一般化された複素構造のソースを表示

{{要改訳}}
数学の[[微分幾何学]]において、'''一般化された複素構造'''（いっぱんかされたふくそこうぞう、{{lang-en-short|''generalized complex structure''}}）とは、[[可微分多様体]]の持つある種の性質をいう。その特別な場合として[[複素多様体|複素構造]]や[[シンプレクティック幾何学|シンプレクティック構造]]が現れることがある。一般化された複素構造は、2002年に{{仮リンク|ニージェル･ヒッチン|en|Nigel Hitchin}}により導入され、さらに彼の学生であった{{仮リンク|マルコ･グァルティエリ|en|Marco Gualtieri}}と{{仮リンク|ギル･カバルカント|en|Gil Cavalcanti}}により発展した。

最初は、この構造は[[微分形式]]の[[汎函数]]による特徴付けというヒッチンのプログラムから発生した。この構造は、2004年の[[ロベルト・ダイクラーフ]]、{{仮リンク|セルゲイ･グーコフ|en|Sergei Gukov}}、{{仮リンク|アンドリュー･ナイツケ|en|Andrew Nietzke}}と[[カムラン・ヴァッファ]]の[[位相弦の理論]]は[[位相弦の理論#位相的M-理論|位相的M-理論]]の特別な場合ではないかという提案の基礎となった。今日、一般化された複素構造は、物理的な[[弦理論]]で[[超対称性]]をもつ{{仮リンク|フラックスコンパクト化|en|Compactification (physics)#Flux compactification}}で主要な役目を果たしている。フラックスコンパクト化は、10次元の物理を4-次元の我々のような世界へ関連付けるのであるが、（ツイストする必要がある）一般化された複素構造を必要とする。

==定義==
===一般化された接バンドル===
''N''-次元多様体 ''M'' を考える。 ''M'' の[[接バンドル]]'''T''' とは、ファイバーが ''M'' のすべての接ベクトルからなるような ''M'' 上の[[ベクトルバンドル]]のことである。このとき、'''T''' の[[ファイバー束 #切断|切断]]は ''M'' 上の[[ベクトル場]]である。''M'' の[[余接バンドル]]を'''T'''<sup>*</sup>と書く。これは、その切断が ''M'' 上の[[微分形式|1-形式]]となるような ''M'' 上のベクトルバンドルである。

[[複素多様体|複素幾何学]]では多様体の接バンドルの上の構造を考える。[[シンプレクティック多様体|シンプレクティック幾何学]]では、代わりに、余接バンドルの[[外冪]]に注目する。一般化された複素構造では、これらの2つの分野を[[複素数]]の上で接バンドルと余接バンドルの直和 ('''T'''&nbsp;<math>\oplus</math>'''T'''<sup>*</sup>) の切断として扱うことで、2つの分野を統一して表す。それらは複素ベクトル場と複素1-形式との形式的な和である。接バンドルと余接の直和のことを、'''一般化された接バンドル'''と言う。

ファイバーは{{仮リンク|複素符号|en|signature (topology)}}を持つ[[内積]] (''N'',&nbsp;''N'') が与えられていて、''X'' と ''Y'' がベクトル場で、''ξ'' と ''η'' が 1-形式であれば、''X+ξ'' と ''Y+η''の内積は次のように定義される。

:::<math>\langle X+\xi,Y+\eta\rangle=\frac{1}{2}(\xi(Y)+\eta(X))</math>

<!--- ('''T'''&nbsp;<math>\oplus</math>&nbsp;'''T'''<sup>*</sup>)&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''C''' の中ですべてのベクトルとのペアの内積がゼロとなる[[線型空間|線型部分空間]]のことを、{{仮リンク|イソトロピック部分空間|en|isotropic subspace}}と言う。  {{仮リンク|一般化された概複素構造|en|Almost complex structure#Generalized almost complex structure}}は、('''T'''&nbsp;<math>\oplus</math>&nbsp;'''T'''<sup>*</sup>)&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''C'''
のイソトロピックな{{仮リンク|部分バンドル|en|subbundle}} '''E''' で、ファイバーが最大の{{仮リンク|複素次元|en|complex dimension}}, ''N'' を持ち、'''E''' と '''E''' の[[複素共役]]の直和が ('''T'''&nbsp;<math>\oplus</math>&nbsp;'''T'''<sup>*</sup>)&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''C''' の全体になっているようなものを言う。 -->

