一般線型群のソースを表示

{{Expand English|General linear group|date=2024年5月}}
[[数学]]において、'''一般線型群'''（いっぱんせんけいぐん、{{lang-en-short|general linear group}}）とは[[線型空間]]上の[[自己同型|自己同型写像]]のなす[[群 (数学)|群]]のこと。あるいは[[基底 (線型代数学)|基底]]を固定することで、[[正則行列]]のなす群のことを指すこともある。

== 定義 ==
{{mvar|F}} を[[可換体 |体]]とする<ref group="注">{{mvar|F}} としては[[有理数]] {{math|'''Q'''}}、[[実数]] {{math|'''R'''}}、[[複素数]] {{math|'''C'''}} などを例に考えればよい。</ref>。 {{mvar|F}} [[線型空間]] {{mvar|V}} 上 の'''一般線型群'''とは {{mvar|V}} 上の[[線型写像]]全体 {{math|End(''V'')}}<ref group="注">{{mvar|V}} 上の[[自己準同型写像]] (endomorphism) の意。</ref> のうち[[全単射]] な写像全体が写像の合成に関してなす[[群 (数学)|群]]のことをいい、{{math|GL(''V'')}} または {{math|Aut(''V'')}}<ref group="注">{{mvar|V}} 上の[[自己同型写像]] (automorphism) の意。</ref> と表す。

あるいは {{mvar|n}} [[ハメル次元|次元]] {{mvar|F}} 線型空間 {{mvar|V}} の[[基底 (線型代数学)|基底]] {{math|B}} = {{math|(''v''<sub>1</sub>, &hellip;, ''v''<sub>''n''</sub>)}} をひとつ選び固定して、[[数ベクトル空間]] {{math|''F''<sup>''n''</sup>}} の元 {{math|(''a''<sub>1</sub>, &hellip;, ''a''<sub>''n''</sub>)}} と線型空間 {{mvar|V}} の元 {{math|''a''<sub>1</sub>''v''<sub>1</sub> + &hellip; + ''a''<sub>''n''</sub>''v''<sub>''n''</sub>}} とを同一視することによって、 {{mvar|n}} 次[[正方行列]]全体 {{math|M<sub>''n''</sub>(''F'')}} のうち[[正則行列|正則]]な行列全体が行列の積に関してなす群のことを一般線型群ということも多い。この場合には {{math|GL<sub>''n''</sub>(''F'')}} または {{math|GL(''n'', ''F'')}} と表す。[[行列式]]がゼロでない行列全体と言い換えてもよい。
:<math>
\operatorname{GL}(V)
= \{\, f \in \operatorname{End}(V) \mid \exists g \in \operatorname{End}(V) \ f \circ g = \operatorname{id}_V = g \circ f \,\}
</math>
:<math>\begin{align}
\operatorname{GL}_n(F)
&= \{\, A \in \operatorname{M}_n(F) \mid \exists B \in \operatorname{M}_n(F) \ AB = I_n = BA \,\} \\
&= \{\, A \in \operatorname{M}_n(F) \mid \det A \neq 0 \,\}
\end{align}</math>

どちらの定義も同じ対象を定めていると思ってよい。実際、{{mvar|n}} 次元 {{mvar|F}} 線型空間 {{mvar|V}} 上の一般線型群 {{math|GL(''V'')}} と {{mvar|n}} 次正則行列全体 {{math|GL<sub>''n''</sub>(''F'')}}
との間には次で定まる[[同型写像]]がある。
:<math>
\operatorname{GL}(V) \to \operatorname{GL}_n(F),\ f \mapsto A = (a_{ij})
</math>
:<math>
f(v_i) = \sum_{j = 1}^n a_{ji} v_j
</math>

== 例 ==
=== {{math|GL<sub>2</sub>(C)}} ===
[[複素数|複素数体]] {{math|'''C'''}} 上の2次正則行列全体 {{math|GL<sub>2</sub>('''C''')}} は次のように表せる。
:<math>
\operatorname{GL}_2(\mathbb{C}) 
= \left \{\, \begin{bmatrix}a & b\\ c & d \end{bmatrix} \in \operatorname{M}_2(\mathbb{C}) \mid ad - bc \neq 0 \, \right \}
</math>

