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{{要改訳}}代数幾何学では、'''一般型曲面'''(surface of general type)とは、[[小平次元]]が 2 である[[代数曲面]]を言う。[[代数幾何学と解析幾何学#周の定理|周の定理]]により、任意のコンパクトな次元 2 の複素多様体で小平次元が 2 のものは実際に代数曲面であり、ある意味でたいていの曲面はこのクラスに入っている。 <!--In [[algebraic geometry]], a '''surface of general type''' is an [[algebraic surface]] with [[Kodaira dimension]] 2. Because of [[Algebraic geometry and analytic geometry#Chow.27s theorem|Chow's theorem]] any compact complex manifold of dimension 2 and with Kodaira dimension 2 will actually be an algebraic surface, and in some sense most surfaces are in this class.--> ==分類== ギーセカ(Gieseker)は、一般型曲面には{{仮リンク|粗いモジュライスキーム|en|coarse moduli scheme}}(coarse moduli scheme)が存在することを示した。このことは、任意に固定した[[チャーン類|チャーン数]] c<sub>1</sub><sup>2</sup> と c<sub>2</sub> の値に対し、そのようなチャーン数を持つ一般型の曲面を分類する{{仮リンク|準射影スキーム|en|quasi-projective scheme}}(quasi-projective scheme)が存在することを意味する。これらのスキームを明示的に記述することは非常に難しい問題で、（スキームが空の場合を除き）これが完成されたチャーン数のペアは少ししかない。一般にはそれらのスキームが複雑すぎて具体的に書き下すことができないことを示す証拠がいくつかある：知られている既約成分の個数の上界が非常に大きいこと、いたるところ被約でない({{仮リンク|被約スキーム|label=被約でないスキーム|en|reduced scheme}})成分が存在しうること、成分の次元がいくつもの異なる値をとりうること、すでに具体的に調べられているいくつかの例も非常に複雑に見えることである。<!--==Classification== Gieseker showed that there is a [[coarse moduli scheme]] for surfaces of general type; this means that for any fixed values of the [[Chern number]]s ''c''<sub>1</sub><sup>2</sup> and ''c''<sub>2</sub>, there is a [[quasi-projective scheme]] classifying the surfaces of general type with those Chern numbers. It remains a very difficult problem to describe these schemes explicitly, and there are few pairs of Chern numbers for which this has been done (except when the scheme is empty). There are some indications that these schemes are in general too complicated to write down explicitly: the known upper bounds for the number of components are very large, some components can be [[reduced scheme|non-reduced]] everywhere, components may have many different dimensions, and the few pieces that have been studied explicitly tend to look rather complicated.--> [[Image:Geography of surfaces.jpg|thumb |500px|極小曲面のチャーン数]] 一般型の曲面となるようなチャーン類のペアの研究は、「チャーン数の地理学」として知られていて、この疑問へはほぼ完ぺきな答えがある。一般型の{{仮リンク|極小 (双有理幾何学)|label=極小|en|minimal model (birational geometry)}}(minimal)な複素曲面の[[チャーン類|チャーン数]]が満たさねばならない条件がいくつかある。 *<math>c_1^2+c_2 \equiv 0 \pmod{12}</math> （12χ に等しい） *<math>c^2_1 \ge 0, c_2 \ge0</math> *<math>c_1^2 \le 3c_2 </math> （[[ボゴモロフ・宮岡・ヤウの不等式]]） *<math>5c_1^2 - c_2 + 36 \ge 12q \ge 0</math> ここで q は[[曲面の不正則数]]である。（[[ネターの不等式|ネター不等式]]） <!