一般化された超幾何関数のソースを表示

{{複数の問題|
出典の明記=2013年10月|
正確性=2013年10月}}
数学において、'''一般化された超幾何関数'''（いっぱんかされたちょうきかかんすう、{{lang-en-short|generalized hypergeometric function}}）は、一般に

:<math>_rF_s \left[ \begin{matrix}a_1, a_2, \dotsc, a_r \\ b_1, b_2, \dotsc, b_s \end{matrix}; z \right] := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a_1)_n (a_2)_n \dotsb (a_r)_n}{(b_1)_n (b_2)_n \dotsb (b_s)_n} \frac{z^n}{n!}</math>

の形式で表される[[級数]]である<ref>{{MathWorld|title=Hypergeometric Series|urlname=HypergeometricSeries}}</ref>。ただし、
:<math>\begin{align}
(x)_0 &:= 1, \\
(x)_n &:= \prod_{k=0}^{n-1} (x+k) \\
\end{align}</math>
は[[ポッホハマー記号]]である。


;<math>_{r+1}F_r</math>型超幾何級数
:<math>_{r+1}F_r \left[ \begin{matrix}\alpha_0, \alpha_1, \dotsc, \alpha_r \\ \beta_1, \dotsc, \beta_r \end{matrix}; x \right] = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\alpha_0)_k (\alpha_1)_k \dotsb (\alpha_r)_k}{(1)_k (\beta_1)_k \dotsb (\beta_r)_k} {x^k}</math>

== ガウスの超幾何関数 ==
古典的には[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]の[[超幾何関数]]
{{Indent|<math>F(a,b;c;z):={_2F_1}\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \frac{z^n}{n!}</math>}}
を単に超幾何級数という{{sfn|Whittaker|Watson|1927|p={{google books quote|id=ULVdGZmi9VcC|page=281|281}}}}<ref name="hara">原岡喜重. (2002). 超幾何関数. [[朝倉書店]].</ref><ref name="toki">時弘哲治. (2006). 工学における特殊関数. [[共立出版]].</ref>。なお、厳密にいうと、右辺の級数が超幾何級数であり、左辺の記号は原点の近傍で絶対収束する冪級数の和とそれから解析接続によって定義される解析関数としての超幾何関数を表すものである。

== 超幾何級数 ==
[[級数]] <math> \textstyle \sum_{n=0}^\infty t_n </math> の連続する項の比が {{mvar|n}} の[[有理関数]]であるとき、これを超幾何級数（{{lang|en|hypergeometric series}}）という<ref>この比が定数の場合を[[幾何級数]]と呼ぶのだった。</ref>。慣習的にはあらかじめ初項を括り出しておき、定義に {{math|''t''{{sub|0}} {{=}} 1}} も含め正規化する。定義から
:<math> \frac{t_{n+1}}{t_n} = \frac{P(n)}{Q(n)} </math>
となる {{mvar|n}} の[[多項式]] {{math|''P''(''n''), ''Q''(''n'')}} が存在する。

たとえば[[指数関数]]の[[テイラー級数]]
:<math> \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} </math>
は超幾何級数で、この場合
:<math> t_n = \frac{z^n}{n!}, \quad \frac{t_{n+1}}{t_n} = \frac{z}{n+1} </math>
ゆえ {{math|''P''(''n'') {{=}} ''z''}}, {{math|''Q''(''n'') {{=}} ''n'' + 1}} となる。

分母分子を[[一次式]]の積へ分解することで有理関数を
:<math> \frac{P(n)}{Q(n)} = \frac{(a_1 + n) (a_2 + n) \dotsm (a_r + n)}{(b_1 + n) (b_2 + n) \dotsm (b_s + n)} \frac{z}{n + 1} </math>
の形に書くことができる。ここで {{mvar|z}} は分母分子の[[モニック多項式#定義|最高次係数]]の比である。歴史的な理由により分母の因子 {{math|''n'' + 1}} を仮定しているが、必要なら分子に同じ因子を掛ければよいので[[一般性を失わない|一般性は失わない]]。以上から級数は
:<math> \sum_{n=0}^\infty t_n = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n \dotsm (a_r)_n}{(b_1)_n \dotsm (b_s)_n} \frac{z^n}{n!} </math>
の形に書くことができる。この右辺を通常
:<math> _rF_s \left[ \begin{matrix}a_1, a_2, \dotsc, a_r \\ b_1, b_2, \dotsc, b_s \end{matrix}; z \right] </math>
と表記する。

