一般化推定方程式のソースを表示


[[統計学]]において、'''一般化推定方程式'''（いっぱんかすいていほうていしき、generalized estimation equation, '''GEE'''）は、アウトカム間に未知の相関関係がある可能性のある[[一般化線形モデル]]のパラメータを推定するのに用いられる<ref>{{Cite journal|last=Kung-Yee Liang and Scott Zeger|year=1986|title=Longitudinal data analysis using generalized linear models|journal=Biometrika|volume=73|issue=1|pages=13–22|DOI=10.1093/biomet/73.1.13}}</ref> <ref>{{Cite book|last=Hardin|first=James|last2=Hilbe, Joseph|author2-link=Joseph Hilbe|title=Generalized Estimating Equations|url=https://archive.org/details/generalizedestim0000hard|publisher=London: Chapman and Hall/CRC|year=2003|isbn=978-1-58488-307-4}}</ref>。

[[共分散]]構造が誤って指定された場合でも、穏やかな正則性の条件下では、一般化推定方程式からのパラメータ推定値は一致している。 一般化推定方程式の焦点は、任意の個体に対する1つ以上の共変量を変更した効果の予測を可能にする[[回帰分析|回帰]]パラメータではなく、母集団全体の平均応答（「母集団平均」効果）を推定することにある。一般化推定方程式は通常、「ロバスト標準誤差」または「サンドイッチ分散」推定として知られる Huber-White 標準誤差推定とともに使用される。独立分散構造を持つ線形モデルの場合、これらは「不均一分散一致標準誤差」推定量として知られている。実際、一般化推定方程式は、これらの標準誤差推定量のいくつかの独立した定式化を一般的な枠組みに統合したものである。

一般化推定方程式は、最初の2つの[[モーメント (数学)|モーメント]]のみの指定に依存するため、セミパラメトリックと呼ばれる回帰手法に属する。一般化推定方程式は分散構造の指定に敏感な[[尤度関数|尤度]]ベースの[[一般化線形混合モデル]]に対する一般的な代替手段である<ref>{{Cite journal|last=Fong|first=Y|last2=Rue|first2=H|last3=Wakefield|first3=J|year=2010|title=Bayesian inference for generalized linear mixed models|journal=Biostatistics|volume=11|issue=3|pages=397–412|DOI=10.1093/biostatistics/kxp053|PMID=19966070|PMC=2883299}}</ref>。セミパラメトリック回帰は、アウトカム間の測定不能な依存関係を扱うことができるため、大規模な[[疫学]]研究、特に多施設[[コホート研究]]で一般的に使用される。

== 定式化 ==
被験者 <math>i</math> の時刻 <math>j</math> に対する平均モデル <math>\mu_{ij}</math>（回帰パラメータ <math>\beta_k</math> の関数）と分散構造 <math>V_{i}</math> を用いて、推定方程式を次のように定式化することができる<ref>{{Cite book|last=Diggle|first=Peter J.|last2=Patrick Heagerty|last3=Kung-Yee Liang|last4=Scott L. Zeger|title=Analysis of Longitudinal Data|publisher=Oxford Statistical Science Series|year=2002|isbn=978-0-19-852484-7}}</ref>。

: <math> U(\beta) = \sum_{i=1}^N \frac{\partial \mu_{i}}{\partial \beta} V_i^{-1} \{ Y_i - \mu_i(\beta)\} \,\!</math>

パラメータ <math>\beta_k</math> は <math>U(\beta)=0</math> を解くことによって推定され、[[ニュートン法]]によってその解を得る。分散構造は、パラメータ推定の効率を向上させるよう選択される。パラメータ空間における一般化推定方程式の解の[[ヘッセ行列]]を使用して、ロバストな標準誤差推定を計算できる。分散構造 variance structure という用語は、サンプル内のアウトカム Y 間の共分散行列の代数形式を意味する。独立性、交換可能性、自己回帰性、定常m-依存性、非構造性が含まれる。 GEE回帰パラメータに関する最も一般的な推論形式は、ナイーブまたはロバストな標準誤差を使用するWald検定だが、対立仮説の下[[フィッシャー情報量|で情報の]]推定値を取得することが難しい場合は、スコア検定が望ましい。推定方程式は必ずしも尤度方程式ではないため、[[尤度比検定]]は妥当性を欠く。モデル選択には、[[赤池情報量規準|赤池情報量基準]]（AIC）に相当する独立モデル基準（QIC）の疑似尤度 [[Quasilikelihood under the Independence model Criterion]] (QIC) を用いることができる<ref>{{Citation|title=Akaike's information criterion in generalized estimating equations|last=Pan|first1=W.|year=2001|journal=[[Biometrics (journal)|Biometrics]]|volume=57|number=1|pages=120–125|doi=10.1111/j.0006-341X.2001.00120.x|pmid=11252586}}.</ref>。