--[[Image:Geography of surfaces.jpg|thumb |500px|Chern numbers of minimal complex surfaces]] The study of which pairs of Chern numbers can occur for a surface of general type is known as "{{visible anchor|geography of Chern numbers}}" and there is an almost complete answer to this question. There are several conditions that the [[Chern number]]s of a [[minimal model (birational geometry)|minimal]] complex surface of general type must satisfy: *<math>c_1^2+c_2 \equiv 0 \pmod{12}</math> (as it is equal to 12χ) *''c''<sub>1</sub><sup>2</sup> > 0, ''c''<sub>2</sub> > 0 *''c''<sub>1</sub><sup>2</sup> ≤ 3''c''<sub>2</sub> (the [[Bogomolov-Miyaoka-Yau inequality]]) *5''c''<sub>1</sub><sup>2</sup> − ''c''<sub>2</sub> + 36 ≥ 12''q'' ≥ 0 where ''q'' is the [[irregularity of a surface]] (the [[Noether inequality]]).--> これらの条件を満たす多くの（全ての、かもしれない）整数のペアは、ある一般型の複素曲面のチャーン数である。一方、[[概複素多様体|概複素]]曲面に対しては、唯一の拘束条件は、 :<math>c_1^2+c_2 \equiv 0 \pmod{12},</math> であり、この条件を満たすようなチャーン数のペアは常に、ある概複素曲面のチャーン数として実現できる。<ref>http://www.pnas.org/cgi/reprint/55/6/1624.pdf</ref> <!--Many (and possibly all) pairs of integers satisfying these conditions are the Chern numbers for some complex surface of general type. By contrast, for [[almost complex manifold|almost complex]] surfaces, the only constraint is: :<math>c_1^2+c_2 \equiv 0 \pmod{12},</math> and this can always be realized.<ref>http://www.pnas.org/cgi/reprint/55/6/1624.pdf</ref>--> ==例== 今までに見つかっている多くの一般型曲線から、いくつかを選んで紹介する。これまでに研究されている一般型曲面の多くは、チャーン数として取りうる値からなる領域の縁の部分、もしくはその近辺にある。特に、堀川曲面は「ネター直線」の近く、または上にある。以下に一覧化する曲面の多くは、直線 c<sub>2</sub> + c<sub>1</sub><sup>2</sup> = 12χ = 12 の上にある（12というのは、一般型曲面に対して c<sub>2</sub> + c<sub>1</sub><sup>2</sup> の取りうる最小の値である）。また、直線 3c<sub>2</sub> = c<sub>1</sub><sup>2</sup> 上にある曲面は全て'''C'''<sup>2</sup> の単位球の商である（それらを見つけ出すことは非常に難しい）。 <!--==Examples== This is only a small selection of the rather large number of examples of surfaces of general type that have been found. Many of the surfaces of general type that have been investigated lie on (or near) the edges of the region of possible Chern numbers. In particular Horikawa surfaces lie on or near the "Noether line", many of the surfaces listed below lie on the line ''c''<sub>2</sub> + ''c''<sub>1</sub><sup>2</sup> = 12χ = 12, the minimum possible value for general type, and surfaces on the line 3''c''<sub>2</sub> = ''c''<sub>1</sub><sup>2</sup> are all quotients of the unit ball in '''C'''<sup>2</sup> (and are particularly hard to find).--> === χ=1 を持つ曲面 === 図の左下の境界にあるこれらの曲面は、詳しく研究されている。これらの曲面では、持ちうる第二チャーン類は、3 から 11 までの任意の整数である。これらの値全てについて、そのチャーン数を持つ曲面が知られている。研究されている多くの例のうちのいくつかを挙げる。 <!--===Surfaces with χ=1=== These surface which are located in the "lower left" boundary in the diagram have been studied in detail. For these surfaces with second Chern class can be any integer from 3 to 11. Surfaces with all these values are known; a few of the many examples that have been studied are:--> *''c''<sub>2</sub> = 3: {{仮リンク|偽射影曲面|label=マンフォード曲面|en|Fake projective plane}}(Mumford surface) 第一の例はマンフォード(Mumford)により、p-進幾何学を使い発見され、全部で 50 例ある。マンフォード曲面は射影平面と同じベッチ数を持っているが、基本群が無限群であり、同相ではない。 *''c''<sub>2</sub> = 4: {{仮リンク|ベルヴィル曲面|en|Beauville surface}}(Beauville surface)は、オーナンド・ベルヴィル(Arnaud Beauville)に因んで命名され、基本群が無限群である。 *''c''<sub>2</sub> ≥ 4: {{仮リンク|ベルニア曲面|en|Burniat surface}}(Burniat surface) *''c''<sub>2</sub> = 10: {{仮リンク|カンペデーリ曲面|en|Campedelli surface}}(Campedelli surface) 同じホッジ数を持つ曲面で、'''数値的カンペデーリ曲面'''(numerical Campedelli surfaces)と呼ばれている。 *''c''<sub>2</sub> = 10: {{仮リンク|カタネーゼ曲面|en|Catanese surface}}(Catanese surface)は単連結である。 *''c''<sub>2</sub> = 11: {{仮リンク|ガドー曲面|en|Godeaux surface}}(Godeaux surface) 位数 5 の巡回群が自由に{{仮リンク|フェルマー曲面|en|Fermat surface}}(Fermat surface)上の点(w : x : y : z) に作用する。点は '''P'''<sup>3</sup> 内であり、w<sup>5</sup> + x<sup>5</sup> + y<sup>5</sup> + z<sup>5</sup> = 0 を満たし、(w : x : y : z) から (w:ρx:ρ<sup>2</sup>y:ρ<sup>3</sup>z) へ写像される。ここの ρ は 1 の 5番目の根である。この作用による商が元々の'''ガドー曲面'''である。同じホッジ数を持つ曲面で同じ方法で構成された他の曲面も、ガドー曲面と呼ばれることがある。同じホッジ数（バーロー曲面(Barlow surfaces)）をもつ曲面は、'''数値的ガドー曲面'''(numerical Godeaux surfaces)と呼ばれる。元々のガドー曲面の基本群は、位数 5 の巡回群である。 *''c''<sub>2</sub> = 11: {{仮リンク|バーロー曲面|en|Barlow surface}}(Barlow surface)は単連結である。p<sub>g</sub> = 0 の一般型曲面で単連結な唯一しられた例である。 <!--*''c''<sub>2</sub> = 3: [[Fake projective plane]] (Mumford surface). The first example was found by Mumford using ''p''-adic geometry, and there are 50 examples altogether. They have the same Betti numbers as the projective plane, but are not homeomorphic to it as their fundamental groups are infinite. *''c''<sub>2</sub> = 4: [[Beauville surface]]s are named for Arnaud Beauville and have infinite fundamental group. *''c''<sub>2</sub> ≥ 4: [[Burniat surface]]s *''c''<sub>2</sub> = 10: [[Campedelli surface]]s . Surfaces with the same Hodge numbers are called '''numerical Campedelli surfaces'''. *''c''<sub>2</sub> = 10: [[Catanese surface]]s are simply connected. *''c''<sub>2</sub> = 11: [[Godeaux surface]]s. The cyclic group of order 5 acts freely on the [[Fermat surface]] of points (''w : x : y : z'') in '''P'''<sup>3</sup> satisfying ''w''<sup>5</sup> + ''x''<sup>5</sup> + ''y''<sup>5</sup> + ''z''<sup>5</sup> = 0 by mapping (''w'' : ''x'' : ''y'' : ''z'') to (''w:ρx:ρ<sup>2</sup>y:ρ<sup>3</sup>z'') where ρ is a fifth root of 1. The quotient by this action is the original '''Godeaux surface'''. Other surfaces constructed in a similar way with the same Hodge numbers are also sometimes called Godeaux surfaces. Surfaces with the same Hodge numbers (such as Barlow surfaces) are called '''numerical Godeaux surfaces'''. The fundamental group (of the original Godeaux surface) is cyclic of order 5. *''c''<sub>2</sub> = 11: [[Barlow surface]]s are simply connected, and are the only known examples of simply connected surfaces of general type with ''p<sub>g</sub>'' = 0.--> ===他の例=== *'''{{仮リンク|カステルヌオヴォ曲面|en|Castelnuovo surface}}'''(Castelnuovo surface) 他の極端な例として、カステルヌオヴォ(Castelnuovo)は、標準バンドルが一般型の曲面に対し非常に豊富であれば、c<sub>1</sub><sup>2</sup> ≥ 3p<sub>g</sub> − 7 を示した。