一般四元数群のソースを表示

{{簡易区別|[[クラインの四元群]]（{{lang-en-short|four-group}}, {{lang-de-short|Vierergruppe}}）}}
[[数学]]において、'''一般四元数群'''{{sfn|森|1975|p=63}}{{sfn|岩波数学辞典|2007|p=1530}}<ref>{{harvtxt|近藤|1991|p=31}}は「4元数型の群」、{{harvtxt|鈴木|1977|p=255}}は「4元数形の2群」という言い方をしている。 </ref>（いっぱんしげんすうぐん、{{lang-en-short|generalized quaternion group}}）とは、[[#四元数群|四元数群]]
:<math> Q_8 = \{ \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \} </math>
を一般化した[[有限群]]のこと。これは
:<math> Q_{4m} = \langle\, a, b \mid a^{2m} = 1,\ b^2 = a^m,\ b^{-1}ab = a^{-1} \,\rangle \qquad (m > 1)</math>
という[[群の表示|表示]]で定義される{{sfn|ATLAS|1985|p=xx}}<ref>「2重巡回群」（{{lang-en-short|dicyclic group}}）と呼ばれることもある {{harv|アームストロング|2007|p=195}}。</ref>、[[位数 (群論)|位数]] {{math|4''m''}} で、位数が {{math|2}} である部分群（<math> Z(Q_{4m}) = \langle a^m \rangle </math>）を唯一つ持つ群である{{sfn|近藤|1991|pp=31, 382}}。（2群の場合しか考えないこともある{{sfn|岩波数学辞典|2007|p=1530}}{{sfn|鈴木|1977|p=255}}{{sfn|森|1975|p=63}}。この場合、位数 {{math|2{{sup|''n''}}}} の一般四元数群を {{math|''Q''{{sub|''n''}}}} と書く流儀もあり{{sfn|森|1975|p=63}}、注意が必要である。）[[群の生成元]]を
:<math>
a \mapsto \begin{bmatrix} e^{\pi i/m} & 0 \\ 0 & e^{-\pi i/m} \end{bmatrix}, \quad
b \mapsto \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}
</math>
のように対応させることで、[[忠実表現|忠実な行列表現]]を得ることができる。

== 四元数群 ==
'''四元数群'''（しげんすうぐん、{{lang-en-short|quaternion group}}）は
:<math> Q_8 = \langle\, i, j, k \mid i^2 = j^2 = k^2 = ijk \,\rangle </math>
という[[群の表示|表示]]で定義される<ref>一般四元数群の対応する表示は <math> Q_{4m} = \langle\, i, j, k \mid i^m = j^2 = k^2 = ijk \,\rangle </math> である ([[#Groupprops|Groupprops]])。</ref>。これは[[位数 (群論)|位数]] {{math|8}} の非[[可換群]]で、すべての真[[部分群]]は[[巡回群|巡回的]]である<!-- このようなp群はこれだけ。 -->。元 {{math|''ijk'' &isin; ''Q''{{sub|8}}}} は唯一つの[[対合]]で[[群の中心|中心的]]であり、 {{math|&minus;1}} と書かれることも多い。これらの記号はハミルトンの[[四元数環]]の生成系に由来する。[[群の生成元]]を
:<math>
i \mapsto \begin{bmatrix} \sqrt{-1} & 0 \\ 0 & -\sqrt{-1} \end{bmatrix}, \quad
j \mapsto \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \quad
k \mapsto \begin{bmatrix} 0 & \sqrt{-1}  \\ \sqrt{-1} & 0 \end{bmatrix}
</math>
のように対応させることで、[[忠実表現|忠実な行列表現]]を得ることができる。四元数群は[[ハミルトン群]]、つまり、すべての部分群が[[正規部分群]]であるような非可換群の最小位数の例である。また[[自己同型群]] {{math|Aut(''Q''{{sub|8}})}} は4次の[[対称群]] {{math|''S''{{sub|4}}}} と同型である{{sfn|Weinstein|1977}}。

== ブラウアー・鈴木の定理 ==
有限群 {{mvar|G}} の持つ[[シロー部分群|シロー {{math|2}} 部分群]]が一般四元数群と同型ならば最大の奇数位数正規部部分群 [[核 (群論)|{{math|''O''(''G'')}}]] による商 {{math|''G''/''O''(''G'')}} の[[群の中心|中心]]は位数 {{math|2}} である{{sfn|Michler|2006|p={{google books quote|id=lWfF-NHeq6cC|page=265|265}}}}。特に、このような有限群 {{mvar|G}} は決して[[単純群]]でない。

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{cite book
|和書
|author = M. A. アームストロング
|year = 2007
|title = 対称性からの群論入門
|publisher = [[シュプリンガー・ジャパン]]
|isbn = 978-4-431-10007-2
|ref = {{sfnref|アームストロング|2007}}
}}

* {{cite book
|和書
|author = 近藤武
|year = 1991
|title = 群論
|series = [[岩波基礎数学選書]]
|publisher = [[岩波書店]]
|isbn = 4-00-007807-0
|ref = {{sfnref|近藤|1991}}
}}

* {{cite book
|和書
|author = 鈴木通夫
|authorlink = 鈴木通夫
|year = 1977
|title = 群論　上
|series = 現代数学
|volume = 18
|publisher = [[岩波書店]]
|isbn = 978-4-00-730271-8
|ref = {{sfnref|鈴木|1977}}
}} 数学 [https://doi.org/10.11429/sugaku1947.37.180 sugaku1947.37.180]

* {{cite book
|和書
|title = 有限群論入門
|author = 森光弥
|publisher = [[実教出版]]
|year = 1975
|id = {{全国書誌番号|69006293}}
|ref = {{sfnref|森|1975}}
}}

* {{cite book
|和書
|year = 2007
|title = 岩波 数学辞典
|edition = 第4版
|editor = [[日本数学会]]
|publisher = [[岩波書店]]
|isbn = 978-4-00-080309-0
|ref = {{sfnref|岩波数学辞典|2007}}
}}

* {{cite book
|title = Theory of Finite Simple Groups
|last = Michler
|first = Gerhard O.
|series = New Mathematical Monographs
|volume = 8
|publisher = [[Cambridge University Press]]
|isbn = 0-521-86625-1
|year = 2006
|zbl = 1146.20011
|ref = harv
}}

* {{cite book
|title = Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups
|last1 = Conway
|first1 = J. H.
|last2 = Curtis
|first2 = R. T.
|last3 = Norton
|first3 = S. P.
|last4 = Parker
|first4 = R. A.
|last5 = Wilson
|first5 = R. A.
|publisher = Oxford
|year = 1985
|isbn = 0-19-853199-0
|zbl = 0568.20001
|ref = {{sfnref|ATLAS|1985}}
}}

* {{cite book
|title = Example of Groups
|last = Weinstein
|first = M.
|year = 1977
|publisher = Polygonal Publishing House
|zbl = 0359.20001
|ref = harv
}}

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM | title=Quaternion group | id=Quaternion_group }}
* {{cite web
|title = Dicyclic group
|url = https://groupprops.subwiki.org/wiki/Dicyclic_group
|work = Groupprops
|accessdate = 2019-05-26
|ref = Groupprops
}}

{{DEFAULTSORT:いつはんしけんすうくん}}

[[Category:群論]]
[[Category:数学に関する記事]]