== 収束条件 ==
超幾何級数<math>_rF_s[a_1,\dots,a_r;b_1,\dots,b_s;z]</math>は、<math>r<s+1</math>であれば[[絶対収束]]し、<math>r>s+1</math>であれば発散する。<math>r=s+1</math>の場合は、<math>|z|<1</math>であれば絶対収束し、<math>|z|>1</math>であれば発散する。<math>|z|=1</math>の場合は、<math>\textstyle\sum\real{a_j}<\sum\real{b_j}</math>であれば絶対収束し、<math>\textstyle\sum\real{a_j}>\sum\real{b_j}</math>であれば発散する。但し、<math>a_j</math>又は<math>b_j</math>が正でない整数<math>k\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}</math>である場合は、<math>(a_j)_{n{\ge}k}=0</math>となって<math>{z}<\infty</math>で収束、或いは<math>(b_j)_{n{\ge}k}=0</math>となって<math>z\ne0</math>で発散する場合がある。
=== 収束条件の証明 ===
第<math>n</math>項を<math>c_n</math>とする:

:<math>\begin{align}
{}_rF_{r-1} \left[ \begin{matrix} a_1, a_2, \dotsc, a_r \\ b_1, b_2, \dotsc, b_{r-1} \end{matrix}; z \right] = \sum_{n=0}^{\infty} c_nz^n \\
c_n = \frac{(a_1)_n (a_2)_n \dotsb (a_{r-1})_n (a_r)_n}{(b_1)_n (b_2)_n \dotsb (b_{r-1})_n \; n!}
\end{align}</math>

[[公比]]は
:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{c_{n+1}}{c_{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{(a_1+n) (a_2+n) \dotsb (a_{r-1}+n) (a_r+n)}{(b_1+n) (b_2+n) \dotsb (b_{r-1}+n)(1+n)}z = z</math>
であるから、<math>|z|<1</math>であれば[[絶対収束]]し、<math>|z|>1</math>であれば発散する。<math>|z|=1</math>の場合は、
:<math>\begin{align}
\frac{a+n}{n} &= 1+\frac{a}{n}+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a)\\
\frac{n}{b+n} &= 1-\frac{b}{n}+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a)\\
\end{align}</math>
であるから、
:<math>\begin{align}
\frac{c_{n+1}}{c_{n}}
&= \prod_{j=1}^{r} \left( 1 + \frac{a_j}{n} \right) \cdot \prod_{j=1}^{r-1} \left( 1 - \frac{b_j}{n} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{n} \right) + O \left( n^{-2} \right) \\
&= 1 + \sum_{j=1}^{r} \frac{a_j}{n} - \sum_{j=1}^{r-1} \frac{b_j}{n} - \frac{1}{n} + O \left( n^{-2} \right) \qquad (n \gg a_j, b_k) \\
\left| \frac{c_{n+1}}{c_{n}} \right|^2
&= \left( 1 + \sum_{j=1}^{r} \frac{\real{a_j}}{n} - \sum_{j=1}^{r-1} \frac{\real{b_j}}{n} - \frac{1}{n} \right)^2 + \left( \sum_{j-1}^{r} \frac{\image{a_j}}{n} - \sum_{j=1}^{r-1} \frac{\image{b_j}}{n} \right)^2 + O \left( n^{-2} \right) \\
&= 1 + \frac{2}{n} \left( \sum_{j=1}^{r} \real{a_j} - \sum_{j=1}^{r-1} \real{b_j} - 1 \right) + O \left( n^{-2} \right) \qquad (n \gg a_j, b_k) \\
\left| \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right|
&= 1 - \frac{1}{n} \left( \sum_{j=1}^{r} \real{a_j} - \sum_{j=1}^{r-1} \real{b_j} - 1 \right) + O \left( n^{-2} \right) \qquad (n \gg a_j, b_k)
\\
\end{align}</math>

であり、
:<math>\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{|c_{n}|}{|c_{n+1}|}-1\right)-1=-\left(\sum_{j=1}^{r}\real{a_j}-\sum_{j=1}^{r-1}\real{b_j}\right)</math>
である。従って、[[:en:Ratio test# Raabe's test|ラーベの判定法]] (Raabe's test<ref>Weisstein, Eric W. "Raabe's Test." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/RaabesTest.html</ref><ref>Huelsman, C. B. (1965). RAABE'S TEST. Pi Mu Epsilon Journal, 4(2), 67-70.</ref>)により、<math>\textstyle\sum\real{a_j}-\sum\real{b_j}<0</math>であれば[[絶対収束]]し、<math>\textstyle\sum\real{a_j}-\sum\real{b_j}>0</math>であれば発散する。