カステルヌオヴォ曲面は、標準バンドルが非常に豊富で c<sub>1</sub><sup>2</sup> = 3p<sub>g</sub> − 7 である一般型曲面である。 *'''{{仮リンク|完全交叉|en|Complete intersection}}'''(Complete intersection) '''P'''<sup>n</sup> の次数 d<sub>1</sub> ≥ d<sub>2</sub> ≥ ... ≥ d<sub>n−2</sub> ≥ 2 の超曲面の滑らかな完全交叉は、次数が (2), (3), (2, 2) (rational), (4), (3, 2), (2, 2, 2) (小平次元 0) でなければ、一般型の曲面である。完全交叉は全て単連結である。特別な例として、'''超曲面'''(hypersurfaces)がある。例えば、'''P'''<sup>3</sup> の中の少なくとも次数が 5 の非特異曲面は'''一般型'''である。（次数 4 の非特異超曲面は[[K3曲面]]であり、次数が 4 以下の曲面は[[有理曲面]]である。） * 3次 3次元多様体上の直線の'''̼{{仮リンク|ファノ曲面|en|Fano surface}}'''(Fano surface) *'''{{仮リンク|ヒルベルトモジュラ曲面|en|Hilbert modular surface}}'''(Hilbert modular surface)はほとんど一般型である。 *'''{{仮リンク|堀川曲面|en|Horikawa surface}}'''(Horikawa surface)は、q = 0 と p<sub>g</sub> = c<sub>1</sub><sup>2</sup>/2 + 2 あるいは c<sub>1</sub><sup>2</sup>/2 + 3/2 である曲面である（これは、チャーン数として取りうる値のなす領域の境界のうち、「ネター直線」の上か近くにあることを意味する）。堀川曲面は単連結で、堀川(Horikawa)はこれらの詳細な記述を与えた。 *'''積'''(Products) 両方とも種数がすくなくとも 2 の 2つの曲線の積は一般型曲面である。 *'''P'''<sup>2</sup> 内の次数 2m の非特異曲線の二重被覆は、2m≥8 であれば一般型である（ 2m=2 に対し、二重被覆は有理的であり、2m=4 に対して再び有理的となり、{{仮リンク|デル・ペッゾ二重平面|en|del Pezzo double plane}}(del Pezzo double plane)と呼ばれる。2m=6 に対しては[[K3曲面]]である）。それらは単連結であり、チャーン数 c<sub>1</sub><sup>2</sup> = 2(m − 3)<sup>2</sup>, c<sub>2</sub> = 4m<sup>2</sup> − 6m + 6 となる。 <!--===Other Examples=== *'''[[Castelnuovo surface]]s:''' Another extremal case, Castelnuovo proved that if the canonical bundle is very ample for a surface of general type then ''c''<sub>1</sub><sup>2</sup> ≥ 3''p<sub>g</sub>'' − 7. Castelnuovo surface are surfaces of general type such that the canonical bundle is very ample and that ''c''<sub>1</sub><sup>2</sup> = 3''p<sub>g</sub>'' − 7. *'''[[Complete intersection]]s:''' A smooth complete intersection of hypersurfaces of degrees ''d''<sub>1</sub> ≥ ''d''<sub>2</sub> ≥ ... ≥ ''d''<sub>''n''−2</sub> ≥ 2 in '''P'''<sup>''n''</sup> is a surface of general type unless the degrees are (2), (3), (2, 2) (rational), (4), (3, 2), (2, 2, 2) (Kodaira dimension 0). Complete intersections are all simply connected. A special case are '''hypersurfaces''': for example, in '''P'''<sup>3</sup>, non-singular surfaces of degree at least 5 are of ''general type'' (Non-singular hypersurfaces of degree 4 are [[K3 surface]]s, and those of degree less than 4 are rational). *'''[[Fano surface]]s''' of lines on a cubic 3-fold. *'''[[Hilbert modular surface]]s''' are mostly of general type. *'''[[Horikawa surface]]s''' are surfaces with ''q'' = 0 and ''p<sub>g</sub>'' = ''c''<sub>1</sub><sup>2</sup>/2 + 2 or ''c''<sub>1</sub><sup>2</sup>/2 + 3/2 (which implies that they are more or less on the "Noether line" edge of the region of possible values of the Chern numbers). They are all simply connected, and Horikawa gave a detailed description of them. *'''Products:''' the product