'''一般化された概複素構造''' は、まさに次の自然な内積を保つ一般化された接バンドルの[[概複素構造]]である。自然な内積とは、

:::<math>{\mathcal J}: \mathbf{T}\oplus\mathbf{T}^*\rightarrow \mathbf{T}\oplus\mathbf{T}^*</math>

で 

:::<math>{\mathcal J}^2=-{\rm Id},\ \ \mbox{ and }\ \ \langle {\mathcal J}(X+\xi),{\mathcal J}(Y+\eta)\rangle=\langle X+\xi,Y+\eta\rangle.</math>

を満たすものを言う。

通常の[[概複素構造]]の場合のように、一般化された概複素構造は、一意に <math>\sqrt{-1}</math>-[[ベクトルバンドル#定義|固有バンドル]]であり、複素化した一般化接バンドル <math>(\mathbf{T}\oplus\mathbf{T}^*)\otimes\mathbb{C}</math>
の部分バンドルとなる。これは、

:::<math>L=\{X+\xi\in (\mathbf{T}\oplus\mathbf{T}^*)\otimes\mathbb{C}\  :\  {\mathcal J}(X+\xi)=\sqrt{-1}(X+\xi)\}</math>

で与えられる。この部分バンドル ''L'' は次の性質を持つ。

(i) [[複素共役]]との交叉はゼロセクション： <math>L\cap\overline{L}=0</math> である。

(ii) ''L'' は '''最大イソトロピック'''、つまり、複素[[ランク]]が ''N'' に等しく、全ての <math>\ell,\ell'\in L.</math> に対し <math>\langle\ell,\ell'\rangle=0</math> となる。

逆に、(i)と(ii)を満たす ''L'' は一意な一般化された複素構造の <math>\sqrt{-1}</math>-固有バンドルであり、したがって性質 (i)と(ii) は一般化された概複素構造のもう一つの定義と考えることもできる。

===クーランブラケット===
通常の複素幾何学では、[[概複素構造]]が[[複素多様体|複素構造]]となる条件である[[可積分系|可積分性]]は、[[正則]]な部分バンドルの切断と他の正則な部分バンドルの切断との[[リー微分|リーブラケット]]となっていることと同値である。

一般化された複素幾何学では、ベクトル場というよりも、ベクトル場と1-形式との直和に注目している。そのような形式的な和のリーブラケットは1990年に導入され、次の式で定義され、{{仮リンク|クーランブラケット|en|Courant bracket}}と呼ばれる。

:<math>[X+\xi,Y+\eta]=[X,Y]
+\mathcal{L}_X\eta-\mathcal{L}_Y\xi
-\frac{1}{2}d(i(X)\eta-i(Y)\xi)</math>

ここに <math>\mathcal{L}_X</math> はベクトル場 ''X'' にそった[[リー微分]]で、''d'' は[[微分形式#外微分|外微分]]で、''i'' は[[内積]]である。

===一般化された複素構造の定義===
'''一般化された複素構造'''は、滑らかな ''L'' の切断の空間が、クーランブラケットの下に閉じているような '''一般化された概複素構造'''のことを言う。

==最大イソトロピック部分バンドル==
===分類===
'''T'''&nbsp;<math>\oplus</math>&nbsp;'''T'''<sup>*</sup> の最大イソトロピック部分バンドルと、'''E'''が '''T''' の部分バンドルで ''ε'' が、2-形式であるようなペア ('''E''',''ε'') の間には1:1の対応関係がある。この対応は直接、複素構造の場合へも拡張される。

ペア ('''E''', ''ε'') が与えられると、次のように、'''T'''&nbsp;<math>\oplus</math>&nbsp;'''T'''<sup>*</sup> の最大イソトロピック部分バンドル ''L''('''E''',''ε'') を構成することができる。部分バンドルの元は、[[形式和]] ''X''&nbsp;+&nbsp;ξ で、ここに[[ベクトル場]] ''X'' は '''E''' の切断であり、[[双対空間]] '''E'''<sup>*</sup> へ限定された 1-形式 ''ξ'' は、1-形式 ε(''X'') に同値である。

