一般相対性理論のソースを表示

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{{一般相対性理論}}
[[ファイル:Spacetime curvature.png|thumb|400px|質量（地球）が2次元で描いた格子模様の平面に落とし込まれた状態を描いた説明図。格子模様をゆがめている様子が視認できる。また、歪んでいる格子模様自体が重力と解釈できる。この説明図を一般人にも理解できるよう例えるなら、重い物がトランポリンに沈む状態と同じである。]]

'''一般相対性理論'''（いっぱんそうたいせいりろん、{{lang-de-short|allgemeine Relativitätstheorie}}, {{lang-en-short|general theory of relativity}}）は、[[アルベルト・アインシュタイン]]が[[1905年]]の[[特殊相対性理論]]に続いて、それを発展させ[[1915年]]から[[1916年]]にかけて発表した[[物理学]]の理論である。'''一般相対論'''（いっぱんそうたいろん、{{lang-en-short|general relativity}}）とも呼ばれる。

== 概要 ==
[[ファイル:Flamm.svg|thumb|重力場の概念図。中心に近づくほど重力が大きい。]]
[[一般相対性原理]]と[[一般共変性原理]]および[[等価原理]]を理論的な柱とし、[[リーマン幾何学]]を[[数学]]的土台として構築された[[古典論]]的な[[重力場]]の理論であり、ロシアの物理学者の[[レフ・ランダウ]]は一般相対論について、現存する物理学の理論の中で最も美しい理論だと述べている<ref>[[#場の古典論|場の古典論]], p. 253.</ref>。[[測地線]]の[[方程式]]と[[アインシュタイン方程式]]（重力場の方程式）が帰結である。時間と空間を結びつけるこの理論では、[[アイザック・ニュートン]]によって[[万有引力]]として説明された現象が、もはやニュートン力学的な意味での[[力 (物理学)|力]]ではなく、[[時空連続体]]の[[ゆがみ|歪み]]として説明される。

一般相対性理論では、次のことが予測される。
;[[重力レンズ|重力レンズ効果]]
:重力場中では光が曲がって進むこと。[[アーサー・エディントン]]は、[[1919年5月29日の日食]]で、[[太陽]]の近傍を通る星の光の曲がり方がニュートン力学で予想されるものの2倍であることを観測で確かめ、一般相対性理論が正しいことを示した。
;[[水星]]の[[近点・遠点|近日点]]の移動
:ニュートン力学だけでは、水星軌道のずれ（[[近点移動|近日点移動]]の大きさ）の観測値の説明が不完全だったが、一般相対性理論が解決を与え、太陽の[[質量]]による時空連続体の歪みに原因があることを示した。
;[[重力波 (相対論)|重力波]]
:[[時空]]の歪み（[[重力場]]）の変動が伝播する現象。[[線型近似]]が有効な弱い重力波の伝播速度は[[光速]]である。アインシュタインによる予測の発表から100年目の[[2016年]]に、アメリカの[[LIGO]]により直接観測された。
;[[膨張宇宙]]
:時空は膨張または収縮し、定常にとどまることがないこと。[[ビッグバン]]宇宙を導く。
;[[ブラックホール]]
:限られた空間に大きな質量が集中すると、光さえ脱出できないブラックホールが形成される。
;[[重力]]による[[赤方偏移]]
:強い重力場から放出される光の波長は元の波長より引き延ばされる現象。
;[[時間の遅れ]]
:強い重力場中で測る時間の進み（[[固有時|固有時間]]）が、弱い重力場中で測る時間の進みより遅いこと。

一般相対性理論は慣性力と重力を結び付ける等価原理のアイデアに基づいている。等価原理とは、簡単に言えば、外部を観測できない箱の中の観測者は、自らにかかる力が、箱が一様に加速されるために生じている慣性力なのか、箱の外部にある質量により生じている重力なのか、を区別することができないという主張である。

相対論によれば空間は時空連続体であり、一般相対性理論では、その時空連続体が均質でなく歪んだものになる。つまり、質量が時空間を歪ませることによって、重力が生じると考える。そうだとすれば、質量の周囲の時空間は歪んでいるために、光は直進せず、また時間の流れも影響を受ける。これが重力レンズや時間の遅れといった現象となって観測されることになる。また質量が移動する場合、その移動にそって時空間の歪みが移動・伝播していくために重力波が生じることも予測される。

アインシュタイン方程式から得られる時空は、ブラックホールの存在や膨張宇宙モデルなど、アインシュタイン自身さえそれらの解釈を拒むほどの驚くべき描像である。しかし、ブラックホールや初期宇宙の[[特異点]]の存在も理論として内包しており、特異点の発生は一般相対性理論そのものを破綻させてしまう。将来的には[[量子重力理論]]が完成することにより、この困難は解決されるものと期待されている。

== 歴史 ==
=== 一般相対性理論が成立するまでの研究 ===
1905年に特殊相対性理論を発表したアインシュタインは、特殊相対性理論を加速度運動を含めたものに拡張する理論の構築に取り掛かった。1907年に、アインシュタイン自身が「人生で最も幸福な考え (the happiest thought of my life)」と振り返る「重力によって生じる加速度は観測する座標系によって局所的にキャンセルすることができる」というアイディア（等価原理<ref>[[#選集2|選集2]] [A2]一般相対性理論および重力論の草案 (1914), p.34</ref>）を得る。 光の進み方と重力に関する論文を1911年に出版した後、1912年からは、重力場を時空の幾何学として取り扱う方法を模索した。このときにアインシュタインに[[リーマン幾何学]]の存在を教えたのが、数学者[[マルセル・グロスマン]]であった。ただし、このときグロスマンは、「物理学者が深入りする問題ではない」と助言したとも伝えられている。1915年-16年には、これらの考えが1組の微分方程式（[[アインシュタイン方程式]]）としてまとめられた。

