を除けば適切にふるまうためである。

ラフさを考慮したストークスの定理のバージョンは、ホイットニーによって示された<ref>Whitney, ''Geometric Integration Theory,'' III.14.</ref>。{{mvar|D}} が {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} の連結した境界のある開集合であると仮定する。{{mvar|D}} が次の特性を満たすとき、{{mvar|D}} を''標準ドメイン''と呼ぶ：{{math|&part;''D''}} の開いた部分集合 {{mvar|P}} が存在し、{{math|&part;''D''}} の補集合は{{仮リンク|ハウスドロフ測度|label=ハウスドルフ {{math|(''n''-1)}} -測度|en|Hausdorff measure}}がゼロである；そして {{mvar|P}} のすべての点が一般化された法線ベクトルを持つ。これは、ベクトル {{math|''v''(''x'')}} が最初の基底ベクトルになるように座標系を選択すると {{mvar|x}} の開近傍で滑らかな関数 {{math|''f''(''x''{{sub|2}}, ..., ''x{{sub|n}}'')}} が存在し、{{mvar|P}} がグラフ {{math|{{mset|''x''{{sub|1}} {{=}} ''f''(''x''{{sub|2}}, ..., ''x{{sub|n}}'')}}}} であり {{mvar|D}} が領域 {{math|{{mset|''x''{{sub|1}}: ''x''{{sub|1}} < ''f''(''x''{{sub|2}}, ..., ''x{{sub|n}}'')}}}} であるようなベクトル {{math|''v''(''x'')}} である。ホイットニーは、標準ドメインの境界はゼロハウスドルフ {{math|(''n''-1)}} -測度の集合と滑らかな {{math|(''n''-1)}} -多様体の有限和または可算和集合であり、それぞれが片側のみで領域と接すると述べている。次に彼は、{{mvar|D}} が {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} の標準ドメインである場合、{{math|&omega;}} は {{math|(''n''-1)}} 形式であり、連続的で、{{math|''D'' &cup; ''P''}} に制限され、{{mvar|D}} で滑らかで、{{mvar|P}} で積分可能であり、{{math|d&omega;}} が {{mvar|D}} で積分可能であるならば、そのときストークスの定理
:<math>\int_P \omega = \int_D \mathrm{d}\omega</math>

が成り立つことを証明した。

ラフな集合の測度論的性質の研究は{{仮リンク|幾何学的測度論|en|Geometric measure theory}}につながる。ストークスの定理のさらに一般的なバージョンがフェデラーとハリソンによって証明されている。<ref>{{cite journal|last=Harrison|first=J.|title=Stokes' theorem for nonsmooth chains|journal=Bulletin of the American Mathematical Society |series=New Series|volume=29|issue=2|date=October 1993| pages=235–243|doi=10.1090/S0273-0979-1993-00429-4|arxiv=math/9310231|bibcode=1993math.....10231H|s2cid=17436511}}</ref>

== 特別な場合 ==
微分形式を使用したストークスの定理の一般的な形式は、特殊な場合よりも強力で使いやすい。従来のバージョンは、微分幾何学の機構なしで[[デカルト座標]]を使用して定式化できるため、よりアクセスしやすい。さらに、それらはより古く、その結果、それらの名前はより親しみやすい。従来の形式は、実践的な科学者やエンジニアにはより便利であると見なされることがよくあるが、他の座標系（たとえば球座標や円筒座標などの使い慣れた座標系でさえ）を使用すると、従来の定式化の不自然さが明らかになる。名称の適用方法や二重の定式化の使用にも混乱が生じる可能性がある。

=== 古典的な（ベクトル解析の）場合 ===
{{Main|ストークスの定理|ケルビン・ストークスの定理}}
[[Image:Stokes' Theorem.svg|thumb|right|ベクトル解析によるストークスの定理の図。{{math|&Sigma;}} は表面、{{math|&part;&Sigma;}} はその境界、{{mvar|n}} はその法線ベクトル]]
これは 1形式の（二重化された）(1+1) 次元の場合である（ベクトル場に関するステートメントであるため、二重化されている）。この特殊ケースは多くの大学のベクトル解析入門コースでストークスの定理と呼ばれることが多く、物理学や工学で使用されている。 回転定理とも呼ばれる。

古典的なストークスの定理は、3次元ユークリッド空間の曲面 {{math|&Sigma;}} 上のベクトル場の回転の[[面積分]]を、その境界上のベクトル場の[[線積分]]に関連付ける。これは一般化されたストークスの定理の特殊なケース {{math|1=(''n'' = 2)}} であり、3次元ユークリッド空間の計量を使用してベクトル場は1形式とみなされる。線積分の経路曲線 {{math|&part;&Sigma;}} は正の方向を向いている必要がある。つまり曲面の[[法線ベクトル]] {{mvar|n}} がこの記事の読者の方を向いている場合 {{math|&part;&Sigma;}} は反時計回りを指す。