=== 一般化モーメント法との関係 ===
一般化推定方程式は、[[一般化モーメント法]]（GMM）の特殊なケースである<ref>{{Cite journal|last=Breitung|first=Jörg|last2=Chaganty|first2=N. Rao|last3=Daniel|first3=Rhian M.|last4=Kenward|first4=Michael G.|last5=Lechner|first5=Michael|last6=Martus|first6=Peter|last7=Sabo|first7=Roy T.|last8=Wang|first8=You-Gan|last9=Zorn|first9=Christopher|date=2010|title=Discussion of 'Generalized Estimating Equations: Notes on the Choice of the Working Correlation Matrix'|journal=Methods of Information in Medicine|volume=49|issue=5|pages=426–432|DOI=10.1055/s-0038-1625133}}</ref>。この関係は、スコア関数が次の方程式を満たすとことから明らかである。<math>\mathbb{E}[U(\beta)] = {1\over{N}}\sum_{i=1}^N \frac{\partial \mu_{i}}{\partial \beta} V_i^{-1} \{ Y_i - \mu_i(\beta)\} \,\! = 0</math>

== 計算 ==
一般化推定方程式を解くためのソフトウェアとして以下の者が挙げられる。

* [[MATLAB]] <ref>{{Cite journal|last=Sarah J. Ratcliffe and Justine Shults|year=2008|title=GEEQBOX: A MATLAB Toolbox for Generalized Estimating Equations and Quasi-Least Squares|url=http://www.jstatsoft.org/v25/i14|journal=Journal of Statistical Software|volume=25|issue=14|pages=1–14}}</ref>
* SAS: proc '''genmod''' <ref>{{Cite web |url=http://support.sas.com/documentation/cdl/en/statug/63033/HTML/default/genmod_toc.htm |title=The GENMOD Procedure|accessdate=2022-10-20}}</ref> 
* [[SPSS]]: '''gee''' プロシージャ<ref>{{Cite web |url=http://www.spss.com/software/statistics/advanced-statistics/ |title=IBM SPSS Advanced Statistics|accessdate=2022-10-20}}</ref> 
* [[Stata]]: '''xtgee''' コマンド<ref>{{Cite web |url=https://www.stata.com/manuals15/xtxtgee.pdf |title=Stata's implementation of GEE|accessdate=2022-10-20}}</ref>
* [[R言語|R]]: パッケージ '''gee''' <ref>{{Cite web |url=https://cran.r-project.org/web/packages/gee/index.html |title=gee: Generalized Estimation Equation solver |date=7 November 2019|accessdate=2022-10-20}}</ref>、'''geepack''' <ref>{{Citation|title=geepack: Generalized Estimating Equation Package|date=18 December 2020|url=https://cran.r-project.org/web/packages/geepack/index.html|place=CRAN}}</ref>、'''multgee''' <ref>{{Citation|title=multgee: GEE solver for correlated nominal or ordinal multinomial responses using a local odds ratios parameterization|date=13 May 2021|url=https://cran.r-project.org/web/packages/multgee/index.html|place=CRAN}}</ref>
* [[Python]]: パッケージ '''statsmodels''' <ref>{{Cite web |url=https://www.statsmodels.org/devel/gee.html |title=Generalized Estimating Equations — statsmodels|accessdate=2022-10-20}}</ref>

二項相関データ<ref>{{Cite journal|last=Andreas Ziegler and Ulrike Grömping|year=1998|title=The generalised estimating equations: a comparison of procedures available in commercial statistical software packages|journal=Biometrical Journal|volume=40|issue=3|pages=245–260|DOI=10.1002/(sici)1521-4036(199807)40:3<245::aid-bimj245>3.0.co;2-n}}</ref> <ref>{{Cite journal|last=Nicholas J. HORTON and Stuart R. LIPSITZ|year=1999|title=Review of software to fit generalized estimating equation regression models|journal=The American Statistician|volume=53|issue=2|pages=160–169|DOI=10.1080/00031305.1999.10474451}}</ref>と順序相関データ<ref>{{Cite journal|last=Nazanin Nooraee, Geert Molenberghs, and Edwin R. van den Heuvel|year=2014|title=GEE for longitudinal ordinal data: Comparing R-geepack, R-multgee, R-repolr, SAS-GENMOD, SPSS-GENLIN|url=https://pure.rug.nl/ws/files/17588929/Title_and_contents_.pdf|journal=Computational Statistics & Data Analysis|volume=77|pages=70–83|DOI=10.1016/j.csda.2014.03.009}}</ref>について、ソフトウェアパッケージ間の違いが提示されている。

== 関連項目 ==

* [[一般化モーメント法]]
* [[反復測定デザイン]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==

* {{Cite book|last=Hardin|first=James|last2=Hilbe, Joseph|author2-link=Joseph Hilbe|title=Generalized Estimating Equations|url=https://archive.org/details/generalizedestim0000hard|publisher=London: Chapman and Hall/CRC|year=2003|isbn=978-1-58488-307-4}}
* {{Cite book|first=A.|last=Ziegler|title=Generalized Estimating Equations|publisher=Springer|year=2011|isbn=978-1-4614-0498-9}}

== 外部リンク ==

* [https://www.ics.uci.edu/~dgillen/STAT212/Handouts/lecture11.pdf Generalized Estimating Equations (GEE) - Part 1]
* [https://online.stat.psu.edu/stat504/lesson/12 Advanced Topics I - Generalized Estimating Equations (GEE)]
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[[Category:回帰分析]]
[[Category:数学に関する記事]]