この時期にアインシュタインが発表した一般相対性理論に関する論文は、以下の通り。
*1911年 論文『光の伝播に対する重力の影響<ref group="注">原題：[[#einstein|''Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes'']]</ref>』(Annalen der Physik, 35, 898-908)
*1914年 論文『一般相対性理論および重力論の草案<ref group="注">原題：''Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation''</ref>』(ZS. f. Math. u. Phys., 62, 225-261)
*1915年 論文『水星の近日点の移動に対する一般相対性理論による説明<ref group="注">原題：{{Cite journal|title=Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie|bibcode=1915SPAW.......831E|doi=10.1002/3527608958.ch4}}.</ref>』(S.B. Preuss. Akad. Wiss., 831-839)
*1916年 論文『一般相対性理論の基礎<ref group="注">原題：[[#einstein2|''Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie'']]</ref>』(Annalen der Physik (Germany), 49, 769-822)
*1916年 論文『ハミルトンの原理と一般相対性理論<ref group="注">原題：{{Cite journal|title=Hamiltonsches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie|bibcode=1916SPAW......1111E|doi=10.1002/3527608958.ch9}}</ref>』(S.B. Preuss. Akad. Wiss., 1111-1116)

=== 一般相対性理論の発表後 ===
アインシュタイン方程式の発表後は、その方程式を解くことが研究の課題となった。

1916年に[[カール・シュヴァルツシルト]]が、アインシュタイン方程式を球対称・真空の条件のもとに解き、今日[[ブラックホール]]と呼ばれる時空を表す[[シュヴァルツシルトの解|シュヴァルツシルト解]]を発見した。アインシュタイン自身は、自ら導いた方程式から、重力波の概念を提案したり、宇宙全体に適用すると動的な宇宙が得られてしまうことから、[[宇宙定数|宇宙項]]を新たに方程式に加えるなどの提案を行っている。
*1917年 論文『一般相対性理論についての宇宙論的考察』(S.B. Preuss. Akad. Wiss., 142-152)
*1918年 論文『重力波について』(S.B. Preuss. Akad. Wiss., 154-167)

[[ファイル:1919 eclipse positive.jpg|thumb|1919年5月29日の皆既日食の写真。アーサー・エディントンが撮影した。]]
1919年5月29日に[[アーサー・エディントン]]が[[皆既日食]]を利用して、一般相対性理論により予測された太陽近傍での光の曲がりを確認したことにより、理論の正しさが認められ、世間への認知が一気に広まった。

1922年には、宇宙膨張を示唆するフリードマン・ロバートソンモデルが提案されるが、アインシュタイン自身は、宇宙が定常であると信じていたので、現実的な宇宙の姿であるとは受け入れようとはしなかった。

しかし、1929年には、[[エドウィン・ハッブル]]が、遠方の銀河の[[赤方偏移]]より、宇宙が膨張していることを示し、これにより、一般相対性理論の予測する時空の描像が正しいことが判明した。後にアインシュタインは宇宙項の導入を取り下げ、「生涯最大の失敗だった (the biggest blunder in my career)」と[[ジョージ・ガモフ]]に語ったという。

1931年、[[スブラマニアン・チャンドラセカール]]は、[[白色矮星]]の質量に上限があることを理論的計算によって示した。今日、[[チャンドラセカール限界]]として知られる式は、[[万有引力定数]] {{mvar|G}}、[[プランク定数]] {{mvar|h}}、[[光速]] {{mvar|c}} の3つの基本定数を含み、古典物理・量子物理双方の成果を集大成したものでもある。チャンドラセカールは、「星の構造と進化にとって重要な物理的過程の理論的研究」の功績で[[ノーベル物理学賞]]（1983年）を受賞した。

1939年、[[ロバート・オッペンハイマー]]とゲオルグ・ヴォルコフ{{enlink|George Volkoff}}<!-- ゲオルグの読み方は違うかも -->は、[[中性子星]]形成のメカニズムを考察する過程で、[[重力崩壊]]現象が起きることを予測した。

その後しばらく、一般相対性理論は、「数学的産物」として実質的な物理研究の主流からは外れている。

重力波は果たして物理的な実体であるのかどうかという論争や、アインシュタイン方程式の厳密解の分類方法などの研究がしばらく続くが、1960年代の[[パルサー]]の発見やブラックホール候補天体の発見、そして[[ロイ・カー]]による回転ブラックホール解（[[カー解]]）の発見を契機に、一般相対性理論は天文学の表舞台に登場する。同時期に、[[スティーヴン・ホーキング]]と[[ロジャー・ペンローズ]]が[[特異点定理]]を発表し、数学的・物理的に進展を始めると共に、[[ジョン・ホイーラー]]らが、古典重力・量子重力双方に物理的な描像を次々と提出し始めた。[[ワームホール]]（1957年）や[[ブラックホール]]（1967年）という名前を命名したのは、ホイーラーである。

1974年、[[ジョゼフ・テイラー]]と[[ラッセル・ハルス]]は、連星[[パルサー]] [[PSR B1913+16]] を発見した。連星の自転周期とパルスの放射周期を精密に観測することによって、[[重力波 (相対論)|重力波]] により、連星系からエネルギーが徐々に運び去られていることを示し、重力波の存在を間接的に証明した。この業績により、2人は「重力研究の新しい可能性を開いた新型連星パルサーの発見」として[[ノーベル物理学賞]]（1993年）を受賞した。

重力波の直接観測も試みられ続け、2016年に[[重力波検出器]]（[[マイケルソン干渉計|レーザー干渉計]]）により、連星ブラックホールの合体イベントによる重力波を[[重力波の初検出|初めて直接検出]]したことが発表された。