この定理の帰結の1つとして、回転がゼロのベクトル場に沿った曲線は閉曲線にすることができないことが言える。定理の公式は次のように書き直すことができる。

{{math theorem| 1 = {{math|1='''F''' = (''P''(''x'',''y'',''z''), ''Q''(''x'',''y'',''z''), ''R''(''x'',''y'',''z''))}} が滑らかな表面 {{math|&Sigma;}} を持つ領域で定義され、連続した1次偏導関数を持つと仮定する。そのとき
:<math> \iint_\Sigma \left[\left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \mathrm{d}z\mathrm{d}x + \left (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y\right]
  = \oint_{\partial\Sigma} (P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y + R\mathrm{d}z),</math>
ここで {{mvar|P, Q}} および {{mvar|R}} は {{mvar|'''F'''}} の成分であり、{{math|&part;&Sigma;}} は領域 {{math|&Sigma;}} の境界。}}

=== グリーンの定理 ===
[[グリーンの定理]]は、上で引用した {{mvar|P, Q}} および {{mvar|R}} から、両辺の第3項の積分として直ちに示される。

==== 電磁気学における応用 ====
[[マクスウェル方程式]]の4本の式のうち2本は3次元ベクトル場の回転を含み、それらの微分形と積分形はストークスの定理の特別な3次元（ベクトル解析）の場合に関連している。境界が移動するケースを回避するように注意する必要があり、時間偏微分はそのようなケースを除外するためにある。移動する境界が含まれる場合、積分と微分の交換により、以下の結果に含まれない境界運動に関連する項が導入される（[[ライプニッツの積分法則|積分記号の下の微分]]を参照）。
{| class="wikitable" border="1"
! 名称
! 微分形
! 積分形 (3次元ストークスの定理と相対論的不変性を使用して、{{math|∫ {{sfrac|&part;|&part;''t''}} ... → {{sfrac|d|d''t''}} ∫ ...}})
|- valign="center"
| マクスウェル・ファラデーの式<br> [[ファラデーの電磁誘導の法則]]
| style="text-align: center;" | <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>
| style="text-align: center;" | <math>\begin{align}
\oint_C \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} &= \iint_S  \nabla \times \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} \\
&= -\iint_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}
\end{align} </math>
({{mvar|C, S}} は静止している必要はない)
|- valign="center"
| [[アンペールの法則]]<br /> (マクスウェルによる拡張)
| style="text-align: center;" | <math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}</math>
| style="text-align: center;" | <math>\begin{align}
\oint_C \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} &= \iint_S \nabla \times \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}\\ &= \iint_S \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} + \iint_S \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}
\end{align} </math>
({{mvar|C, S}} は静止している必要はない)
|}
<!--（以下の文章は数学的には重要でないので省略）
上記のマクスウェルの方程式のサブセットは、[[SI単位系]]で表される電磁場に対して有効である。[[CGS単位系]]や[[ガウス単位系]]などの他の単位系では、項のスケーリング係数が異なる。たとえばガウス単位系ではファラデーの電磁誘導の法則とアンペールの法則は次の形を取る<ref>{{cite book|first=J.&nbsp;D.| last=Jackson |title=Classical Electrodynamics|url=https://archive.org/details/classicalelectro00jack_0|url-access=registration |edition=2nd|publisher=Wiley|location=New York, NY|date=1975}}</ref><ref>{{cite book|first1=M.|last1=Born|first2=E.|last2=Wolf| title=[[Principles of Optics]]|edition=6th|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge, England|date=1980}}</ref>：
:<math>\begin{align}
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\,, \\
\nabla \times \mathbf{H} &= \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} + \frac{4\pi}{c} \mathbf{J}\,,
\end{align}</math>
ここで {{mvar|c}} は真空中の[[光速]]である。-->

=== 発散定理 ===
同様に、発散定理
:<math>\int_\mathrm{Vol} \nabla \cdot \mathbf{F} \mathrm{d}_\mathrm{Vol} = \oint_{\partial \operatorname{Vol}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\Sigma}</math>
はベクトル場をユークリッド体積形式で縮約することによって得られる {{math|(''n''-1)}} 形式とみなす場合の特殊ケースである。これの応用は {{math|1='''F''' = ''f'''''c'''}} の場合である。ここで {{math|'''c'''}} は任意の定数ベクトル。積の発散を実行すると、
:<math>\mathbf c \cdot \int_\mathrm{Vol} \nabla f \mathrm{d}_\mathrm{Vol} = \mathbf c \cdot \oint_{\partial \mathrm{Vol}} f\mathrm{d}\boldsymbol{\Sigma}</math>
が得られる。これは任意の {{math|'''c'''}} について成り立つため、
:<math>\int_\mathrm{Vol} \nabla f \mathrm{d}_\mathrm{Vol} = \oint_{\partial \mathrm{Vol}} f\mathrm{d}\boldsymbol{\Sigma}</math>
が成り立つ。