''L''('''E''',&nbsp;''ε'') がイソトロピックであることを調べるためには、''Y'' が '''E''' の切断であることと、'''E'''<sup>*</sup> へ制限された ''ξ'' が ''ε(X)'' であることに注意すると、'''E'''<sup>*</sup>に垂直な ξ の部分が ''Y'' をゼロにすることから、ξ(''Y'') = ε(''X'',&nbsp;''Y'')である。従って、''X''&nbsp;+&nbsp;ξ と ''Y''&nbsp;+&nbsp;η が '''T'''&nbsp;<math>\oplus</math>&nbsp;'''T'''<sup>*</sup> の切断であれば、

:<math>\langle X+\xi,Y+\eta\rangle=\frac{1}{2}(\xi(Y)+\eta(X))=\frac{1}{2}(\epsilon(Y,X)+\epsilon(X,Y))=0</math>

が成立するので、''L''('''E''', ''ε'') はイソトロピックになる。さらに ''L''('''E''', ''ε'') は最大となる。なぜならば、'''E''' の選択する複素次元は dim('''E''') であり、''ε'' は '''E'''<sup>*</sup> の補空間の上に限定されないからである。この空間の複素次元は、''n''&nbsp;−&nbsp;dim('''E''') である。このようにして、全複素次元は ''n'' となる.  グァルティエリはすべての最大イソトロピック部分バンドルが、ある '''E''' と ε が存在し ''L'' ('''E''',ε) となることを証明した。

===タイプ===
最大イソトロピック部分バンドル ''L''('''E''',ε) の '''type''' とは、'''E''' をゼロにする部分バンドルの実次元のことを言う。同じことではあるが、タイプは ''2N'' 接バンドルから '''T''' の上への ''L''('''E''',ε) の[[射影]]の実次元である。言い換えると、最大イソトロピック部分バンドルのタイプは、接バンドル上への部分バンドルの余次元である。複素多様体の場合は、複素次元を使い '''複素タイプ''' という時もある。原理的に、部分バンドルのタイプは 0 and ''2N'' の間の任意の整数となることが可能ではあるが、一般化された概複素構造では ''N'' よりも大きなタイプを持つことができない。理由は、部分バンドルと部分バンドルの複素共役の和が ('''T'''<math>\oplus</math>
'''T'''<sup>*</sup>)<math>\otimes</math>'''C''' の全体の次元である必要があるからである。

最大イソトロピック部分バンドルのタイプは、[[微分同相]]の下に[[不変量|不変]]で、また [[B-場]]（カルブ-ラモン場ともいう）のシフトの下にも不変である。B-場は、次の形式 '''T'''<math>\oplus</math>'''T'''<sup>*</sup> の[[等長写像]]である。
:::<math>X+\xi\longrightarrow X+\xi+i_XB</math>
ここに ''B'' は任意の閉 2-形式である。この形式で表されるので、[[弦理論]]の脈絡では、B-場と呼ばれてきた。

一般化された概複素構造のタイプは、一般には定数ではなく、偶数の整数の間をジャンプすることができるが、[[半連続|上半連続]]となっている。これは各々の点は、タイプが減少することができない開近傍を持っていることを意味する。実際には、このことは、正の[[余次元]]を持つ部分多様体上では、周りのタイプよりも大きな部分集合が発生することを意味している。

===実インデックス===
最大イソトロピック部分空間 ''L'' の実インデックス ''r'' は、 ''L'' と ''L'' の複素共役との[[共通部分 (数学)|交叉]]の複素次元である。('''T'''<math>\oplus</math> '''T'''<sup>*</sup>)&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''C''' の最大イソトロピック部分空間が一般化された概複素構造であることと、''r'' = 0 とは同値である。

==標準バンドル==
通常の複素幾何学では、一般化された概複素構造と[[複素ラインバンドル]]の間に対応関係がある。特別な一般化された概複素構造に対応する複素ラインバンドルは、しばしば '''[[標準バンドル]]''' と言われる。通常の場合の標準バンドルを一般化したからである。その切断が{{仮リンク|ピュアスピノル|en|pure spinor}}であることから、{{仮リンク|ピュアスピノルバンドル|en|pure spinor bundle}}と呼ばれることもある。