また、宇宙論研究では、[[ビッグバン]]宇宙モデル（1947年）が有力とされているが、さらにその初期宇宙の膨張則を修正した[[インフレーション宇宙]]モデル（1981年）も正しいことが、2006年の[[WMAP]]衛星による[[宇宙背景輻射]]の観測により決定的になったと考える人も多い。最近は、高次元宇宙モデルが脚光を浴びているが、これらの宇宙モデルは、いずれも一般相対性理論を基礎にして議論される。

アインシュタイン以後、一般相対性理論以外の重力理論も、数多く提案されているが、現在までにほとんどが過去の観測結果を照合した上で棄却されている。実質的に対抗馬となるのは、[[カール・ブランス]]と[[ロバート・H・ディッケ]]による[[ブランス・ディッケ重力理論]]であるが、現在の観測では、ブランス・ディッケ理論のパラメーターは、ほとんど一般相対性理論に近づけなくてはならず、両者を区別することが難しいほどである。量子論と一般相対論の統一という物理学の試みは未だ進行中であるものの、一般相対性理論を積極的に否定する観測事実・実験事実は一つもない。他に提案されたどの重力理論よりも一般相対性理論は単純な形をしていることから、重力は一般相対性理論で記述される、と考えるのが現代の物理学である。

== 物理学としての位置づけ ==
=== 万有引力の法則との関係 ===
[[アインシュタイン方程式]]は[[微分方程式]]として与えられているため局所的な理論ではあるが、ちょうど[[電磁気学]]における局所的な[[マクスウェルの方程式|マクスウェル方程式]]から大域的な[[クーロンの法則]]を導くことができるように、アインシュタイン方程式は静的なニュートンの[[万有引力|万有引力の法則]]を包含している。[[万有引力|万有引力の法則]]との主な違いは次の3点である。 
#[[重力]]は瞬時に伝わるのではなく[[光]]と同じ速さ（[[光速]]）で伝わる。
#重力から重力が発生する（非線形相互作用）。
#[[質量]]を持つ物体の[[加速度|加速]]運動により、[[重力波 (相対論)|重力波]]が放射される。
ここで、3.は[[荷電粒子]]が加速運動することにより[[電磁波]]が[[放射]]されることと類似している。これは、万有引力の法則や[[クーロンの法則]]に、運動する対象の自己の重力や[[電荷]]の効果を取り入れていることに対応している。

=== 特殊相対性理論との関係 ===
後述するように、一般相対性理論における時空間は数学的には各点の[[接ベクトル空間]]に[[ミンコフスキー空間|ミンコフスキー計量]]をいれた4次元[[多様体]]（[[擬リーマン多様体#ローレンツ多様体|ローレンツ多様体]]）で、[[アインシュタイン方程式]]を満たすものである。

よって各点の接ベクトル空間は、[[特殊相対性理論]]に従うミンコフスキー空間であり、接ベクトル空間とは、数学的には[[テイラー展開]]の一次の項に対応している。

これはすなわち、一般相対性理論の側からみた場合、特殊相対性理論とは時空間上に任意に固定された一点の近傍において、一般相対性理論を一次近似したものである事を意味している。なお、（[[宇宙定数|宇宙項]]のない）アインシュタイン方程式に登場する各項（[[曲率]]や[[エネルギー・運動量テンソル]]）は、二次の微分に関わる項であり、一次近似である特殊相対性理論には登場しない。

逆に特殊相対性理論の側から一般相対性理論をみると、特殊相対性理論の数学的定式化であるミンコフスキー空間は、全ての点に同一のミンコフスキー計量をいれた平坦なローレンツ多様体である。

このローレンツ多様体上では[[曲率]]は全点でゼロであるので、この事実を（宇宙項のない）アインシュタイン方程式に代入すると、この空間では[[エネルギー・運動量テンソル]]がゼロである事を意味する。

また、平坦なローレンツ多様体上では[[レヴィ・チヴィタ接続#擬リーマン多様体のレヴィ-チヴィタ接続|共変微分]]と通常の微分は一致するので、全ての線形座標で[[クリストッフェル記号]]は消えている。クリストッフェル記号は物理学的には[[重力]]に対応しているので、これはすなわち全ての線形座標で重力がゼロである事を意味する。

以上より特殊相対性理論とは、エネルギー・運動量テンソルの影響が無視できる程度に、すなわち宇宙全体に比べれば微小な領域における理論であり、空間の曲率も領域の微小さゆえに無視できる場合の理論であると言える。

=== 量子力学との関係 ===
{{main|量子重力理論}}
[[量子論]]は一般相対性理論と同様に物理学の基本的な理論の1つであると考えられている。しかし、一般相対性理論と量子論を整合させた理論（[[量子重力理論]]）は未だに完成していない。現在、人類の知っているあらゆる物理法則は全て[[場の量子論]]および一般相対性理論のどちらかから導くことができる。そのため、その2つを導くことのできる量子重力理論はこの世の全てを説明できる[[万物の理論]]とも呼ばれている。

基本的に相対性理論で取り扱われる[[重力]]は、4つの[[基本相互作用]]のうち他の3つの力に比べて圧倒的に小さく、[[天体物理学]]や[[天文学]]で取り扱う[[天文現象]]のような[[巨視的]]なレベル以下の大きさでは無視できる。逆に、量子論効果は[[量子化学]]や[[量子力学]]、[[素粒子物理学]]で取り扱う[[分子]]や[[原子]]、[[クォーク]]などのような[[微視的]]なレベル以上の大きさでは無視できる。よって相対性理論を適用する場面と量子論を適用する場面は重ならないためほとんどの場合この両者を考慮する必要はない。しかし、[[ブラックホール]]や[[ビッグバン]]などの大質量かつ微視的なスケールの現象を説明するためにはこの両者を併用する必要があるが、相対論と量子論を従来用いられてきた[[摂動|摂動法]]を用いて統合しようとすると、両者の間に深刻な対立が生じてしまい、並立させることが出来ない。従来の量子論では摂動展開時に生じる{{仮リンク|紫外発散|en|Ultraviolet divergence}}を[[繰り込み]]によって解消しているが、重力にはこの手法が適用できないのである。