of two curves both of genus at least 2 is a surface of general type. *Double covers of non-singular degree 2''m'' curves in '''P'''<sup>2</sup> are of general type if 2''m''≥8. (For 2''m''=2 they are rational, for 2''m''=4 they are again rational and called [[del Pezzo double plane]]s, and for 2''m''=6 they are [[K3 surface]]s.) They are simply connected, and have Chern numbers ''c''<sub>1</sub><sup>2</sup> = 2(''m'' − 3)<sup>2</sup>, ''c''<sub>2</sub> = 4''m''<sup>2</sup> − 6''m'' + 6.--> ==標準モデル== {{harvtxt|Bombieri|1973}} は、n≥5 のときは常に、一般型複素曲面に対し、多重標準写像 φ<sub>''nK''</sub> がその像と双有理同型となることを示し、{{harvtxt|Ekedahl|1988}} は、正の標数でもこれらの結果が成立することを示した。n が 4 のときに双有理同型とはならない例が存在する。これらの結果は{{仮リンク|ライダーの定理|en|Reider's theorem}}(Reider's theorem)に従う。 <!--==Canonical models== {{harvtxt|Bombieri|1973}} proved that the multicanonical map φ<sub>''nK''</sub> for a complex surface of general type is a birational isomorphism onto its image whenever ''n''≥5, and {{harvtxt|Ekedahl|1988}} showed that the same result still holds in positive characteristic. There are some surfaces for which it is not a birational isomorphism when ''n'' is 4. These results follow from [[Reider's theorem]].--> ==関連項目== * [[エンリケス・小平の分類]] * {{仮リンク|代数曲面の一覧|en|List of algebraic surfaces}}(List of algebraic surfaces) ==脚注== <references/> ==参考文献== *{{Citation | last1=Barth | first1=Wolf P. | last2=Hulek | first2=Klaus | last3=Peters | first3=Chris A.M. | last4=Van de Ven | first4=Antonius | title=Compact Complex Surfaces | publisher= Springer-Verlag, Berlin | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. | isbn=978-3-540-00832-3 |mr=2030225 | year=2004 | volume=4}} *{{Citation | last1=Bombieri | first1=Enrico | author1-link=Enrico Bombieri | title=Canonical models of surfaces of general type | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1973__42__171_0 |mr=0318163 | year=1973 | journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | issn=1618-1913 | issue=42 | pages=171–219}} *{{Citation | last1=Ekedahl | first1=Torsten | title=Canonical models of surfaces of general type in positive characteristic | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__67__97_0 |mr=972344 | year=1988 | journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | issn=1618-1913 | issue=67 | pages=97–144}} * {{Citation | author=P. Griffiths | authorlink=Phillip Griffiths | coauthors=[[Joe Harris (mathematician)|J. Harris]] | title=Principles of Algebraic Geometry | series=Wiley Classics Library | publisher=Wiley Interscience | year=1994 | isbn=0-471-05059-8 }} *{{SpringerEOM|title=General-type algebraic surface|last= Iskovskikh |first=V.A.|urlname=General-type_algebraic_surface}} {{デフォルトソート:いつはんかたきよくめん}} [[Category:代数曲面]] [[Category:双有理幾何学]] [[Category:複素曲面]] [[Category:数学に関する記事]]
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