== 脚注 ==
{{reflist|group=note}}

== 出典 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book |last=Grunsky |first=Helmut |author-link=Helmut Grunsky |title=The General Stokes' Theorem |location=Boston |publisher=Pitman |year=1983 |isbn=0-273-08510-7 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/generalstokesthe0000grun }}
* {{cite journal| last=Katz | first=Victor J. | title=The History of Stokes' Theorem | journal=Mathematics Magazine |date=May 1979 | volume=52 | number=3 | pages=146–156 | jstor=2690275 | doi=10.2307/2690275}}
* {{cite book|url=https://archive.org/details/LoomisL.H.SternbergS.AdvancedCalculusRevisedEditionJonesAndBartlett|title=Advanced Calculus|last2=Sternberg|first2=Shlomo|publisher=World Scientific|year=2014|isbn=978-981-4583-93-0|location=Hackensack, New Jersey|author-link2=Shlomo Sternberg|last1=Loomis|first1=Lynn Harold|author1-link=Lynn Harold Loomis}}
* {{cite book|url=https://archive.org/details/MadsenI.H.TornehaveJ.FromCalculusToCohomologyDeRhamCohomologyAndCharacteristicClasses1996 | title=From Calculus to Cohomology: De Rham cohomology and characteristic classes|last2=Tornehave|first2=Jørgen|publisher=Cambridge University Press|year=1997 | isbn=0-521-58956-8|location=Cambridge, UK|last1=Madsen|first1=Ib|author1-link=Ib Madsen}}
* {{cite book|author-link=Jerrold E. Marsden|last1=Marsden|first1=Jerrold E.|last2=Anthony|first2=Tromba|title=Vector Calculus| edition=5th|publisher=W.&nbsp;H. Freeman|date=2003}}
* {{cite book|url=https://archive.org/details/GraduateTextsInMathematics218LeeJ.M.IntroductionToSmoothManifoldsSpringer2012 | title=Introduction to Smooth Manifolds|last=Lee|first=John|date=2003|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-95448-6}}
* {{cite book|url=https://archive.org/details/1979RudinW|title=Principles of Mathematical Analysis| last=Rudin|first=Walter| publisher=McGraw–Hill|year=1976|isbn = 0-07-054235-X|location=New York, NY|author-link=ウォルター・ルーディン}}
* {{cite book |title=[[Calculus on Manifolds (書籍)|Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus]] |last1=Spivak| first1=Michael| title-link=Calculus on Manifolds (book)|publisher= Benjamin Cummings |year=1965 |isbn=0-8053-9021-9 |location=San Francisco |author1-link=Michael Spivak }}
* {{cite book |first=James |last=Stewart |title=Calculus: Concepts and Contexts |url=https://books.google.com/books?id=Vou3MZu_7tcC&pg=PA960 |date=2009 |publisher=Cengage Learning |pages=960–967 |isbn=978-0-495-55742-5}}
* {{cite book|last=Stewart|first=James|title=Calculus: Early Transcendental Functions|edition=5th| publisher=Brooks/Cole| date=2003}}
* {{cite book|title=An Introduction to Manifolds|last1=Tu|first1=Loring W.|publisher=Springer|year=2011|isbn=978-1-4419-7399-3| edition=2nd|location=New York|author1-link=Loring W. Tu}}

== 関連項目 ==
{{Portal|Mathematics}}
*[[:en:Chandrasekhar–Wentzel lemma]]
* [[ストークスの定理]]
* [[ケルビン・ストークスの定理]]
* [[発散定理]]
* [[グリーンの定理]]
* [[微分積分学の基本定理]]

== 外部リンク ==
* {{springer|title=Stokes formula|id=p/s090310}}
* [http://higheredbcs.wiley.com/legacy/college/hugheshallett/0471484822/theory/hh_focusontheory_sectionm.pdf Proof of the Divergence Theorem and Stokes' Theorem]
* [http://tutorial.math.lamar.edu/classes/calcIII/stokestheorem.aspx Calculus 3 – Stokes Theorem from lamar.edu] – an expository explanation
{{cbignore}}

{{Calculus topics}}
{{DEFAULTSORT:いつはんかされたすとおくすのていり}}
[[Category:微分積分学の定理]]
[[Category:微分幾何学の定理]]
[[Category:微分形式]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]