この2つの理論の対立を折衷する様々な意見やその立証が試みられているが、未だ決定的な理論は出てきていない。

====曲がった時空上の場の理論 (Quantum field theory in curved spacetime)====
一般に[[場の量子論]]においては平坦なミンコフスキー時空における粒子を扱うが、重力の効果を近似的（半古典的）に背景時空（曲がった時空）として導入することにより、場の量子論に曲がった時空の効果を近似的に取り入れた理論である。

重力子の影響を背景時空として近似しているため、強い重力場のもとでは時空を完全に量子化したような[[量子重力理論]]に修正されるべきである。欠点としては、時空が静的なものであるため完全には相対論的ではない。

[[ホーキング放射]]はこの理論のもとで予測された。

==== 超弦理論 ====
{{Main|超弦理論}}
[[超弦理論]]は、従来の量子論では大きさを持たない[[点 (数学)|点]]と仮定されている[[粒子]]を、長さを持つ「ひも」と仮定しなおすことにより紫外発散の問題を解消している。理論的な探求は進んでいるものの、実験的裏付けが非常に乏しく未だ[[仮説]]の域を脱していない。

== 一般相対性理論の内容 ==
一般相対性理論は、次の仮定を出発点にする。あくまでも仮定であり、これが基準点とするものではない。
;[[一般相対性原理]]
:物理学の法則は、任意の仕方で運動している座標系に関していつも成立する{{Sfnp|リーマン幾何とその応用|1971|p=100}}
:; 一般共変性の仮定
::自然の一般法則<ref group="注">一般共変性の仮定においては『自然の一般法則』であり『物理法則』ではない。</ref>は、すべての座標系に対して成り立つ、すなわち任意の座標系に対して（一般）共変な方程式で表されなくてはならない{{Sfnp|リーマン幾何とその応用|1971|p=104}}。
:; 局所座標系における特殊相対性理論の成立仮定
::無限に小さな4次元領域（4次元の[[擬リーマン多様体]]のある点における局所座標系または接空間）に対しては、座標を適当に選べば、特殊の意味での相対性理論が原則として成り立つ{{refnest|group="注"|重力場がある場合は、[[等価原理]]により、座標系の加速状態を適当に選ぶことで、特殊相対性理論が成り立つ座標系を取ることができる{{Sfnp|リーマン幾何とその応用|1971|pp=105-107}}。}}。時空のある点における基本計量テンソル {{math|''g''{{sub|i j}}}} は、その座標系に関する重力場を記述する{{Sfnp|リーマン幾何とその応用|1971|p=106}}。基本計量テンソルの行列式 {{Mvar|g}} は常に有限の負の値を持つ{{Sfnp|リーマン幾何とその応用|1971|p=117}}。
;測地線の仮定
:自由質点運動は測地線である
一般相対性理論成立の歴史上、[[等価原理]]{{enlink|equivalence principle}}はスタートポイントとして考えられたが、数学的に重要であるのは、一般相対性原理（一般共変性の仮定と局所座標系における特殊相対性理論の成立仮定）である。

=== 時空モデルとしてのリーマン多様体に求められる条件 ===
一般相対性理論においては、重力のある空間を光が通過するとき光は曲がる（光のとる経路が伸びる）ことから、時空は、重力場を基本計量テンソルとする4次元の[[リーマン多様体]]として扱われる<ref group="注">通常、数学でリーマン多様体というと[[ユークリッド空間]]をパッチワークのように張り合わせたものを指し、2点間の距離の2乗が非負の正定値[[計量テンソル|計量]]と呼ばれる空間である。それに対して、一般相対性理論が扱うのは、時間と空間の意味をもつ座標を含む[[ミンコフスキー空間]]を張り合わせたものであり、2点間の距離が虚数になり得る不定計量の空間である。このため、擬リーマン多様体{{enlink|pseudo-Riemannian manifold}}とも呼ばれる。</ref>。可微分多様体 M が[[リーマン多様体]]であるとは、M 上の各点に基本計量テンソル {{math|''g''{{sub|ij}}(''x'')}} が与えられているものを言う。なお、局所座標系 {{math|(''x''<sup>0</sup>, ''x''<sup>1</sup>, ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>3</sup>)}} の四つの座標の内、{{math|''x''{{sup|0}}}} は適当な測定単位で測られた時間座標、{{math|''x''{{sup|1}}, ''x''{{sup|2}}, ''x''{{sup|3}}}} は空間座標とする。すなわち、{{math|''x''{{sup|0}} {{=}} ''ct'', ''x''{{sup|1}} {{=}} ''x'', ''x''{{sup|2}} {{=}} ''y'', ''x''{{sup|3}} {{=}} ''z''}} であるとする。さらに、リーマン多様体上に定義されるテンソル概念に対して、上下に現れる同じ添字については常に和を取るという[[アインシュタインの縮約記法]]を用いる。

;一般共変性の仮定
リーマン多様体を導入することで、'''一般共変性の仮定'''は、
{{Quotation|
ある自然の一般法則がある座標系で一つのテンソルの成分がすべてゼロになる形で書き表すことができるとき、すなわち、
:（テンソルの成分） ＝ 0
とできるとき、その法則は一般共変性を持つ
}}
というように、リーマン多様体上で定義されるテンソル概念の性質として定式化できるようになる。

