七乗数のソースを表示

'''七乗数'''（しちじょうすう）は、同じ数を7乗してできる数。n番目の七乗数は、{{math|size=120%|1=''n''<sup>7</sup> = ''n'' × ''n'' × ''n'' × ''n'' × ''n'' × ''n'' × ''n''}}と表され、n番目の[[六乗数]]をn倍するか、n番目の[[五乗数]]をn番目の[[平方数]]倍するか、n番目の[[四乗数]]をn番目の[[立方数]]倍するかで求められる。最初のいくつかの[[自然数]]（0を含む）の七乗数は下の通りである。
:0, 1, 128, 2187, 16384, 78125, 279936, 823543, 2097152, 4782969, 10000000, 19487171, 35831808, 62748517, 105413504, 170859375, 268435456, 410338673, 612220032, 893871739, 1280000000, 1801088541, 2494357888, 3404825447, 4586471424, 6103515625, 8031810176, ... {{OEIS|id=A001015}}

[[ロバート・レコード]]の考案した{{仮リンク|ゼンジゼンジゼンジック|en|Zenzizenzizenzic}}では、七乗数は「5乗から2つ目」と呼ばれた{{r|womack}}。

==性質==
[[レオナード・E・ディクソン]]は七乗数についての[[ウェアリングの問題]]について研究し、全ての非負整数は高々258個の非負七乗数の和で表され{{r|dickson}}、47個以上の非負整数が必要なのは有限個しかなく{{r|kumchev}}、負の冪乗も許せば高々12個でよいことを証明した{{r|choudhry}}。

4つの正の七乗数の和で2通りに表せる最小の自然数は2056364173794800{{r|ekl}}、8つの正の七乗数の和で表せる最小の七乗数は<math>102^7=12^7+35^7+53^7+58^7+64^7+83^7+85^7+90^7</math>{{r|stewart}}である。7つの正の七乗数の和で表せる七乗数は<math>568^7 = 127^7+ 258^7 + 266^7 + 413^7 + 430^7 + 439^7 + 525^7</math>{{r|meyrignac}}と<math> 626^7=625^7+309^7+258^7+255^7+158^7+148^7+91^7</math>{{r|meyrignac}}しか見つかっていない。これより少ない数の正の七乗数の和で表せる七乗数は、現在4乗と5乗についてしか反証されていない[[オイラー予想]]の反例となる。
== 脚注 ==
{{Reflist|refs=
<ref name="choudhry">{{citation
|last = Choudhry |first = Ajai
|doi = 10.1006/jnth.1999.2465
|issue = 2
|journal = Journal of Number Theory
|mr = 1752254
|pages = 266-269
|title = On sums of seventh powers
|volume = 81
|year = 2000}}</ref>
<ref name="dickson">{{citation
|last = Dickson |first = L. E. |authorlink = Leonard Eugene Dickson
|doi = 10.2307/2301430
|issue = 9
|journal = American Mathematical Monthly
|mr = 1523212
|pages = 547-555
|title = A new method for universal Waring theorems with details for seventh powers
|volume = 41
|year = 1934}}</ref>
<ref name="ekl">{{citation
|last = Ekl |first = Randy L.
|doi = 10.1090/S0025-5718-96-00768-5
|issue = 216
|journal = Mathematics of Computation
|mr = 1361807
|pages = 1755-1756
|title = Equal sums of four seventh powers
|volume = 65
|year = 1996 |doi-access = free
}}</ref>
<ref name="kumchev">{{citation
|last = Kumchev |first = Angel V.
|doi = 10.1090/S0002-9939-05-07908-6
|issue = 10
|journal = Proceedings of the American Mathematical Society
|mr = 2159771
|pages = 2927-2937
|title = On the Waring-Goldbach problem for seventh powers
|volume = 133
|year = 2005 |doi-access = free
}}</ref>
<ref name="meyrignac">Quoted in {{Cite web
|last = Meyrignac
|first = Jean-Charles
|url = http://euler.free.fr/records.htm
|title = Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers: Best Known Solutions
|date = 2001-02-14
| accessdate = 2017-07-17
}}</ref>
<ref name="stewart">{{citation
|last = Stewart |first = Ian
|isbn = 0-631-17114-2
|mr = 1253983
|page = 123
|publisher = Basil Blackwell, Oxford
|title = Game, set, and math: Enigmas and conundrums
|url = https://books.google.com/books?id=JRPdAwAAQBAJ&pg=PA123
|year = 1989}}</ref>

<ref name="womack">{{citation
|last = Womack |first = D.
|issue = 1
|journal = Mathematics in School
|pages = 23-26
|title = Beyond tetration operations: their past, present and future
|url = https://www.academia.edu/download/36393663/Article_4_Beyond_Tetration._accepted.doc
|volume = 44
|year = 2015}}</ref>
}}

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{{Classes of natural numbers}}
{{DEFAULTSORT:しちしようすう}}
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[[Category:数論]]
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