===一般化された概複素構造===

標準バンドルは ''M'' 上の[[複素微分形式]]のバンドル '''Λ<sup>*</sup>T'''<math>\otimes</math>'''C''' の複素次元1の部分バンドルである。[[ガンマ行列]]が微分形式とスピノルの間の[[同型]]を定義することを思い起こすと、特に偶数と奇数の微分形式は、[[ディラック場#ワイルスピノル|ワイルスピノル]]の2つのカイラリティの間の写像である。ベクトルは内積により与えられる微分形式の上へ作用する。1-形式はウェッジ積により微分形式に作用する。このように、バンドル ('''T'''&nbsp;<math>\oplus</math>&nbsp;'''T'''<sup>*</sup>)&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''C''' の切断は、微分形式の上へ作用する。この作用は、スピノルの[[クリフォード代数]]の[[群の表現|表現]]である。

スピノルがクリフォード代数の生成の半分によりゼロとなるときに、ピュアスピノルと言う。スピノルはバンドル '''Λ<sup>*</sup>T''' の切断で、クリフォード代数の生成子はバンドル ('''T'''&nbsp;<math>\oplus</math>&nbsp;'''T'''<sup>*</sup>)&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''C''' のファイバーである。従って、ピュアスピノルが与えられると、半分の次元の部分バンドル '''E''' of ('''T'''&nbsp;<math>\oplus</math>&nbsp;'''T'''<sup>*</sup>)&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''C''' をゼロにする。そのような部分バンドルは、いつでもイソトロピックであるので、概複素構造を定義するためには、'''E''' と '''E''' の複素共役の和が ('''T'''&nbsp;<math>\oplus</math>&nbsp;'''T'''<sup>*</sup>)&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''C''' のすべてとなるようにすればよいだけである。これはピュアスピノルの[[ウェッジ積]]についてはいつでも正しく、ピュアスピノルの複素共役は最上位の次元の成分をもっている。従って、そのようなピュアスピノルは、一般化された概複素構造を決定する。

一般化された概複素構造が与えられると、ピュアスピノルを任意の[[複素函数]]による掛け算による差異を無視すると一意に決定することができる。これらのピュアスピノルの選択は標準バンドルの切断で定義される。

===可積分性、その他の構造===
特別な複素構造を決定するピュアスピノルが{{仮リンク|完全形式で閉じている|en|Closed and exact differential forms}}、もしくはより一般的に、ピュアスピノルの外微分がガンマ行列の作用に等価であるとすると、概複素構造は可積分になり、そのようなピュアスピノルは一般化された複素構造に対応する。

さらに、標準バンドルが正則で自明であれば（閉形式である大域的な切断であることを意味する）、一般化されたカラビ-ヤウ構造を決定し、''M'' を'''一般化されたカラビ-ヤウ多様体'''と言う。
<!---===Integrability and other structures===

If a pure spinor that determines a particular complex structure is [[Closed and exact differential forms|closed]], or more generally if its exterior derivative is equal to the action of a gamma matrix on itself, then the almost complex structure is integrable and so such pure spinors correspond to generalized complex structures.

If one further imposes that the canonical bundle is holomorphically trivial, meaning that it is global sections which are closed forms, then it defines a generalized Calabi-Yau structure and ''M'' is said to be a '''generalized Calabi-Yau manifold'''.-->

==局所分類==
===標準バンドル===
局所的にすべてのピュアスピノルは、整数 ''k''、B-場 2-形式 ''B''、非退化シンプレクティック形式 ω と ''k''-形式 Ω に依存するが、同じ形で書くことができる。任意の点の局所近傍で、標準バンドルを生成するピュアスピノル Φ は、いつでも次の形でとることができる。
::::<math>\Phi=e^{B+i\omega}\Omega</math>
ここに Ω は1-形式のウェッジ積として、分解可能である。

===正則点(Regular point)===
複素化された接バンドル '''T'''<math>\otimes</math>'''C''' の部分バンドル '''E''' を正則部分バンドル '''L''' of ('''T'''<math>\oplus</math>'''T'''<sup>*</sup>)
<math>\otimes</math>'''C''' の  '''T'''<math>\otimes</math>'''C''' 上への射影として定義する。一般化された概複素構造の定義の中では、'''L''' と '''L''' の複素共役の交叉が唯一原点となる。なぜならば、そうでないとすると、それらは、 ('''T'''<math>\oplus</math>'''T'''<sup>*</sup>)<math>\otimes</math>'''C''' を完全に張ることができなくなるからである。しかし、これらの射影の交叉は自明であるとは限らない。従って一般には、ある部分バンドル Δ が存在して、この交叉は次の形をしている。
::::<math>E\cap\overline{E}=\Delta\otimes\mathbf{C}</math>
Δ のファイバーの次元の中に開[[近傍]]が定数となるような点を、'''正則点(regular point)''' と言う。