;局所座標系における特殊相対性理論の成立仮定
[[リーマン幾何学]]によれば、リーマン多様体上の無限に近い2点間の距離 ds は
:<math>ds^2=g_{i j}dx^idx^j</math>
の平方で与えられる。この ds を4次元空間の無限に近い点に属する'''線素'''{{enlink|line element}}の大きさと呼ぶ{{Sfnp|リーマン幾何とその応用|1971|p=105}}が、これは、特殊相対性理論が成り立つような座標系においては、[[ミンコフスキー]]が指摘した4次元空間における不変量
:<math>ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2</math>
と一致するものでなくてはならない。すなわち、適当な座標変換により、計量テンソル {{mvar|g{{sub|ij}}}} は、
:<math>g_{tt}=1,~g_{xx}=g_{yy}=g_{zz}=-1</math><ref group="注">これを[[ミンコフスキー計量]]{{enlink|Metric tensor (general relativity)|metric}}と呼ぶこともある。</ref>
行列形式で描けば、
:<math>\begin{pmatrix}1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-1\\\end{pmatrix}</math>
となることが要請される。これはより一般的な表現として、有限で常に負の値をもつ基本計量テンソルの行列式 {{math|''g'' {{=}} det(''g<sub>ij</sub>'')}} に対する次の条件
:<math>\sqrt{-g}=1</math>
という形で条件として求められる。

=== 測地線の方程式 ===
[[擬リーマン空間]]における[[測地線]]{{enlink|geodesic}}は、通常の計量空間における定義と同様に、2点間の長さを最小にする曲線として定義される。曲線の長さは、
{{Indent|<math>l(\gamma)=\int_\gamma\sqrt{\pm g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}=\int_\gamma\sqrt{\pm g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{dt}\frac{dx^\nu}{dt}}\,dt</math>}}
で与えられる。ここでの積分は、曲線 {{math|''&gamma;''(''t'')}} に沿うものとする。ルート内の符号の+は空間的な曲線に対して、負の符号は時間的な曲線に対して適用し、いずれの場合も長さが実数になるようにする。

この長さの極値をもたらす条件を導出すると、測地線の方程式が得られる。局所座標で表現すると、方程式は、
{{Indent|<math>\frac{d^2x^\mu}{dt^2}+\Gamma^{\mu}_{~\nu\rho}\frac{dx^\nu}{dt}\frac{dx^\rho}{dt}=0</math>}}
となる。ここで、{{math|''x''{{sup|''&mu;''}}(''t'')}} は、曲線 {{math|''&gamma;''(''t'')}} の座標であり、{{math|&Gamma;{{SubSup||&ensp;''&nu;&rho;''|''&mu;''}}}} は先に登場した[[クリストッフェル記号]]である。座標の常微分方程式として得られるこの式は、初期値と初速度を与えれば解を一意に決定する。この式は、曲がった時空における光・粒子の運動方程式である。

=== リーマンテンソル、アインシュタイン・テンソル ===
時空の曲率は、[[レヴィ・チヴィタ接続]] &nabla; が定義する[[リーマン曲率テンソル]]{{enlink|Riemann curvature tensor|Riemann tensor}}{{math|{{SubSup|R|&emsp;''&sigma;&mu;&nu;''|''&rho;''}}}} で表現される。局所座標表現では、次のように書ける。
{{Indent|<math>{R^\rho}_{\sigma\mu\nu}=\frac{\partial}{\partial x^\mu}\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma}-\frac{\partial}{\partial x^\nu}\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}+\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma}-\Gamma^\rho {}_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda {}_{\mu\sigma}</math>}}

物理的には、このリーマン曲率テンソルから、2成分を縮約した[[リッチテンソル]]{{enlink|Ricci curvature|Ricci tensor}}{{mvar|R{{sub|&mu;&nu;}}}} と、さらに添字を縮約したリッチ[[スカラー曲率]]{{enlink|Scalar curvature|Ricci scalar}}{{mvar|R}}
{{Indent|<math>R_{\mu\nu}={R^\rho}_{\mu\rho\nu}</math>

<math>R_{}^{}=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}</math>}}
を考えればよく、さらにその組み合わせである、
{{Indent|<math>G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}</math>}}
が物質分布で定まることをアインシュタインが見いだした。この最後の組み合わせ {{mvar|G{{sub|&mu;&nu;}}}} を[[アインシュタインテンソル|アインシュタイン・テンソル]]{{enlink|Einstein tensor}}と呼ぶ。

=== アインシュタイン方程式とその特徴 ===
一般相対性理論の基本方程式は、
{{Indent|<math>G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}</math>}}
と表され、[[アインシュタイン方程式]]と呼ばれる。ここで {{mvar|G{{sub|&mu;&nu;}}}} はアインシュタインテンソル、{{mvar|g{{sub|&mu;&nu;}}}} は計量テンソル、{{math|&Lambda;}} は[[宇宙定数|宇宙項]]、{{mvar|T{{sub|&mu;&nu;}}}} は[[エネルギー・運動量テンソル]]である。非相対論的極限でニュートンの重力理論に収束することから、右辺の比例係数 {{mvar|&kappa;}} （[[アインシュタインの定数]]）は、
{{Indent|<math>\kappa=\frac{8\pi G}{c^4}</math>}}
となる。{{mvar|G}} は[[万有引力定数]]、 {{mvar|c}} は[[光速]]である。4次元空間を考えれば、テンソルは対称なので、アインシュタイン方程式は、10本の方程式からなる。