== 超幾何関数 ==
{{Main|超幾何関数}}
[[代数関数]]、[[指数関数]]、[[三角関数]]
:<math>\begin{align}
(1-z)^{-a} &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-a)(-a-1)\cdots(-a-n+1)}{n!}(-z)^n={_1F_0}\left[\begin{matrix}a\\-\end{matrix};z\right]\\
e^z &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^n={_0F_0}\left[\begin{matrix}-\\-\end{matrix};z\right]\\
\sin z &= z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n}=z\cdot{_0F_1}\left[\begin{matrix}-\\\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\
\cos z &= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}={_0F_1}\left[\begin{matrix}-\\\frac{1}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\
\end{align}</math>

[[正弦積分]]、[[余弦積分]]、[[指数積分]]
:<math>\begin{align}
\operatorname{Si}(z) &= z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+1)!}z^{2n}=z\cdot{_1F_2}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{2},\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\
\operatorname{Ci}(z) &= \gamma+\log{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)(2n)!}z^{2n}=\gamma+\log{z}-\frac{z^2}{4}\cdot{_2F_3}\left[\begin{matrix}1,1\\2,2,\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\
\operatorname{Ei}(z) &= \gamma+\log{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nn!}z^{n}=\gamma+\log{z}+z\cdot{_2F_2}\left[\begin{matrix}1,1\\2,2\end{matrix};z\right]\\
\end{align}</math>

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2013年10月}}
*{{Cite book|和書|author=西本敏彦|year=1998|month=11|title=超幾何・合流型超幾何微分方程式|publisher=[[共立出版]]|isbn=4-320-01593-2|url=http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320015937|ref={{Harvid|西本|1998}}}}
* {{cite book
    |last1              = Whittaker
    |first1             = E. T.
    |authorlink1    = エドマンド・テイラー・ホイッテーカー
    |last2              = Watson
    |first2             = G. N.
    |year               = 1927
    |title              = A Course of Modern Analysis
    |edition            = Fourth
    |series             = 
    |url                = {{google books|ULVdGZmi9VcC|page=281|plainurl=yes}}
    |publisher          = [[:en:Cambridge University Press]]
    |isbn               = 0-521-58807-3
    |mr                 = 
    |zbl                = 0951.30002
    |ref                = harv
}}

== 関連項目 ==<!--項目の50音順-->
* [[超幾何関数]]
* {{仮リンク|合流型超幾何関数|en|confluent hypergeometric function}}
* [[オイラー積分]]
* [[特殊関数]]
** [[ガンマ関数]]
** [[ベッセル関数]]
* [[q超幾何級数]]（[[基本的な超幾何級数]]）
* {{仮リンク|楕円超幾何級数|en|elliptic hypergeometric series}}
* {{仮リンク|マイヤーのG関数|en|Meijer G-function}} ・・・ さらに一般化された超幾何関数
* {{仮リンク|アペルの超幾何関数|en|Appell series}}（[[アペル級数]]） ・・・ 2変数に一般化
* {{仮リンク|ハンバート級数|en|Humbert series}}（[[アンベール級数]]、[[アンベールの超幾何関数]]） ・・・ 合流型超幾何関数を2変数に一般化
* [[超冪根]]（[[ブリング根]]） ・・・ 一般化された超幾何級数で書ける。一般的な[[五次方程式]]は、超冪根を代数的操作と許容した場合、代数的に解ける。
* {{仮リンク|カンペドフェリエの超幾何関数|en|Kampé de Fériet function}}（[[カンペドフェリエ関数]]、[[カンペ・ド・フェリエ関数]]） ・・・ 2変数に一般化（一般的な[[六次方程式]]の解法で使用）
* {{仮リンク|ラウリチェラ超幾何級数|en|Lauricella hypergeometric series}}（[[ラウリチェッラ超幾何級数]]） 3変数、さらなる多変数化
{{級数}}
{{DEFAULTSORT:いつはんかされたちようきかきゆうすう}}
[[Category:離散数学]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:常微分方程式]]
[[Category:級数]]
[[Category:超幾何級数|*]]
[[Category:数学に関する記事]]