=== {{math|GL<sub>2</sub>(F<sub>2</sub>)}} ===
[[有限体|二元体]] {{math|'''F'''<sub>2</sub> {{=}} '''Z'''/2'''Z'''}} 上の {{math|2}} 次正則行列全体 {{math|GL<sub>2</sub>('''F'''<sub>2</sub>)}} は {{math|3}} 次[[対称群]]と[[同型]]で次の {{math|6}} つの行列からなる。
:<math>
\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_2)
= \left \{
\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix},\ 
\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix},\ 
\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix},\ 
\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{bmatrix},\ 
\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{bmatrix},\ 
\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}
\right \}
</math>

== 性質 ==
=== 有限一般線型群の位数 ===
[[有限体|{{mvar|q}}元体]] {{math|'''F'''<sub>''q''</sub>}} 上の一般線型群 {{math|GL<sub>''n''</sub>('''F'''<sub>''q''</sub>)}} の[[群の位数|位数]]は次のように表せる{{Sfn|Alperin|Bell|1995|p=41}}。
:<math>
\vert \operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_q) \vert
= (q^n -1)(q^n - q) \dotsm (q^n - q^{n - 1}) 
= q^{n(n - 1)/2} \prod_{m = 1}^n (q^m - 1)
</math>
特に、主対角成分がすべて {{math|1}} の上あるいは下[[三角行列]]からなる部分群 {{mvar|U}}<ref group="注">{{mvar|U}} の元 {{mvar|u}} は{{ill2|冪単|en|unipotent}} (unipotent) ―つまり {{math|1 − u}} が[[べき零行列]]―なので慣習的に {{mvar|U}} を使う。</ref> は位数 {{math|''q''<sup>''n''(''n'' − 1)/2</sup>}} なので有限体の位数 {{mvar|q}} を割り切る[[素数]] {{mvar|p}} に関する[[シローの定理|Sylow部分群]]である{{Sfn|Alperin|Bell|1995|p=64}}。

=== Bruhat分解 ===
一般線型群は[[ブリュア分解|Bruhat分解]]される{{Sfn|Alperin|Bell|1995|p=45}}。つまり {{mvar|B}} を{{ill2|ボレル部分群|label=Borel部分群|en|Borel subgroup}}（上あるいは下三角行列からなる部分群）、{{mvar|W}} を[[ワイル群|Weyl群]]（[[置換行列]]からなる部分群）としたとき一般線型群 {{math|''G'' {{=}} GL<sub>''n''</sub>(''F'')}} は[[剰余類|両側剰余類]]として
:<math> G = BWB = \coprod_{w \in W} BwB </math>
と分解される。

=== BNペア ===
一般線型群は[[BN対|BNペア]]を持つ{{Sfn|Alperin|Bell|1995|p=48}}。{{mvar|G}} の[[対角行列]]からなる部分群 {{mvar|T}}<ref group="注">[[極大トーラス|Torus]]の意。</ref> の {{mvar|G}} における[[正規化群]]を {{math|''N'' {{=}} N<sub>''G''</sub>(''T'')}} とおけば、{{mvar|N}} は[[単項行列]]からなる部分群で {{math|(''B'', ''N'')}} はBNペアをなす。

== 関連項目 ==
*[[特殊線型群]]
*[[射影線型群]]
*[[ユニモジュラ行列]]

== 脚注 ==
===注===
{{reflist|group="注"}}
===出典===
{{reflist|30em}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book
|last1     = Alperin
|first1    = J. L.
|last2     = Bell
|first2    = Rowen B.
|year      = 1995
|title     = [http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-94526-2 Groups and representations]
|publisher = Springer-Verlag
|series    = Graduate texts in mathematics
|volume    = 162
|isbn      = 0-387-94526-1
|ref       = harv
}}

{{DEFAULTSORT:いつはんせんけいくん}}
[[Category:線型代数学]]
[[Category:群論]]
[[Category:数学に関する記事]]