アインシュタイン方程式の左辺は時空の曲率を表し、右辺は物質分布を表す。右辺の物質分布の項により時空が曲率を持ち、その曲率の影響で次の瞬間の物質分布が定まる、という構造である。真空の時空であれば、右辺をゼロとすればよい。例えば、重力以外の力を考えないと、次のようになる。
<blockquote>
右辺のエネルギー運動量テンソルが増加の場合（アインシュタインの特殊相対論によるとエネルギーと質量は等価であるから、エネルギー運動量テンソルの増加は質量の増加を意味する）、左辺も増加しなければならない。これは時空の曲率が増加することを意味する。アインシュタインの解釈によると重力とは時空の湾曲によるものであったから、曲率の増加は重力の増大を表す。右辺のエネルギー運動量テンソルの増大は質量が増大する事を表し、この方程式によると、それは左辺の時空の曲率、つまり重力がさらに増大することを意味する。
</blockquote>
すなわち、重力は非線形で、重力自身は自己増大してゆく。通常の[[恒星]]のモデルでは、[[核融合]]による、生じる[[光]]（[[電磁波]]）の輻射圧とガスによる圧力が、重力と釣り合うように恒星の半径が決まる。星が燃え尽きて支える力がなくなると、[[重力崩壊]]し、[[電子]]の[[縮退圧]]で支えられる[[白色矮星]] か、[[中性子]]の[[縮退圧]]で支えられる[[中性子星]]、あるいは、[[ブラックホール]]になることが予測される。

アインシュタイン方程式の数学的な特徴は、次のような点にある。
*[[座標変換]]に対し、[[共変的]]であるので、「時間座標1＋空間座標3」のみではなく、「光の進行方向2＋空間座標2」といった分解表現も可能である。
*非線形の2階の[[偏微分方程式]]（[[楕円型偏微分方程式]]および[[双曲型偏微分方程式]]）である。
*時空構造を論じていながら、時空全体の[[大域的構造]]や[[トポロジー]]を仮定しない。
*得られる解には、特異点が存在する（[[特異点定理]]）。
<!-- このように、物質密度などを表すエネルギー運動量テンソルと時空の湾曲とを関係付けていることが、アインシュタイン方程式の特徴であるといえる。 -->

=== アインシュタイン方程式の厳密解 ===
アインシュタイン方程式自身に何ら近似することなく得られる解析解のことを'''厳密解'''という。良く知られている厳密解に、次のものがある。
; [[シュヴァルツシルトの解|シュヴァルツシルト解]]
: [[カール・シュヴァルツシルト]]が1916年に発表した解。真空で球対称を仮定した解で、ブラックホールを表す最も単純な解。
; [[カー解]]
: [[ロイ・カー]]が1962年発表した解。真空で軸対称時空を仮定した解で、回転するブラックホールを表す最も単純な解。
; [[ドジッター解]]
: [[ウィレム・ド・ジッター]]が1917年に発表した解。真空で宇宙項がある場合の膨張宇宙解。[[ド・ジッター宇宙]]を表す。
; [[フリードマン・ロバートソン・ウォーカー計量|フリードマン・ロバートソン・ウォーカー解]]
: [[アレクサンドル・フリードマン]]、[[ハワード・ロバートソン]]、[[アーサー・ウォーカー]]が1922年に発表した解。時空の球対称性を仮定し、物質分布を一様等方な流体近似した解で、ビッグバン膨張宇宙を表す解。
; [[ゲーデル解]]
: [[クルト・ゲーデル]]が1949年に発表した解。[[物質分布]]を規定する[[エネルギー・運動量テンソル]]を、回転する一様な[[ダスト粒子]]として仮定し、ゼロでない[[宇宙定数|宇宙項]]を仮定した解で、[[ゲーデルの回転宇宙]]を表す解。

現在でも、新しい解（解析解）を発見すれば、発見者の名前がつく。ただし、同じ物理的な時空であっても、異なる座標表現を用いて、異なる解のように表現されることがあるので、注意することが必要である。

== 一般相対性理論の応用 ==
=== GNSS ===
自動車などの位置をリアルタイムに測定表示する[[カーナビゲーション|カーナビゲーションシステム]]は、[[衛星測位システム|GNSS]]の代表といえる[[グローバル・ポジショニング・システム|GPS]]などを利用しており、[[GPS衛星]]などに搭載された[[原子時計]]に基づき生成される航法信号に依存している。

GPS衛星からの信号を受信する装置では、さまざまな要因による補正を行うが、GPS衛星の時計との同期に関するものとして、地表に対して高速で運動するGPS衛星の、特殊相対論効果による地表からみた[[時間の遅れ]]、および地球の重力場による地上の時間の遅れ、言い換えれば一般相対論効果による衛星の時計の進みが含まれる<ref group="注">他に地球自転に起因する信号伝播に対する[[サニャック効果]]もある。</ref>。

GPS衛星の[[軌道速度]]は[[秒速]]約4[[キロメートル]]と高速であるため、特殊相対論によって時間の進み方がわずかではあるが遅くなる。一方、GPS衛星の高度は約2万キロメートルで、地球の重力場の影響が小さいことから、一般相対論によって地上よりも時間の進み方が速くなる。このように特殊相対論と一般相対論で互いに逆の効果をもたらすことになる。この相対論的補正をせずに1日放置すると、位置情報が約11キロメートルもずれてしまうほどの時刻差になることから、相対論的補正はGPSシステムの運用に不可欠である<ref>{{Cite journal|doi=10.1063/1.1485583|author=Neil Ashby|year=2002|month=May|title=Relativity and the Global Positioning System|journal=[[:en:Physics Today|Physics Today]]|publisher=[[米国物理学協会|American Institute of Physics]]|volume=55|issue=5|page=41}}</ref>。

