一般化置換行列のソースを表示

[[数学]]の分野において、'''一般化置換行列'''（いっぱんかちかんぎょうれつ、{{Lang-en-short|generalized permutation matrix}}）あるいは'''単項行列'''（たんこうぎょうれつ、{{Lang-en-short|monomial matrix}}）とは、[[置換行列]]と同様の非ゼロ成分の配置パターン、すなわち、各列と各行に必ず唯一つの非ゼロ成分が存在するようなパターンを持つ行列であるが、それらの成分が必ず 1 である置換行列とは異なり、一般化置換行列ではそれらの成分は非ゼロであればどのような値でもよい。次の行列は、一般化置換行列の一例である：
:<math>\begin{bmatrix}
0 &  0 & 3 & 0\\
0 & -2 & 0 & 0\\
1 &  0 & 0 & 0\\
0 &  0 & 0 & 1\end{bmatrix}.</math>

== 構造 ==
[[正則行列|可逆行列]] ''A'' が一般化置換行列であるための必要十分条件は、それが可逆な[[対角行列]] ''D'' と（陰的に可逆な）[[置換行列]] ''P'' の積で記述できることである。すなわち、
:<math> A=DP </math>
と記述できることである。

=== 群構造 ===
ある[[可換体|体]] ''F'' に成分を持つ ''n''&times;''n'' の一般化置換行列の集合は、[[非特異行列|非特異]]対角行列 Δ(''n'', ''F'') の群が[[正規部分群]]を構成するような[[一般線型群]] GL(''n'',''F'') の部分群を構成する。実際、一般化置換行列は対角行列の[[正規化群]]であり、このことは一般化置換行列が、対角行列が正規であるような GL の「最大の」部分群であることを意味する。

一般化置換行列の抽象群は、''F''<sup>&times;</sup> と ''S''<sub>''n''</sub> の[[環積]]である。具体的にこのことは、Δ(''n'', ''F'') と[[対称群]] ''S''<sub>''n''</sub> の[[半直積]]としてそれが与えられることを意味する：
:&Delta;(''n'', ''F'') {{unicode|&#x22C9;}} ''S''<sub>''n''</sub>,
ここで ''S''<sub>''n''</sub> は座標を置換する作用で、対角行列 Δ(''n'', ''F'') は ''n''-fold product (''F''<sup>&times;</sup>)<sup>''n''</sup> と同型である。

より正確に言うと、一般化置換行列は、この抽象環積の（忠実な）[[線型表現]]、すなわち、抽象群を行列の部分群として実現するものである。

=== 部分群 ===
* すべての成分が 1 であるような部分群はまさしく[[置換行列]]であり、それは対称群と同型である。
* すべての成分が ±1 であるような部分群は[[#符号付置換群|符号付置換行列]]であり、それは{{仮リンク|超八面体群|en|hyperoctahedral group}}である。
* 成分が m 次の[[1の冪根|冪根]] <math>\mu_m</math> であるような部分群は、{{仮リンク|一般化対称群|en|generalized symmetric group}}と同型である。
* 対角行列の部分群はアーベル群であり、正規であり、極大アーベル部分群である。その商群は対称群であり、この構成は実際、[[一般線型群]]の[[ワイル群]]を導く。すなわち、対角行列は一般線型群の[[極大トーラス]]（そして、それら自身の中心化群）であり、一般化置換行列はこのトーラスの正規化群であり、商 <math>N(T)/Z(T) = N(T)/T \cong S_n</math> はワイル群である。

== 性質 ==
* [[非特異行列]]が[[非負行列|非負]]（すなわち、すべての成分が非負である行列）で、その逆行列も非負であるなら、その行列は一般化置換行列である。

== 一般化 ==
成分を体ではなく、[[環 (数学)|環]]の中に取ることを許すことで、さらなる一般化が可能となる。そのような場合、もし非負成分が環の[[可逆元|単元]]であるなら、ふたたび群が得られる。一方、もしその非負成分はただ非負であることのみが要求され、必ずしも単元でなくても良いなら、その行列の集合は代わりに[[半群]]を形成する。

行列乗算は群の成分の単一のペアの乗算のみで、群の成分を「加える」ことが無いと考え、非負成分がある群 ''G'' に属する場合も同様に考える人がいるかも知れない。掛けられる行列の元は乗算と加算を許すものであるため、これは[[記号の濫用|用語の濫用]]であるが、（形式的に正しい）抽象群 <math>G \wr S_n</math>（群 ''G'' と対称群の環積）に対する示唆に富む概念である。

== 符号付置換群 ==
{{see|超八面体群}}
'''符号付置換行列'''は各成分が ±1 であるような一般化置換行列で、逆行列も整数であるような整数一般化置換行列である。

=== 符号付置換群の性質 ===
* [[コクセター群]] <math>B_n</math> であり、次数は <math>2^nn!</math> である。
* [[超立方体]]の対称群であり、[[正軸体]]に属する。
* 行列式が 1 であるような行列のインデックス 2 の部分群は、コクセター群 <math>D_n</math> であり、それは[[半超立方体]]の対称群である。
* [[直交群]]の部分群である。

== 応用 ==
=== 単項表現 ===
{{main|単項表現}}
単項行列は、{{仮リンク|単項表現|en|monomial representation}}の文脈における[[表現論]]に現れる。ある群 ''G'' の単項表現はその線型表現 ''&rho;'' : ''G'' → GL(''n'', ''F'')（ここで ''F'' はその表現の定義体である）で、像 ''&rho;''(''G'') は単項行列の群の部分群である。

== 参考文献 ==
* {{cite book | last=Joyner | first=David | title=Adventures in group theory. Rubik's cube, Merlin's machine, and other mathematical toys | edition=2nd updated and revised | location=Baltimore, MD | publisher=Johns Hopkins University Press | year=2008 | isbn=978-0-8018-9012-3 | zbl=1221.00013 }}

{{DEFAULTSORT:いつはんかちかんきようれつ}}
[[Category:行列]]
[[Category:線型代数学]]
[[Category:置換]]
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