===ダルブーの定理===
{{main|ダルブーの定理 (微分幾何学)}}
一般化された複素多様体のすべての正則な点は、微分同相や B-場でのシフトの後でも、開近傍が{{仮リンク|複素ベクトル空間|en|Linear complex structure}}の[[直積集合|デカルト積]]として '''C'''<sup>k</sup> および、標準のシンプレクティック形式を持つシンプレクティック空間 '''R'''<sup>2n-2k</sup> と同じ一般化された複素構造を持つ。この空間は、対角要素が 1 と -1 のみの2つの値からなる2行2列の{{仮リンク|行列の直和|en|direct sum of matrices}}である。
<!---===Darboux's theorem===
{{main|Darboux's theorem}}
Every regular point in a generalized complex manifold has an open neighborhood which, after a diffeomorphism and shift of the B-field, has the same generalized complex structure as the [[Cartesian product]] of the [[Linear complex structure|complex vector space]] '''C'''<sup>k</sup> and the standard symplectic space '''R'''<sup>2n-2k</sup> with the standard symplectic form, which is the [[direct sum of matrices|direct sum]] of the two by two off-diagonal matrices with entries 1 and -1.-->

===局所正則性===
非正則点の近くでは、上の分類定理は適用できない。しかし、任意の点で、一般化された複素多様体は、微分同相と B-場の差異を無視すると、シンプレクティック多様体とその点では複素タイプである一般化された複素多様体の積となる。[[ポアソン多様体]]の局所構造の{{仮リンク|ワインシュタインの予想|en|Weinstein conjecture}}に非常によく似ている。局所構造の残っている問題は複素タイプの点の近くでは一般化された複素構造はどのように見えるのかである。実際、正則ポアソン構造によって、引き起こされると考えられる。

==例==
===複素多様体===
複素微分形式 '''Λ<sup>*</sup>T'''<math>\otimes</math>'''C''' の空間は、'''C''' の中の複素共役によって複素共役作用素を持つ。このことにより、[[正則]]と{{仮リンク|反正則|en|antiholomorphic}}である 1-形式と (''m, n'')-形式を定義する。これらの微分形式は、''m'' 個の正則成分と ''n'' 個の反正則成分をもっている、同次多項式である。特に、すべての (''n,0'')-形式は、複素函数との積に局所的に関連しており、従ってそれらは複素直線バンドルを形成する。

(''n,0'')-形式は反正則接ベクトルや正則1-形式でゼロとなるので、ピュアスピノルである。このようにこの[[ベクトルバンドル#定義および直ちに従うこと|ラインバンドル]]は、一般複素構造を定義する標準バンドルとして使うことができる。消滅因子(annihilator)を ('''T'''<math>\oplus</math>
'''T'''<sup>*</sup>)<math>\otimes</math>'''C''' から複素化された接バンドルへ限定すると、反正則ベクトルバンドルの部分空間を得る。従って、('''T'''<math>\oplus</math>
'''T'''<sup>*</sup>)<math>\otimes</math>'''C''' の上の一般化された複素構造は、通常の接バンドル上の[[複素多様体|複素構造]]を定義する。

ベクトル場の基底のちょうど半分は正則なので、これらの複素構造はタイプ ''N'' である。実際、複素多様体と、複素数と <math>\partial</math>-閉 (2,0)-形式により定義される複素多様体のピュアスピノルをかけて得られる複素多様体は、タイプ ''N'' の一般化された複素多様体となる。

===シンプレクティック多様体===

非退化 2-形式 ''ω'' に対し、
:::<math>\phi=e^{i\omega}</math>
で生成されるスピノルバンドルは、接空間上のシンプレクティック構造を定義する。これより、シンプレクティック多様体も一般化された複素構造である。

上記のピュアスピノル <math>\phi</math> は大域的に定義されているので、標準バンドルは自明である。このことはシンプレクティック多様体は一般化された複素多様体であるのみならず、さらに一般化されたカラビ-ヤウ多様体であることを意味する。