== 反論 ==
王令隽は、科学雑誌『现代物理 Modern Physics』の2016年の論文において、ブラックホールや重力波など、一般相対性理論の証拠における矛盾は、場の方程式が疑問視され、物理学の基本原理が変容する余地が残っていることを意味すると論じている<ref>{{Cite journal|last=王|first=令隽|date=2016|title=Centennial Review of General Relativity|url=https://www.semanticscholar.org/paper/%E5%B9%BF%E4%B9%89%E7%9B%B8%E5%AF%B9%E8%AE%BA%E7%99%BE%E5%B9%B4%E7%BB%88%E8%AF%84-Centennial-Review-of-General-Relativity-%E7%8E%8B%E4%BB%A4%E9%9A%BD/151207226c71252199d01216c45867fc18f0ff3f|journal=现代物理　Modern Physics|volume=06|issue=04|pages=99–123|doi=10.12677/MP.2016.64011|issn=2161-0916}}</ref>。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注"}}
=== 出典 ===
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
*{{Cite journal|author=A. Einstein|title=Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes|url=http://www.itp.kit.edu/~sahlmann/pdfs/propagation%20of%20light.pdf|format=[[Portable Document Format|PDF]]|trans-title=光の伝播に対する重力の影響|journal=[[アナーレン・デア・フィジーク|Annalen der Physik]]|location=[[ライプツィヒ|Leipzig]]|volume=340|issue=10|pages=898-908|date=June 21, 1911|language=[[ドイツ語|German]]|issn=0003-3804|oclc=5854993|doi=10.1002/andp.19113401005|bibcode=1911AnP...340..898E|ref=einstein}}
*{{cite journal|author=A. Einstein|title=Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie|url=http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1916_49_769-822.pdf|format=[[Portable Document Format|PDF]]|trans-title=一般相対性理論の基礎|journal=[[アナーレン・デア・フィジーク|Annalen der Physik]]|location=[[ライプツィヒ|Leipzig]]|volume=354|issue=7|pages=769–822|date=March 20, 1916|language=[[ドイツ語|German]]|issn=0003-3804|oclc=5854993|doi=10.1002/andp.19163540702|bibcode=1916AnP...354..769E|ref=einstein2}}
*{{Cite book|和書|author=内山龍雄|authorlink=内山龍雄|date=1987-01-29|title=相対性理論|series=物理テキストシリーズ8|publisher=岩波書店|id={{全国書誌番号|87019979}}|isbn=4-00-007748-1|ncid=BN00639508|oclc=673778932|asin=4000077481|url=http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/1/0077480.html}}
*{{Cite book|和書|author=P.A.M.Dirac|authorlink=ポール・ディラック|translator=[[江沢洋]]|year=2005-12|title=一般相対性理論|series=ちくま学芸文庫|publisher=筑摩書房|id={{全国書誌番号|20969268}}|isbn=4-480-08950-0|ncid=BA74624119|oclc=674910090|asin=4480089500|url=http://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480089502/}}
* {{cite book|和書|author=フィリップ・フランク|translator=矢野健太郎|title=評伝 アインシュタイン|year=2005|publisher=岩波書店|ref=評伝(2005)}}
* {{cite book|和書|author=リーマン|author2=リッチ|author3=レビ=チビタ|author4=アインシュタイン|coauthors=マイヤー|title=リーマン幾何とその応用|translator=矢野健太郎|year=1971|publisher=共立出版|ref={{SfnRef|リーマン幾何とその応用|1971}}}}
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* {{cite book|和書|author=ア・グリゴリヤン|translator=小林 茂樹、今井 博|title=力学はいかに創られたか|year=1970|publisher=東京図書株式会社|ref=ア・グリゴリヤン(1970)}}
* {{cite book|和書|author=シュポルスキーほか|transkator=佐々木健ほか|title=アインシュタインと現代物理学|year=1958|publisher=東京図書株式会社|ref=現代物理学(1958)}}