ピュアスピノル <math>\phi</math> は、B-場のシフトの虚部の数に一致するピュアスピノルに関係している。B-場は[[ケーラー形式]]のシフトでもある。従って、これらの一般化された複素構造のタイプは、対応する[[スカラー]]ピュアスピノルのタイプと一致する。スカラーは全接空間によってゼロとなるので、これらの構造はタイプ ''0'' である。

B-場のシフトは、閉じた実2-形式の指数にピュアスピノルをかけたものであるが、このB-場のシフトによる差異を無視した場合、シンプレクティック多様体は、タイプ 0 の一般化された複素多様体となる。B-場のシフトによる差異を無視したシンプレクティックである多様体は '''B-シンプレクティック''' と呼ばれることもある。

==G-構造との関係==
一般化された複素構造幾何学の概に当たる構造のいくつかは、{{仮リンク|G-構造|en|G-structure}}のことばで言い換えることができる。｢概｣という単語は、可積分性を持つと付かない。

上記の内積を持つバンドル ('''T'''<math>\oplus</math>'''T'''<sup>*</sup>)&nbsp;<math>\otimes</math>&nbsp;'''C''' は、 O(2''n'',&nbsp;2''n'') 構造をもっている。一般化された概複素構造は、この構造を U(''n'',&nbsp;''n'') 構造へ退化させたものである。従って、一般化された複素構造の空間は、コセット
:::::<math>\frac{O(2n,2n)}{U(n,n)}.</math>
となる。
{{仮リンク|一般化された概ケーラー構造|en|generalized Kähler structure}}は、対応するテンソルの積のマイナスが ('''T'''<math>\oplus</math>
'''T'''<sup>*</sup>)<math>\otimes</math>'''C''' の上の正定値計量であるような[[交換法則|可換な作用]]をもつ一般化された複素構造のペアである。
一般化された概ケーラー構造は、[[ファイバー束|構造群]]を U(''n'')<math>\times</math>U(''n'') まで退化させた構造である。一般化されたケーラー多様体と、そのツイストした相手は、{{仮リンク|双エルミートな多様体|en|bihermitian manifolds}}に同値である。これは1984年に、{{仮リンク|シルベスター・ジェームズ・ゲーツ|en|Sylvester James Gates}}, {{仮リンク|クリス・ハル|en|Chris Hull (physicist)}} と {{仮リンク|マルチン・ロツェック|en|Martin Rocek|label=(Martin Roček)}}により、2-次元[[超対称性|超対称な]][[場の量子論|量子場の理論]]の脈絡で発見された。

最後に、一般化された概カラビヤウ計量構造は、さらに構造群が SU(''n'')<math>\times</math>SU(''n'') へ退化する。

===カラビ-ヤウ計量 対 カラビ計量===

グァルティエリが導入した一般化されたカラビ計量は、ヒッチンにより導入された一般化されたカラビ-ヤウ計量構造よりも強い条件になっている。特に、一般化されたカラビ-ヤウ計量構造は、2つの可換な一般化された概複素構造の存在を意味する。
<!---===Calabi versus Calabi-Yau metric===

Notice that a generalized Calabi metric structure, which was introduced by Gualtieri, is a stronger condition than a generalized Calabi-Yau structure, which was introduced by Hitchin.  In particular a generalized Calabi-Yau metric structure implies the existence of two commuting generalized almost complex structures.-->

==参考文献==

*[[Nigel Hitchin|Hitchin, Nigel]] [http://xxx.lanl.gov/abs/math.DG/0209099 Generalized Calabi-Yau manifolds], Quart. J.Math. Oxford Ser. 54 (2003) 281-308.
*Gualtieri, Marco, [http://xxx.lanl.gov/abs/math.DG/0401221 Generalized complex geometry], PhD Thesis (2004).
*Graña, Mariana [http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/0509003 Flux compactifications in string theory: a comprehensive review], Phys. Rept. 423 (2006) 91-158.
*Robert Dijikgraaf; Sergei Gukov; Andrew Neitzke & Cumrun Vafa [https://arxiv.org/pdf/hep-th/0411073 Topological M-theory as Unification of Form Theories of Gravity]
{{Math-stub}}
{{DEFAULTSORT:いつはんかされたふくそこうそう}}

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