== 関連文献 ==
*{{Cite book|和書|author=A.Einstein|others=[[湯川秀樹]]監修|editor=[[中村誠太郎]]・[[谷川安孝]]・[[井上健 (物理学者)|井上健]]訳・編|date=1971-03-01|title=アインシュタイン選集1――特殊相対性理論・量子論・ブラウン運動――|publisher=共立出版|id={{全国書誌番号|69018983}}|isbn=978-4-320-03019-0|ncid=BN00729724|oclc=834568557|asin=4320030192|url=http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320030190}}
*{{Cite book|和書|author=A.Einstein|others=湯川秀樹監修|editor=内山龍雄訳・編|date=1970-12-05|title=アインシュタイン選集2――一般相対性理論および統一場理論――|publisher=共立出版|id={{全国書誌番号|69018984}}|isbn=978-4-320-03020-6|ncid=BN00963834|oclc=834568671|asin=4320030206|url=http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320030206|ref=選集2}}
*{{Cite book|和書|author=A.Einstein|others=湯川秀樹監修|editor=中村誠太郎・井上健訳・編|date=1972-01-25|title=アインシュタイン選集3――アインシュタインとその思想――|publisher=共立出版|id={{全国書誌番号|69018985}}|isbn=978-4-320-03021-3|ncid=BN00729768|oclc=834568753|asin=4320030214|url=http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320030213}}
*{{Cite book|和書|author=内山龍雄|authorlink=内山龍雄|date=1978-07-30|title=一般相対性理論|series=物理学選書15|publisher=裳華房|id={{全国書誌番号|78026559}}|isbn=978-4-7853-2315-8|ncid=BN00729054|oclc=873890979|asin=4785323159|url=http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-2315-8.htm}}
*{{Cite book|和書|author=佐藤勝彦|authorlink=佐藤勝彦 (物理学者)|date=1996-12-18|title=相対性理論|series=岩波基礎物理シリーズ9|publisher=岩波書店|id={{全国書誌番号|97049882}}|isbn=4-00-007929-8|ncid=BN15591416|oclc=675345203|asin=4000079298|url=http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/8/0079290.html}}
*{{Cite book|和書|author=佐藤文隆|authorlink=佐藤文隆|coauthors=[[小玉英雄]]|date=2000-06-15|title=一般相対性理論|series=現代物理学叢書|publisher=岩波書店|id={{全国書誌番号|20086007}}|isbn=4-00-006742-7|ncid=BA47513104|oclc=54548828|asin=4000067427|url=http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/7/0067420.html}}
*{{Cite book|和書|author=W.Pauli|authorlink=ヴォルフガング・パウリ|translator=内山龍雄|date=2007-12-10|title=相対性理論|volume=上巻|series=ちくま学芸文庫|publisher=筑摩書房|id={{全国書誌番号|21355333}}|isbn=978-4-480-09119-2|ncid=BA84202329|oclc=675553164|asin=448009119X|url=http://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480091192/}}
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*{{Cite book|和書|author=L.D. Landau|authorlink=レフ・ランダウ|coauthors=[[エフゲニー・リフシッツ|E.M. Lifshitz]]|translator=[[恒藤敏彦]]・[[広重徹]]|year=1978-10|title=場の古典論――電気力学、特殊および一般相対性理論|edition=原書第6版|series=[[理論物理学教程|ランダウ=リフシッツ理論物理学教程]] 第2巻|publisher=東京図書|id={{全国書誌番号|79000237}}|isbn=978-4-489-01161-0|ncid=BN00890297|oclc=841897028|asin=448901161X|url=http://www.tokyo-tosho.co.jp/kikan/04/kaisetu.html#k_01161|ref=場の古典論}}
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*{{Cite book|last=Wald|first=Robert|date=June 15, 1984|title=General Relativity|publisher=Univ of Chicago Pr (Tx)|id={{ASIN|B004DL0OEO}} ([[Amazon Kindle|Kindle]])|asin=0226870332|oclc=10018614|ncid=BA00907886|isbn=0-226-87033-2}}

数値相対論（一般相対性理論の数値計算）
* [https://www.oit.ac.jp/is/shinkai/Papers/jsiam.pdf 真貝寿明、米田元：「数値相対論における定式化問題：一般相対論における数値シミュレーションを安定化させる指針の探求」、応用数理、Vol.15,　No.1 (Mar.2005), pp.2-15.]
* [https://www.jstage.jst.go.jp/article/butsuri/61/5/61_KJ00004304377/_article/-char/ja 柴田大：「数値相対論の進展（解説）」、日本物理学会誌、Vol.61, No.5 (2006), pp.332-341.]
* [https://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/ws/2010/tap2010/pdf/22_10_shibata.pdf 柴田大：「日本の数値相対論」(2010年)]
* 真貝寿明：「一般相対論の数値計算手法」、近畿大セミナー（2011年12月9日、10日）。[https://www.oit.ac.jp/is/shinkai/lecture/seminar2011_KinkiU/1112_lecture_viewgraph1.pdf　スライド1]；[https://www.oit.ac.jp/is/shinkai/lecture/seminar2011_KinkiU/1112_lecture_viewgraph2.pdf　スライド2]；[https://www.oit.ac.jp/is/shinkai/lecture/seminar2011_KinkiU/1112_lecture_viewgraph3.pdf　スライド3]；[https://www.oit.ac.jp/is/shinkai/lecture/seminar2011_KinkiU/1112_lecture_viewgraph4.pdf　スライド4]；[https://www.oit.ac.jp/is/shinkai/lecture/seminar2011_KinkiU/1112_lecture_viewgraph5.pdf　スライド5]。
* [https://www.jps.or.jp/information/docs/70-02NR.pdf 柴田大：特集「数値相対論の展開」、日本物理学会誌、Vol.70, No.2 (2015), pp.136-139]
* [https://www.nagare.or.jp/download/noauth.html?d=38-6_tokubetu.pdf&dir=95 関口雄一郎：特別講演「数値相対論：数値流体計算と比較して」、ながれ、Vol.38 (2019), pp.389-393.]
* 柴田大：「数値相対論と中性子星の合体」、共立出版、ISBN 978-4-320-03545-4 (2021年8月30日).
* 中野寛之、佐合紀親：「重力波・摂動論」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-13531-2 (2024年11月1日)

== 関連項目 ==
{{Wikibooks}}
*[[アインシュタイン方程式]] - [[エネルギー・運動量テンソル]]
*[[アルベルト・アインシュタイン]]
*[[宇宙論]] - [[ビッグバン]] - [[インフレーション宇宙]] - [[宇宙背景輻射]]
*[[シュヴァルツシルトの解]] - [[ライスナー・ノルドシュトロム解]] - [[カー解]] - [[カー・ニューマン解]] - [[フリードマン・ロバートソン・ウォーカー計量]] - [[ゲーデル解]]
*[[重力子]]
*[[重力相互作用]]
*[[重力波 (相対論)|重力波]] 
*[[サニャック効果]]
*[[数値相対論]]
*[[相対性理論]] - [[特殊相対性理論]]
* [[リーマン幾何学]] - [[微分幾何学]]
*[[ブラックホール]] - [[シュヴァルツシルト・ブラックホール]] - [[カー・ブラックホール]]
*[[ポスト・ニュートン展開]] - [[PPN形式]]
* [[背景独立性]]
*[[量子重力理論]] - [[超弦理論]] - [[M理論]]
*[[ワームホール]]
*[[1919年5月29日の日食]]

== 外部リンク ==
* {{Kotobank|2=ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典}}
* {{Britannica|science|general-relativity|General relativity}}

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